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周练3福州市2011届第一学期期末高三质检


福州市 2011 届高三质检数学(理科)试卷周练 3
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 2 1.已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则 M∩N 等于( ). A.(0,1),(1,2) B.{(0,1),(1,2)} C.{y|y=1 或 y=2} D.{y|y≥1} 2.设复数 z= 1 ? 2 i 则 z -2z 等于( ). A.-3 B.3 C.-3i D.3i 3.如图是歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶 图(其中 m 为数字 0—9 中的一个) ,去掉一个最高分和一个最低分后, 甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1 , a 2 ,则一定有 ( ) A. a1
? a2
2


0 7 9



5 4 5 5 1 8 4 4 6 4 7 m 9 3

B. a 2

? a1

C. a1

? a2

D. a1 , a 2 的大小不确定
y

?x≥ 1 ? 4.已知实数 x , y 满足 ? y ≤ 2 ?x ? y ≤ 0 ?

,则 x ? C. 4

的最小值为( D. 5



A. 2 5.若双曲线 A. 5
x a
2 2

B. 3
? y b
2 2

? 1 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长, 则该双曲线的离心率为 ) (

B.5

C. 2
?
2

D.2
) 的部分图象如图所示,

6.设函数 f ( x ) ? sin (? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? 直线 x ?
?
6

是它的一条对称轴,则函数 f(x)的解析式为(
?
3 ) B. f ( x ) ? sin ( 2 x ?


?
3 ) D. f ( x ) ? sin ( 2 x ?

A. f ( x ) ? sin( x ?

?
6

) C. f ( x ) ? sin(4 x ?

?
6

)

7.已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且函数 y=ln(x+2)-x 当 x=b 时取到极大值 c,则 ad 等 于 ( ) y A. ? 1 B.0 C.1 D.2 8.如图所示,正方形的四个顶点分别为 O(0,0)、 (1,0)、 (1,1)、 (0,1), A B C y=x2 2 曲线 y=x 经过点 B.现将一个质点随机投入正方形中,则质点落在图中阴 C B 影区域的概率是( ). A.
1 2

B.

1 4

C.

1 3

D.

2 5

O

A

x

9.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙的 距离分别是 am(0<a<12)、4m,不考虑树的粗细.现在用 16m 长的篱笆,借助 2 墙角围成一个矩形的花圃 ABCD.设此矩形花圃的面积为 Sm ,S 的最大值为 f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数 u=f(a)的图象大致是 ( )

A.

B.

C.
第 1 页 共 10 页

D.

10. 在 ? ABC 中,“ A B ? A C ? B A ? B C ”是“ | A C | ? | B C | ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 11.定义:平面内 横坐标为整数的点称为“左整点”.过函数 y ? 9 ? x 图象上任意两个 “左整点”作直线,则倾斜角大于 45°的直线条数为( ) . A.10 B.11 C.12 D.13[ 12. 设 函 数 y=f(x) 的 定 义 域 为 实 数 集 R, 对 于 给 定 的 正 数 k, 定 义 函 数
2

??? ???? ?

??? ???? ?

??????

????

? ? f (x) ( f (x) ? k ) 2 fk ( x) ? ? , 给出函数 f(x)=-x +2,若对于任意的 x∈(-∞,+∞),恒有 ?k ( f (x) ? k ) ?

fk(x)=f(x).则( ). A.k 的最大值为 2 B.k 的最小值为 2 C.k 的最大值为 1 D.k 的最小值为 1
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分, ) 13. 在 二 项 式 ? x 2
? ? ? a? ? x?
5

开始 输入 a,b,c,d

的展开式中,

x

的系数是

?10

,则实数

a

的值





m ? a ? 2b n ? 2b ? c p ? 2c ? 3d q ? 4d
输出 m,n,p,q 结束

14.在 ? ABC 中, BC ? 5 , AC ? 3 , sin C ? 2 sin A ,则 AB 的长为____. 15.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收 方由密文→明文(解密),已知加密规则如图所示,例如,明文 1,2,3,4 对应 密文 5,7,18,16. 当接收方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到的明文 为 . 16. 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 f(2)=0, 当 x>0 时 , 有
xf ' ( x ) ? f ( x ) x
2

? 0 恒成立,则不等式 x f(x)>0 的解集为

2

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17. (12 分)数列 { a n } 是首项为 2 公差为 1 的等差数列,其前 n 项的和为 S n .(Ⅰ)求数 列 { a n } 的通项公式 a n 及前 n 项和 S n 项和 T n . ; (Ⅱ)设 b n ? 2
an

,求数列 {b n } 的通项公式及前 n

第 2 页 共 10 页

18. (12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 sin ? x ? 2 3 sin ? x sin(
2

?
2

? ? x ) ( ? ? 0 )的最小正周

期为 π . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? 0,
?

