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内蒙古包头市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析

2018 年普通高等学校招生全国统一考试

(包头市第一次模拟考试)

理科数学

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个

选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 设复数满足

,则 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】由题意复数满足

,则

,所以 ,故选 A.

2. 已知全集





,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】 由题意





,故选 D.

3. 《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数

列,上面 节的容积共 升,下面 节的容积共 升,则该竹子最上面一节的容积为( )

A. 升 B. 升 C. 升 D. 升

【答案】C

【解析】 设竹子自上而下各节的容积分别为

根据题意得



,且为等差数列,



,解得

,即最上面一节的容积为 升,故选 C.

4. 若

,且

,则

的最小值为( )

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意,作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,

目标函数

,可化为



由图可知,当直线

过点 时,得到目标函数的最小值,



,解得 ,则目标函数的最小值为

,故选 D.

5. 已知

A.

B.

【答案】B

C.

D.

【解析】 由题意,二项式

的展开式为

,则

所以



令 ,则

所以

,故选 B.

6. 某多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为( )

() ,

A. B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 由题意知,根据给定的三视图可知,该几何体的左侧是一个底面为等腰直角三角 形,且腰长为 ,侧棱长为 的直三棱柱,右侧为一个底面为等腰直角三角形,且腰长为 ,

高为 的三棱锥,所以该几何体的体积为



故选 C.

7. 若双曲线 :

的离心率为,一条渐近线的倾斜角为,则 的值( )

A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 不能确定,与,的具体值有关 【答案】B

【解析】 由双曲线的方程

,得其一条渐近线的方程为 ,

所以

,且

,所以



所以

,故选 B.

8. 执行如图所示的程序框图,如果输入的 ,则输出的 ( )

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 模拟执行程序,可得

执行循环体,



满足条件 ,执行循环体,

满足条件 ,执行循环体,

满足条件 ,执行循环体,


; ; ;

满足条件 ,执行循环体,



满足条件 ,执行循环体,



此时不满足条件 ,退出循环,输出 的值 ,故选 B. 点睛:算法时新课程的新增加的内容,也必然是新高考的一个热点,应高度重视,程序填 空与选择是重要的考查和命题方式,这种试题考查的重点有:①条件分支结构;②循环结 构的添加循环条件;③变量的赋值;④变量的输出等,其中前两点是考试的重点,此种题 型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.
9. 现有 张牌(1)、(2)、(3)、(4),每张牌的一面都写上一个数字,另一面都写上一个英 文字母。现在规定:当牌的一面为字母 时,它的另一面必须写数字 .你的任务是:为检验 下面的 张牌是否有违反规定的写法,你翻且只翻看哪几张牌就够了( )

A. 翻且只翻(1)(4) B. 翻且只翻(2)(4)

C. 翻且只翻(1)(3) D. 翻且只翻(2)(3)

【答案】A

【解析】 由题意,当牌的一面为字母 时,它的另一面必须写数字 ,

则必须翻看(1)是否正确,这样(3)就不用翻看了, 后面不能是 ,要查(4),

所以为了检验如图的 中是否违反规定的写法,翻看(1)(4)两种牌即可,故选 A.

点睛:本题考查了归纳推理,对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在

得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理

常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定正

确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).

10. 如图,在正方形

中, , 分别是 , 的中点, 是 的中点,沿 , , 将

正方形折起,使 , , 重合于点 ,构成四面体,则在四面体

中,给出下列结论:

① 平面 ;②

;③ 平面 ;④

;⑤平面

平面 .其中

正确结论的序号是( )

A. ①②③⑤ B. ②③④⑤ C. ①②④⑤ D. ②④⑤

【答案】C

【解析】 如图所示,因为 分别为

的中点,所以



因为

,所以折叠后



所以 平面 ,所以①正确的;

由 平面 , 平面 ,所以

,所以②正确的;

由 平面 ,根据过一点有且只有一条直线垂直于一个平面,

所以 平面 是不正确的,所以③不正确;



,可得 平面 ,又 平面 ,

所以

,所以④正确的;

由 平面 ,又 平面 ,所以平面

平面 ,

所以⑤是正确的,

综上可知,正确的结论序号为①②④⑤,故选 C.

11. 已知函数

A.

B.

C.

【答案】D 【解析】 由函数
可得 所以函数 为奇函数,

,若 D.




,因为

,则实数的取值范围是( )



,所以



所以函数 为单调递增函数,

因为

,即



所以

,解得

,故选 D.

点睛:本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题,其中解答中函数的奇

偶性和函数的单调性,转化为不等式

是解答的关键,着重考查了分析问题和解

答问题的能力,对于解函数不等式:首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为

的形式,然后根据函数的单调性去掉“”,转化为具体的不等式(组),此时

要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点.

12. 已知 是圆 的直径, 是圆 的弦 上一动点,



,则

的最小值

为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】 以 所在的直线为 轴,线段 的垂直平分线为 轴,建立平面直角坐标系,

设点 ,则



所以





又因为

,且 在弦 上一动点,所以



其中当取 的中点时取得最小值,所以

,故选 D.

