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2014届高三数学一轮复习:3.7正弦定理与余弦定理


一、正、余弦定理
正弦定理
a b c 内容 sin A=sin B=sin C

余弦定理
2 2 a2= b +c -2bccos A ;

a2+c2-2accos B; b= 2 a2+b2-2abcos C. c=
2

正弦定理 ①a= 2Rsin A ,b= 2Rsin B ,c = 2Rsin C ; 变 形 形 式

余弦定理

b2+c2-a2 a b 2bc ; ②sin A= ,sin B= ,sin C= cos A= 2R 2R a2+c2-b2 c cos B= 2ac ; ; 2R a2+b2-c2 (其中 R 是△ABC 外接圆半径) 2ab . cos C= ③a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C
④asin B=bsin A,bsin C=csin B, asin C=csin A.

正弦定理 解 决 的 问 ①已知两角和任一边,求 另一角和其他两条边; ②已知两边和其中一边的 对角,求另一边和其他两

余弦定理 ①已知三边,求各角;

②已知两边和它们的夹
角,求第三边和其他两 个角.



角.

二、三角形中常用的面积公式
1 (1)S= ah(h表示边a上的高); 2 1 1 1 (2)S= bcsin A= acsin B = absin C ; 2 2 2

1 (3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 2

[小题能否全取]
1.(2012· 广东高考)在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° , BC=3 2,则 AC=
A.4 3 B.2 3

(

)

3 C. 3 D. 2 BC AC 3 2 AC 解析: 由正弦定理得: = , 即 = , sin A sin B sin 60° sin 45°

3 2 2 所以 AC= × =2 3. 2 3 答案:B 2

2.在△ABC中,a= 3,b=1,c=2,则A等于

(

)

A.30° C.60°

B.45° D.75°

b2+c2-a2 1+4-3 1 解析:∵cos A= = = , 2bc 2×1×2 2 又∵0° <A<180° ,∴A=60° .

答案:C

3.(教材习题改编)在△ABC中,若a=18,b=24,A=

45°,则此三角形有
A.无解 C.一解
a b 解析:∵ = , sin A sin B b 24 ∴sin B=asin A= sin 45° , 18 2 2 ∴sin B= . 3 又∵a<b,∴B 有两个. 答案:B

(
B.两解 D.解的个数不确定

)

4.(2012· 陕西高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长 π 分别为 a, c.若 a=2, b, B= , c=2 3, b=________. 则 6

解析:由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=4+12- 3 2×2×2 3× =4,所以 b=2. 2

答案:2

5.△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的

面积为________.
解析:设 BC=x,由余弦定理得 49=25+x2-10xcos 120° , 整理得 x2+5x-24=0,即 x=3. 1 1 3 15 3 因此 S△ABC= AB×BC×sin B= ×3×5× = . 2 2 2 4
15 3 答案: 4

(1)在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的
正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中, A>B?a>b?sin A>sin B. (2)在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:

A为锐角

A为钝角 或直角

图形

关系 式 解的 个数

a=bsin A
一解

bsin A<a<b
两解

a≥b
一解

a>b
一解

利用正弦、余弦定理解三角形

[例 1]

(2012· 浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C

的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acos B.

(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.

[自主解答]

(1)由bsin A= 3acos B及正弦定理

a b = ,得sin B= 3cos B, sin A sin B π 所以tan B= 3,所以B= . 3 a c (2)由sin C=2sin A及 = ,得c=2a. sin A sin C

由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得9=a2+c2-ac. 所以a= 3,c=2 3.

在本例(2)的条件下,试求角A的大小. a b 解:∵ = , sin A sin B
π 3· sin 3 1 asin B ∴sin A= b = = . 3 2 π ∴A= . 6

1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形
时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注 意用哪一个定理更方便、简捷. 2.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是 唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯 一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定 理进行判断.

1.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, asin Asin B+bcos2A= 2a. b (1)求 ; a

(2)若c2=b2+ 3a2,求B.
解:(1)由正弦定理得, sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A,即

sin B(sin2A+cos2A)= 2sin A. 故 sin B= b 2sin A,所以a= 2.

?1+ 3?a (2)由余弦定理和 c =b + 3a ,得 cos B= . 2c
2 2 2

由(1)知 b2=2a2, 1 故 c =(2+ 3)a .可得 cos B= , 2
2 2 2

2 又 cos B>0,故 cos B= ,所以 B=45° . 2

利用正弦、余弦定理判定三角形的形状

[例 2]

(2012· 安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角

A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(4,-1),
? 2A n=?cos 2 ,cos ? ? 2A?,且 ?

7 m· n= . 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 b+c=2a=2 3,试判断△ABC 的形状.

? 2A [自主解答](1)∵m=(4,-1),n=?cos 2 ,cos ?
2A

? 2A?, ?