?

2π ? 上的取值范围. 3 ? ?

19. (12 分)一个袋子内装有若干个黑球, 3 个白球, 2 个红球(所有的球除颜色外其它 均相同) ,从中一次性任取 2 个球,每取得一个黑球得 0 分,每取得一个白球得 1 分,每取 得一个红球得 2 分,用随机变量 ? 表示取 2 个球的总得分,已知得 0 分的概率为 (Ⅰ)求袋子内黑球的个数; (Ⅱ)求 ? 的分布列与期望.
1 6



20. (12 分)某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料 费用和其它费用组成,已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系 数为 0.5) ,其它费用为每小时 800 元,且该货轮的最大航行速度为 50 海里/小时. (Ⅰ)请将从甲地到乙地的运输成本 y(元)表示为航行速度 x(海里/小时)的函数; (Ⅱ)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?

第 3 页 共 10 页

21. (12 分)如图,

为半圆, A B 为半圆直径, O 为半圆圆心,且 O D ? A B , Q 为

线段 O D 的中点,已知 AB ? 4 ,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持
P A ? P B 的值不变.(Ⅰ )建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; ) 过点 B 的 (Ⅱ ???? ? ???? 直线 l 与曲线 C 交于 M 、 N 两点,与 O D 所在直线交于 E 点,若 E M ? ?1 M B , ???? ??? ? E N ? ? 2 N B ,求证: ? 1 ? ? 2 为定值.

22. (14 分)已知函数 f ( x ) ? ? x 3 ? a x 2 ? b x ? c 在 ( ? ? , 0 ) 上是减函数,在 (0,1) 上是增 函数, 函数 f ( x ) 在 R 上有三个零点, 1 是其中一个零点. 且 (Ⅰ) b 的值; 求 (Ⅱ) f ( 2 ) 求 的取值范围; (Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 1 ,且 f ( x ) ? g ( x ) 的解集为 ( ? ? ,1) ,求实数 a 的取值 范围.

第 4 页 共 10 页

周练 3 数学(理科)试卷参考答案及评分标准

18.(本小题满分 12 分) 18.解: (Ⅰ) f ( x ) ? 1 ? co s 2 ? x ? 2 3 sin ? x co s ? x
? 1 ? c o s?2x ? ? 3 s ? n 2 ··································· 2 分 ix ···································

3 sin 2 ? x ? cos 2 ? x ? 1 ? 2 sin ( 2 ? x ?

?
6

) ?1

················ 5 分 ················

因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以
2π 2? ? π ,解得 ? ? 1 . ···································· 7 分 ····································

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第 5 页 共 10 页

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? 因为 0 ≤ x ≤
1 2
2π 3

?

,所以 ?

π 6

≤ 2x ?

)?1 6 π 7π



6

6

, ···························· 9 分 ···························

所以 ?

≤ sin ? 2 x ?
?

?

? π? ? ≤ 1 ,因此 0 ? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 ? 3 , 6 6?

即 f ( x ) 的取值范围为 [ 0 , 3 ] .············································ 12 分 ············································ 19.解: (Ⅰ)设袋中黑球的个数为 n,由条件知,当取得 2 个黑球时得 0 分, 概率为: p (? ? 0 ) ?
2

Cn
2

2

?

1 6

C n?5

··············································· 2 分 ···············································

化简得: n ? 3 n ? 4 ? 0 ,解得 n ? 4 或 n ? ? 1 (舍去) ,即袋子中有 4 个黑球 ······· 4 分 ······· (Ⅱ)依题意: ? =0,1,2,3,4
p (? ? 0 ) ? 1 6 C3 ? C2 ?C4
2 1 1

, p ( ? ? 1) ?

C4 ?C3
1

1

C9 ? 11 36 1 6 1 36

2

?