点睛:本题考查了平面向量的数量积与应用问题,解答的关键是建立适当的直角坐标系,

表示出向量

的坐标,再利用圆的性质求解,着重考查了学生分析问题和解答问题的

能力,对于平面向量的运算问题,通常有两种方法:一是建立平面的基底,利用基底运算;

二是建立适当的平面直角坐标系,转化为坐标运算即可.

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 某人随机播放甲、乙、丙、丁 首歌曲中的 首,则甲、乙 首歌曲至少有 首被播放的概 率是__________. 【答案】
【解析】由题得所有基本事件为:(甲乙),(甲丙)(甲丁),(乙丙),(乙丁),(丙 丁),则甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放得基本事件有(甲乙),(甲丙)(甲丁),(乙 丙),(乙丁)所以甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放
的概率是

14. 设函数



,为

图象的对称轴,

零点,且 的最小正周期大于 ,则 __________.

【答案】

为的

【解析】 函数

,为

图象的对称轴,

为 的零点,

所以



所以





两式相减



在根据 的最小正周期 ,可得



所以 ,再把 代入,可得

,令 ,可得 .

15. 设数列 的前 项和为 ,若 ,



,则 __________.

【答案】66

【解析】由

,即

,所以



又 ,所以

,则



点睛:本题考查了数列的递推关系和数列的 与 关系式的应用,其中解答中根据题设条

件,利用

,把条件转化

是解答的关键,着重考查了学生分析问

题和解答问题的能力.

16. 在平面直角坐标系 中,双曲线

的左支与焦点为 的抛物线

交于 , 两点.若 【答案】

【解析】 把

代入双曲线

,则该双曲线的离心率为__________. ,

可得

,所以



因为

,所以



所以

,所以 ,则



点睛:本题考查了抛物线与双曲线的定义、标准方程及其性质,以及直线与圆锥曲线的位 置关系的应用,对于直线与圆锥曲线问题,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方 程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,应用确定函数的性质 求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错漏百出,本题能较好的考查考生 的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必做题,每个试题考生都必须作答.第 22,23 题为选考题,考生根据要求 作答. (一)必考题:共 60 分

17. 在

中,内角 , , 的对边分别为, ,,已知

.

(1)求 的值;

(2)若

, ,求

的面积 .

【答案】(1)

;(2) .

【解析】试题分析:(1)已知条件是边角关系,且左边是角的余弦,要求的是 ,因此可

用正弦定理“化边为角”,即

,只要交叉相乘,再由两角和与差的正

弦公式可得

,而在三角形中此式即为

,结论有了;(2)由

(1)可得 ,结合余弦定理可求得 ,由面积公式

可得.

试题解析:(1)由正弦定理得

整理得





,即

(2)由余弦定理可知



由(1)可知

,即 ②

再由 ③, 由①②③联立求得





考点:正弦定理,余弦定理,两角和与差的正弦公式,三角形的面积.

18. 如图,四棱锥

中, 底面









为线段 上一点,

, 为 的中点.

(1)证明: 平面 ;

(2)求二面角

的正弦值.

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析:(1)由已知,取 的中点 ,连接 , ,得到

,利用线面平

行的判定定理,即可得到 平面 .

(2)建立空间直角坐标系,求解平面平面 和平面 的法向量,利用向量夹角公式,

即可求解二面角的大小.

试题解析:

(1)由已知得



取 的中点 ,连接 , ,

由 为 的中点知







,故



所以四边形 为平行四边形,于是



平面 , 平面 ,

所以 平面 .

(2)取 的中点 ,连接 .





,从而





.

以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系

.

由题意知,













.



为平面 的法向量,则





,可取

.



为平面 的法向量,



,即

,可取

.

于是



.

所以二面角

的正弦值为 .

19. 某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取 株小麦,测量这些 小麦的生长指标值,由测量结果得如下频数分布表: 生长指 标值分 组
频数

(1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图;

(2)求这 株小麦生长指标值的样本平均数 和样本方差 (同一组中的数据用该组区间

的中点值作代表);

(3)由直方图可以认为,这种小麦的生长指标值 服从正态分布

,其中 近似为样本

平均数 , 近似为样本方差 .

①利用该正态分布,求



②若从试验田中抽取 株小麦,记 表示这 株小麦中生长指标值位于区间



小麦株数,利用①的结果,求 .

附:

.



,则



.

【答案】(1)见解析;(2)平均数 200,方差 150;(3)①0.6826;②68.26.

【解析】试题分析:(1)根据题设中的数据,即可画出频率分布直方图;

(2)利用平均数和方差的计算公式,即可求得平均数 , .

(3)①由(1)知

,从而

.

②由①知,随机变量 服从二项分布,利用公式即可求解期望.

试题解析:

(1)画图.