1+cos A ∴m· n=4cos -cos 2A=4· -(2cos2A-1)=- 2 2 2cos2A+2cos A+3. 7 又∵m· n= , 2 7 ∴-2cos A+2cos A+3= , 2
2

1 解得 cos A= . 2 π ∵0<A<π,∴A= . 3

(2)在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A,且 a= 3, 1 2 2 ∴( 3) =b +c -2bc·=b +c -bc.① 2
2 2 2

又∵b+c=2 3, ∴b=2 3-c,代入①式整理得 c2-2 3c+3=0,解得 c= 3,∴b= 等边三角形. 3,于是 a=b=c= 3,即△ABC 为

依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主
要有如下两种方法: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通 过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形 的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函 数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系, 从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π 这个结论. [注意] 在上述两种方法的等式变形中,一般两边不 要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.

b+c 2.已知在△ABC 中,cos = ,则△ABC 的形状是 2 2c
2A

(

)

A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形

b+c 1 sin B 解析:由正弦定理得 = + , 2c 2 2sin C 1+cos A 1 sin B ∴ = + , 2 2 2sin C ∴sin B=cos A· C. sin ∵在三角形中有 sin B=sin(A+C), ∴sin Acos C+cos Asin C=cos Asin C. ∴sin Acos C=0. π ∵sin A≠0,∴cos C=0,C= . 2 故 ABC 为直角三角形. 答案:A

与三角形面积有关的问题

[例 3]

(2012· 新课标全国卷)已知 a,b,c 分别为△ABC

三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C-b-c=0.

(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为 3,求b,c.

[自主解答] (1)由acos C+ 3asin C-b-c=0及正 弦定理得sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为B=π-A-C, 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于sin
? π? 1 C≠0,所以sin?A-6 ?= . ? ? 2

π 又0<A<π,故A= . 3 1 (2)△ABC的面积S= bcsin A= 3,故bc=4. 2
而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8. 解得b=c=2.

1.正弦定理和余弦定理并不是孤立的.解题时要

根据具体题目合理选用,有时还需要交替使用.
1 1 2.在解决三角形问题中,面积公式S= absin C= 2 2 1 bcsin A= acsin B最常用,因为公式中既有边也有角, 2 容易和正弦定理、余弦定理结合应用.

1 3.(2013· 江西重点中学联考)在△ABC 中, cos 2A=cos2A 2 -cos A.

(1)求角A的大小; (2)若a=3,sin B=2sin C,求S△ABC. 1 解:(1)由已知得 (2cos2A-1)=cos2A-cos A, 2
1 π 则 cos A= .因为 0<A<π,所以 A= . 2 3

b c sin B b (2)由 = ,可得 = =2, sin B sin C sin C c 即 b=2c. b2+c2-a2 4c2+c2-9 1 所以 cos A= = = , 2bc 4c2 2 解得 c= 3,b=2 3, 1 1 3 3 3 所以 S△ABC= bcsin A= ×2 3× 3× = . 2 2 2 2

正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是 高考的热点.主要考查利用正弦定理、余弦定理解决 一些简单的三角形的度量问题以及测量、几何计算有

关的实际问题.正、余弦定理的考查常与同角三角函
数的关系、诱导公式、和差倍角公式甚至三角函数的 图象和性质等交汇命题,多以解答题的形式出现,属 解答题中的低档题.

[动漫演示更形象,见配套光盘]

“大题规范解答——得全分”系列之(四) 解三角形的答题模板
[典例] (2012 江西高考· 满分 12 分)在△ABC 中,
?π ? π 角 A, C 的对边分别为 a, c.已知 A= , ?4+C? B, b, bsin 4 ? ? ?π ? -csin?4+B?=a. ? ?

π (1)求证:B-C= ; 2

(2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

[教你快速规范审题]

1.审条件,挖解题信息
?π ? ?π ? 观察 π ―→ A= ,bsin?4+C?-csin?4+B?=a 4 条件 ? ? ? ? ?π ? ?π ? 等式中既有边又有角, ――――――――――→ sin Bsin?4 +C?-sin Csin?4+B?=sin A ? ? ? ? 应统一

2.审结论,明解题方向
观察所求 π ―→ 求证:B-C= 2 结论 应求角B-C的某一个三角函数值 ―――――――――――――――→ sin?B-C?=1或cos?B-C?=0.

3.建联系,找解题突破口
考虑到所求的结论只含有 B,C,因此应消
?? ? ?? ? 掉,sin Bsin ? ? C ? -sin Csin ? ? B ? =sin ?4 ? ?4 ? A 中的角 A
代入A=

4 ???? ?

?

sin

?π ? Bsin?4+C?-sin ? ?

?π ? Csin?4+B?= ? ?

2 2

利用两角和与差的三角函数公式 ―――――――――――――――→ sin?B-C?=1

要求角的值,还应确定角的取值范围 ―――――――――――――――――→ 3π π 由0<B,C< ,解得B-C= 4 2

1.审条件,挖解题信息
观察 条件 ―→ π π a= 2,A= ,B-C= 4 2 可求B,C的值 ――――――→

5π π B= ,C= 8 8

2.审结论,明解题方向
观察所求 应具有两边 ―→ 求△ABC的面积 ―――――→ 结论 及其夹角

a b c 5π π 由 = = ,得b=2sin ,c=2sin sin A sin B sin C 8 8

3.建联系,找解题突破口
利用面积公式求结论 △ABC的边角都具备 ――――――――――→

1 5π π π π 1 S= bcsin A= 2sin sin = 2cos sin = 2 8 8 8 8 2

[教你准确规范解题]
(1)证明:由 sin Bsin sin
? B? ? ? ?π ? ?π ? bsin?4 +C?-csin?4 +B?=a,应用正弦定理,得 ? ? ? ? ?π ? Csin?4+B?=sin ? ?