1 3

·········································· 5 分 ··········································

p (? ? 2 ) ?

C9 p (? ? 3) ? C3 ?C2
1 1

2

··············································· 6 分 ···············································

C9 p (? ? 4 ) ? C2 C9
2 2

2

?

····················································· 7 分 ·····················································

?

······················································ 8 分 ······················································

∴ ? 的分布列为:
?
0
1 2
{

3

4

P

1 6 11 36

1 3 ? 3? 1 6

11 36 ? 4?

1 6 1 36 ?

1 36 14 9

10 分 ··························· 12 分 ···························

E? ? 0 ?

1 6

? 1?

1 3

? 2?

第 6 页 共 10 页

20.解: (Ⅰ)由题意,每小时的燃料费用为 0 .5 x (0 ? x ? 5 0 ) ,
2

从甲地到乙地所用的时间为

300 x

小时,········································· 2 分 ········································
300 x ? 800 ? 300 x ? 150( x ? 1600 x )

则从甲地到乙地的运输成本 y ? 0 . 5 x 2 ? 故所求的函数为 y ? 0 .5 x 2 ?
300 x ? 800 ?

, (0 ? x ? 50) ···············6分 ·············· , (0 ? x ? 50) . ·········· 7分 ··········
1600 x

300 x

(Ⅱ)解法1:由(Ⅰ) y ? 1 5 0 ? x ?
?

?

1600 ? ? ? 150 ? 2 x ?

x?

? 1 2 0 0 0 , ······ 9分 ······

当且仅当 x ?

1600 x

,即 x ? 40 时取等号. ······································11 分 ·····································

故当货轮航行速度为40海里/小时时,能使该货轮运输成本最少. ············· 12 分 ············· (Ⅱ)解法 2:由(Ⅰ) y ? 150 ( x ?
1600 x 则 x ? ( 0 , 40 )时 , f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减 ; 则 x ? ( 40 , 50 )时 , f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增 ;? x ? 40 时 , f ( x ) 取最小值 80 . y min ? 12000 .
1600 x )( 0 ? x ? 50 ) . ·······················9分 ······················

令 f (x) ? x ?

( 0 ? x ? 50 ), f ' ( x ) ? 1 ?

1600 x
2

,

……11 分

故当货轮航行速度为40 海里/小时时,能使该货轮运输成本最少. ·············12 分 ············ 21.(本小题满分 12 分) 21.解: (Ⅰ)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴, O 为原点,建立平面直角坐标 系,∵动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.且点 Q 在曲线 C 上, ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 2 2 ? 1 2 ? 2 5 >|AB|=4. ∴曲线 C 是为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1. ∴曲线 C 的方程为
x
2

+y2=1

··········· ··········· ······· 5 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········

5

(Ⅱ)证法 1:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), E (0, y 0 ) , 易知 B 点的坐标为 ( 2, 0 ) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交.

第 7 页 共 10 页

∵ E M ? ?1 M B ,∴ ( x1 , y1 ? y 0 ) ? ?1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) . ∴ x1 ?
2 ?1 1 ? ?1

???? ?

????

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, y1 ?

y0 1 ? ?1

. ·············································· 7 分 ··············································
2 ?1

将 M 点坐标代入到椭圆方程中得: (

1

5 1 ? ?1
2

) ?(
2

y0 1 ? ?1

)

2

?1,

去分母整理,得 ? 1 ? 10 ? 1 ? 5 ? 5 y 0 ? 0 . ·····························10 分 ····························
2

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同理,由 E N ? ? 2 N B 可得: ? 2 ? 10 ? 2 ? 5 ? 5 y 0 ? 0 .
2 2

????

??? ?

∴ ? 1 , ? 2 是方程 x ? 10 x ? 5 ? 5 y 0 ? 0 的两个根,
2 2

∴ ? 1 ? ? 2 ? ? 10 .

·····················································12 分 ····················································

(Ⅱ)证法 2:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), E (0, y 0 ) , 易知 B 点的坐标为 ( 2, 0 ) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. 显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2 ) . 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得
(1 ? 5 k ) x ? 20 k x ? 20 k
2 2 2 2

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? 5 ? 0 . ··········································8 分 ·········································
20 k
2

∴ x1 ? x 2 ?
???? ?

