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高三数学一轮复习精析教案30《平面向量的概念及运算


第 25 讲

平面向量的概念及运算

一.【课标要求】
(1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义, 理解向量的几何表示; (2)向量的线性运算 ① 通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义; ② 通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义; ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义 (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ① 了解平面向量的基本定理及其意义; ② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; ③ 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算; ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件

二.【命题走向】
本讲内容属于平面向量的基础性内容,与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择 题、填空题考察本章的基本概念和性质,重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的 加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不 大,分值 5~9 分。 预测 2010 年高考: (1)题型可能为 1 道选择题或 1 道填空题; (2)出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位 置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

三.【要点精讲】
1.向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用 a , b , c ??来表示,或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示,如: AB 几何表示法 AB , a ;坐标表示法 a ? xi ? y j ? ( x, y ) 。向量 的大小即向量的模(长度),记作| AB |即向量的大小,记作| a |。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为 0 的向量, 记为 0 , 其方向是任意的, 与任意向量平行零向量 a = 0 ? | a | 0 =0。由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的 问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与 0 的区别)
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③单位向量 模为 1 个单位长度的向量,向量 a 0 为单位向量 ? | a 0 |=1。 ④平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上,方向相同或 相反的向量,称为平行向量,记作 a ∥ b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量), 平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在 必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中 的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 ⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合, 记为 a ? b 。 大小相等, 方向相同? ( x1 , y1 ) ? ( x 2 , y 2 ) ? ?

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? x1 ? x 2 。 ? y1 ? y 2

2.向量的运算 (1)向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设 AB ? a , BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC 。 规定: (1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量 的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的 终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形 法则。 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:

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??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? CD ? ? ? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”。
(2)向量的减法 ? ? ①相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有: (i) ? (? a ) = a ; (ii)

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ;(iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0 。
②向量减法
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? ? ? ? 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差,
记作: a ? b ? a ? (?b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法

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? ? ? ? ? ? ③作图法:a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量 a 、b 有共同起点) ( 。
(3)实数与向量的积 ? ? ①实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定如下: ? ? (Ⅰ) ?a ? ? ? a ;

? ? ? ? (Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向
相反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 3.两个向量共线定理:

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? ? ? ? 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a 。
4.平面向量的基本定理

? ? ? 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且
只有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ? 2 e2 其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底 5.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单 位向量 i , j 作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示成

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? ? ? ? ? ? a ? xi ? yj , 由于 a 与数对(x,y)是一一对应的, 因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标, 记作 a =(x,y), ? 其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标。
规定: (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量; (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相 对位置有关系。 (2)平面向量的坐标运算: ①若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ; ②若 A? x1 , y1 ?, B? x 2 , y 2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ; ③若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y);

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④若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。

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四.【典例解析】
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题型 1:平面向量的概念 例 1.(1)给出下列命题: ①若| a |=| b |,则 a = b ; ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要 条件; ③若 a = b , b = c ,则 a = c ; ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ; ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c ; 其中正确的序号是 。

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(2)设 a 0 为单位向量, (1)若 a 为平面内的某个向量,则 a =| a |·a 0 ;(2)若 a 与 a0 平行, 则 a =| a |· a 0 ; (3)若 a 与 a 0 平行且| a |=1,则 a = a 0 。上述命题中,假命题个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同; )

②正确;∵ AB ? DC ,∴ | AB |?| DC | 且 AB // DC , 又 A,B,C,D 是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则, AB // DC 且 | AB |?| DC | , 因此, AB ? DC 。 ③正确;∵ a = b ,∴ a , b 的长度相等且方向相同; 又 b = c ,∴ b , c 的长度相等且方向相同, ∴ a , c 的长度相等且方向相同,故 a = c 。 ④不正确; a // b 且方向相反时, 当 即使| a |=| b |, 也不能得到 a = b , a |=| b | 故| 且 a // b 不是 a = b 的充要条件,而是必要不充分条件; ⑤不正确;考虑 b = 0 这种特殊情况; 综上所述,正确命题的序号是②③。 点评:本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多,因而容易遗忘。为此, 复习时一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比 和联想。