?π ? ? +C?-sin ?4 ?

A,

?(2 分)

? ? 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? sin C+ cos C?-sin C? sin B+ cos B?= 2 , 2 2 2 ? ? 2 ?

整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1, 即 sin(B-C)=1, 3 π 由于 0<B,C< π,从而 B-C= . 4 2

?(5 分)

?(6 分)

3π 5π π (2)B+C=π-A= ,因此 B= ,C= . ?(8 分) 4 8 8 π asin B 5π asin C 由 a= 2,A= ,得 b= =2sin ,c= 4 sin A 8 sin A π =2sin , 8 ?(10 分)

1 5π π 所以△ABC 的面积 S= bcsin A= 2sin sin = 2 8 8 π π 1 2cos sin = . 8 8 2 ?(12 分)

[常见失分探因]

易忽视角B-C的范围,直接由sin(B-C)=1,求得
结论.

————————[教你一个万能模板]———————— 解三角形问题一般可用以下几步解答: 第一步 第二步 ―→

利用正弦定理或余弦定理 ―→ 三角变换、化简 实现边角互化(本题为边 、消元,从而向 化角) 已知角(或边)转化

第三步 代入求值

第四步 ―→ 反思回顾,查看关 键点,易错点,如
本题中公式应用是 否正确

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A, B,C 所对的边.若 a=1,b= 3,A+C= 2B,则 sin C=________.
asin B 解析: 在△ABC 中, A+C=2B, ∴B=60° .又∵sin A= b 1 = ,∴A=30° 150° 或 (舍),∴C=90° ,∴sin C=1. 2

答案:1

解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(二十四)”

2.在△ABC中,a=2bcos C,则这个三角形一定是 (
A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形

)

D.等腰或直角三角形

解析:法一:(化边为角)由正弦定理知: sin A=2sin Bcos C,又A=π-(B+C),

∴sin A=sin(B+C)=2sin Bcos C.
∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0, ∴sin(B-C)=0. 又∵B、C为三角形内角,∴B=C.

a2+b2-c2 法二:(化角为边)由余弦定理知 cos C= , 2ab a2+b2-c2 a2+b2-c2 ∴a=2b· = , a 2ab ∴a2=a2+b2-c2,∴b2=c2,∴b=c.

答案:A

3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 1 已知 cos 2C=- . 4 (1)求sin C的值;

(2)当a=2,2sin A=sin C时,求b及c的长.
1 解:(1)因为 cos 2C=1-2sin C=- ,且 0<C<π, 4
2

10 所以 sin C= . 4

a c (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,由正弦定理 = ,得 sin A sin C 1 6 c=4.由 cos 2C=2cos C-1=- , 0<C<π 得 cos C=± . 及 4 4
2

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,得 b2± 6b-12=0,解 得 b= 6或 2 6,
?b= ? 所以? ?c=4 ?

6,

?b=2 ? 或? ?c=4. ?

6,

4.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, 4 且 cos B= ,b=2. 5

(1)当A=30°时,求a的值;
(2)当△ABC的面积为3时,求a+c的值.
4 3 解:(1)因为 cos B= ,所以 sin B= . 5 5 a b a 10 5 由正弦定理 = ,可得 = ,所以 a= . sin A sin B sin 30° 3 3

1 3 (2)因为△ABC 的面积 S= ac· B,sin B= , sin 2 5 3 所以 ac=3,ac=10. 10 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 8 得 4=a +c - ac=a2+c2-16, 5
2 2

即 a2+c2=20. 所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40. 所以 a+c=2 10.

5.(2013· 北京朝阳统考)在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分 别为内角 A,B,C 所对的边,且满足 3a-2bsin A=0.

(1)求角 B 的大小;

??? ??? ? ? (2)若 a+c=5,且 a>c,b= 7,求 AB · 的值. AC
解:(1)因为 3a-2bsin A=0, 所以 3sin A-2sin Bsin A=0,

3 因为 sin A≠0,所以 sin B= . 2 π 又 B 为锐角,所以 B= . 3

π (2)由(1)可知,B= .因为 b= 3
2 2

7.

π 根据余弦定理,得 7=a +c -2accos , 3 整理,得(a+c)2-3ac=7. 由已知 a+c=5,得 ac=6. 又 a>c,故 a=3,c=2. b2+c2-a2 7+4-9 7 于是 cos A= = = , 2bc 14 4 7 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 所以 AB · =| AB |·AC |cos A=cbcos A | AC 7 =2× 7× =1. 14


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