(2)抽取小麦的生长指标值的样本平均数 和样本方差 分别为



. (3)①由(1)知

,从而

②由①知,一株小麦的生长指标值位于区间

依题意知



所以

.

.

的概率为



20. 已知 , 是椭圆 :

的左右两个焦点,

,长轴长为 ,又 ,

分别是椭圆 上位于 轴上方的两点,且满足

.

(1)求椭圆 的方程;

(2)求四边形

的面积.

【答案】(1)

;(2) .

【解析】试题分析:(1)由题意,求得 的值,进而由 圆 的方程;

,得到 的值,即可求得椭

(2)设



,由

,得

,设直线 的方程为



代入椭圆方程得,求得 试题解析:

,求得 的值,进而求解四边形的面积.

(1)由题意知 , ,所以 , .

所以

,椭圆 的方程为

.

(2)设



,又





所以







,得



.

延长 交椭圆于 ,

因为

,所以

,且

.

所以线段 为

的中位线,即 为线段 的中点,

所以 .

设直线 的方程为



代入椭圆方程得,

,即

.

所以





消去 ,得

,依题意取

.

.

点睛:本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目,通常

利用 的关系,确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲

线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,应用确

定函数的性质求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错漏百出,本题能较

好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

21. 已知函数



.

(1)若 时,求函数 的最小值;

(2)若

,证明:函数 有且只有一个零点;

(3)若函数 有两个零点,求实数的取值范围.

【答案】(1)最小值

;(2)见解析;(3) .

【解析】试题分析:(1)当 时,

判断函数的单调性,求解函数的最小值;

(2)由

,得

,求出函数的导数,得到极值点,然后

,当 时,函数 在

上最多有一

个零点,当

时,



,即可得到结论;

(3)由(2)知,当 时, 在

上最多有一个零点,当 ,函数 ,得

,令

,利用 的取值,得到函数 在 上单调递减;



上单调递增,要使函数 在

上有两个零点,只需要函数 的极小值

,即

,进而求解实数的取值范围.

试题解析:

(1)当 时,



所以

.



,得 ,当

时,





时,

,所以函数 在 上单调递减,在

所以当 时, 有最小值

.

上单调递增,

(2)由

,得



所以当 时,



函数 在

上单调递减,所以当 时, 在

上最多有一个零点.

因为当

时,





所以当

时,函数 在

上有零点.

综上,当

时,函数 有且只有一个零点.

(3)由(2)知,当 时, 在

上最多有一个零点.

因为 有两个零点,所以 .



,得

.

令 因为

, , ,所以 在

上只有一个零点,

设这个零点为 ,



时,







时,





所以函数 在 上单调递减;在

上单调递增.

要使函数 在

上有两个零点,只需要函数 的极小值

,即

.

因为



所以



可得 又因为





上是增函数,且



所以 ,





,得



所以

,即

.

以下验证当

时,函数 有两个零点.



时,





所以

.

因为

,且



所以函数 在 上有一个零点.

又因为

(因

).



,所以 在 上有一个零点.

所以当

时,函数 在 内有两个零点.

综上,实数的取值范围是 . 点睛:本题主要考查导数在函数中的应用,函数的证明和函数的零点问题,考查了分类讨论

思想和转化与化归思想,其中导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,对导数 的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、圆等 知识联系; (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数; (3)利用 导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题; (4)考查数形结合思想的应用.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22 题和第 23 题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第 一题记分.
22. [选修 4-4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系 中,直线的参数方程为

(为参数).以坐标原点为极点, 轴正半

轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)若 时,求 与的交点坐标; (2)若 上的点到距离的最大值为 ,求.

【答案】(1)



;(2)



.

【解析】试题分析:(1)根据参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化,求得曲线的直

角坐标方程,联立方程组,即可求解交点的坐标;

(2)由曲线 的参数方程,设 上的点

,求得点到的距离,根据三角函数的

图象与性质,得出 的最大值,从而 的值.

试题解析:

(1)曲线的普通方程为





时,直线的普通方程为





,解得

,或



从而 与的交点坐标为



.

(2)直线的普通方程为



设 的参数方程为

(为参数),

则 上的点

到的距离为

.



时, 的最大值为



由题设得

,所以





时, 的最大值为



由题设得

,所以



综上,



.

23. [选修 4-5:不等式选讲]

已知函数



.

(1)当 时,求不等式

的解集;

(2)若不等式

的解集包含 ,求的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】试题分析:(1)代入 时,不等式

等价于

论即可求解不等式的解集;

(2)由题意

的解集包含 ,等价于

时,

的最大值,列出不等式,即可求解实数 的取值范围.

试题解析:

(1)当 时,不等式

等价于

,①



时,①式化为

,无解;



时,①式化为

,得



当 时,①式化为

,得

.

所以

的解集为

.

(2)当

时,



所以

的解集包含 ,等价于



.



在 上的最大值为

.

所以

,即

,得 .

所以的取值范围为

.

,分类讨 ,求得函数


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