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(2)向量是既有大小又有方向的量, a 与| a | a 0 模相同,但方向不一定相同,故(1)是 假命题; a 与 a 0 平行, a 与 a 0 方向有两种情况: 若 则 一是同向二是反向, 反向时 a =-| a | a 0 , 故(2)(3)也是假命题。综上所述,答案选 D。 、 点评:向量的概念较多,且容易混淆,故在学习中要分清,理解各概念的实质,注意 区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。 题型 2:平面向量的运算法则

例 2.(1)如图所示,已知正六边形 ABCDEF,O 是它的中心,若 BA = a , BC = b , 试用 a , b 将向量 OE , BF , BD , FD 表示出来。

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??? ??? ??? ? ? ? ? ? FD = BC ? BA = b - a 。
点评:其实在以 A,B,C,D,E,F 及 O 七点中,任两点为起点和终点,均可用 a ,

?

? ? ? ? b 表示,且可用规定其中任两个向量为 a , b ,另外任取两点为起点和终点,也可用 a , ? b 表示。
(3)(2008 湖南文,4) 11.已知向量 a ? (1, 3 ) , b ? (?2,0) ,则

a ? b =_____________________.
【答案】2 【解析】由? a ? b ? (?1, 3),?| a ? b |? 1 ? 3 ? 2.

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(-x, x ) 则向量 a ? b ( (4)(2009 年广东卷文)已知平面向量 a= x,1 ,b= , ( )
2

)

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A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 答案 C 解析

B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

a ? b ? (0,1 ? x 2 ) ,由 1 ? x 2 ? 0 及向量的性质可知,C 正确. ? ?
?

例 4.设 x 为未知向量, a 、 b 为已知向量,解方程 2 x ?(5 a +3 x ?4 b )+ 解析:原方程可化为:(2 x ? 3 x ) + (?5 a + ∴ x =?

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9 ? ? a+ b 。 2

? ? ? 1 ? a ) + (4 b ?3 b ) = 0, 2

1 ? ? a ?3 b =0 2

点评:平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则,求解时兼顾到向 量的性质。 题型 3:平面向量的坐标及运算 例 5.已知 ?ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,1),BC 边上的高为 AD,求 AD 。 解析:设 D(x,y),则 AD ? ? x ? 2, y ? 1? , BD ? ? x ? 3, y ? 2 ? , BC ? ? ?b, ?3? ∵ AD ? BC , BD ? BC

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? ? 6? x ? 2 ? ? 3? y ? 1? ? 0 ? x ? 1 得? ?? ?? 3? x ? 3? ? 6? y ? 2 ? ? 0 ? y ? 1 ???? 所以 AD ? ? ?1, 2 ? 。
例 6.已知点 A(4,0), B(4,4), C (2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原点) 交点 P 的坐标。 解析:设 P ( x, y ) ,则 OP ? ( x, y ), AP ? ( x ? 4, y ) 因为 P 是 AC 与 OB 的交点,所以 P 在直线 AC 上,也在直线 OB 上。

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即得 OP // OB, AP // AC ,由点 A(4,0), B(4,4), C (2,6) 得, AC ? (?2, 6), OB ? (4, 4) 。 得方程组 ?

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?6( x ? 4) ? 2 y ? 0 ?x ? 3 ,解之得 ? 。 ?4 x ? 4 y ? 0 ?y ? 3

故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 。 题型 4:平面向量的性质

例 7.平面内给定三个向量 a ? ? 3, 2 ? , b ? ? ?1, 2 ? , c ? ? 4,1? ,回答下列问题: (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m,n;

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(2)若 ? a ? kc ? // 2b ? a ,求实数 k; (3)若 d 满足 d ? c // a ? b ,且 d ? c ? 5 ,求 d 。

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5 ? ?m ? 9 ?? m ? 4 n ? 3 解析:(1)由题意得 ?3,2 ? ? m?? 1,2 ? ? n?4,1? ,所以 ? ,得 ? 。 8 ? 2m ? n ? 2 ?n ? 9 ? ? ? ? ? (2) a ? kc ? ? 3 ? 4k , 2 ? k ? , 2b ? a ? ? ?5, 2 ? ,

? 2 ? ?3 ? 4k ? ? ?? 5??2 ? k ? ? 0,? k ? ?

(3) d ? c ? ? x ? 4, y ? 1? , a ? b ? ? 2, 4 ? 由题意得 ?

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16 ; 13

?4? x ? 4 ? ? 2? y ? 1? ? 0 ? x ? 3 ?x ? 5 ,得 ? 或? 。 2 2 ?? x ? 4 ? ? ? y ? 1? ? 5 ? y ? ?1 ? y ? 3

例 8.已知 a ? (1,0), b ? (2,1). (1)求 | a ? 3b | ; (2)当 k 为何实数时, k a ? b 与 a ? 3b 平行, 平行时它们是同向还是反向? 解析:(1)因为 a ? (1,0), b ? (2,1). 所以 a ? 3b ? (7,3) 则 | a ? 3b |? 7 2 ? 32 ? 58

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(2) k a ? b ? (k ? 2, ?1) , a ? 3b ? (7,3) 因为 k a ? b 与 a ? 3b 平行,所以 3(k ? 2) ? 7 ? 0 即得 k ? ? 。 此时 k a ? b ? (k ? 2, ?1) ? (? , ?1) , a ? 3b ? (7,3) ,则 a ? 3b ? ?3(ka ? b) ,即 此时向量 a ? 3b 与 k a ? b 方向相反。 点评:上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现,重点掌握平面 向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。 题型 5:共线向量定理及平面向量基本定理 例 9.(2009 北京卷文)已知向量 a ? (1, 0), b ? (0,1), c ? ka ? b(k ? R ), d ? a ? b ,如果

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7 3

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c // d
那么 A. k ? 1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 ( )

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C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 答案 解析 考查. D

D. k ? ?1 且 c 与 d 反向

本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算

∵a ? ?1, 0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 点评:熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算;两个 向量平行的坐标表示;运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的 结合。 例 10.(1)(06 福建理,11)已知︱ OA ︱=1,︱ OB ︱= 3 , OA ? OB =0,点 C 在 ∠AOB 内,且∠AOC=30°,设 OC =m OA +n OB (m、n∈R),则

m 等于( n
D. 3



A.

1 3

B.3

C.

3 3
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(2) (2009 安徽卷理) 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB , 它们的夹角为 120o . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动. 若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是________. 答案 2 解析 设 ?AOC ? ?

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1 ? ???? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ?cos ? ? x ? 2 y ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA, ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ,即 ? ? ? ? ? ???? ??? ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ? ? ? 2
∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(1200 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?

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6

)?2

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题型 6:平面向量综合问题 例 11.(2009 上海卷文) 已知 ΔABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量

?? m ? ( a, b) , ? ? ? n ? (sin B,sin A) , p ? (b ? 2, a ? 2) .
(1) 若 m // n ,求证:ΔABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C =

??
??

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? ,求 ΔABC 的面积 . 3

证明:(1) Q m // n,? a sin A ? b sin B, 即a?

u v v

a b ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b ? b? 2R 2R

??ABC 为等

腰三角形 解(2)由题意可知 m // p ? 0, 即a (b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

u u v v

? a ? b ? ab
2 2 2 由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab

即(ab) 2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)

?S ?

1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

五. 【思维总结】
数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习 过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相 似,虽然只是个别小题,但它对学习具有指导意义,教学中重视教材的使用应有不可估量 的作用。因此,学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组 织成整体,形成知识体系。 学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理 几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理, 计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不 等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点 (1)向量的加法与减法是互逆运算; (2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件;

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(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则 包括共线(重合)的情况; (4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相 对位置有关系

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