20 k

2 2

1 ? 5k

, x1 x 2 ?

?5
2

1 ? 5k



又 ∵ E M ? ?1 M B , 则 ( x1 , y1 ? y 0 ) ? ?1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) .∴ ? 1 ?
???? ??? ?

????

x1 2 ? x1



同理,由 E N ? ? 2 N B ,∴ ? 2 ?

x2 2 ? x2

. ······································ 10 分 ······································

∴ ?1 ? ? 2 ?

x1 2 ? x1

?

x2 2 ? x2

?

2 ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 4 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2

? ? ? ? 10 . ··················· 12 分 ···················

第 8 页 共 10 页

2 22.解: (Ⅰ)∵f (x)=-x3+ax2+bx+c,∴ f ? ? x ? ? ? 3 x ? 2 a x ? b . ··················1 分 ·················

∵f(x)在在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,∴当 x=0 时,f(x)取到极小值, 即 f ? ? 0 ? ? 0 .∴b=0. ·············································3 分 ············································

(Ⅱ)由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c, ∵1 是函数 f(x)的一个零点,即 f(1)=0,∴c=1-a. ································ 5 分 ································
2 ∵ f ? ? x ? ? ? 3 x ? 2 a x ? 0 的两个根分别为 x1 ? 0 , x 2 ?

2a 3



∵f(x)在(0,1)上是增函数,且函数 f(x)在 R 上有三个零点, ∴ x2 ?
2a 3 ? 1 ,即 a ? 3 2

. ·················································· 7 分 ··················································
5 2

∴ f ? 2 ? ? ? 8 ? 4 a ? ?1 ? a ? ? 3 a ? 7 ? ? 故 f(2)的取值范围为 ? ?
? ? 5



? , ? ? ? .············································9 分 ··········································· 2 ?
3 2

(Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)知 f ? x ? ? ? x ? a x ? 1 ? a ,且 a ? ∵1是函数 f ? x ? 的一个零点,∴ f ? 1 ? ? 0 ,

3 2



∵ g ( x) ? x ? 1, ∴ g (1) ? 0 , ∴点 (1, 0 ) 是函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的图像的一个交点. ······················10 分 ····················· 结合函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的图像及其增减特征可知,当且仅当函数 f ( x) 和函数 g ( x ) 的图像只有一个交点 (1, 0 ) 时, f ( x ) ? g ( x ) 的解集为 ( ? ? ,1) . 即方程组 ?
3

? y ? x ? 1, ? y ? ? x ? ax ? 1 ? a
3 2
2

(1)只有一个解 ?

? x ?1 ?y ? 0

. ······················ 11 分 ······················

3 2 由 ? x ? a x ? 1 ? a ? x ? 1 ,得 ? x ? 1 ? ? a ? x ? 1 ? ? ? x ? 1 ? ? 0 .

即 ? x ? 1? ? x ? x ? 1? ? a ? x ? 1? ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 0 .
2

即 ? x ? 1 ? ? x ? ?1 ? a ? x ? ? 2 ? a ? ? ? 0 . ? ?
2

∴ x ? 1 或 x ? ? 1 ? a ? x ? ? 2 ? a ? ? 0 . ···································12 分 ···································
2

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由方程 x ? ? 1 ? a ? x ? ? 2 ? a ? ? 0 , (2)
2

第 9 页 共 10 页

得 ? ? ? 1 ? a ? ? 4 ? 2 ? a ? ? a ? 2 a ? 7 .∵ a ?
2 2

3 2

, ··························· 13分 ···························
? x ?1 ?y ? 0

当 ? ? 0 ,即 a ? 2 a ? 7 ? 0 ,解得
2

3 2

? a ? 2 2 ?1

此时方程(2)无实数解,方程组(1)只有一个解 ?
3 2



所以

? a ? 2 2 ? 1 时, f ( x ) ? g ( x ) 的解集为 ( ? ? ,1) . ······················· 14分 ·······················
3 2

(Ⅲ)解法2:由(Ⅱ)知 f ? x ? ? ? x ? a x ? 1 ? a ,且 a ?

3 2



2 ∵1是函数 f ? x ? 的一个零点? f ( x ) ? ? ( x ? 1) ? x ? ? 1 ? a ? x ? 1 ? a ? ? ?

又 f ( x ) ? g ( x ) 的解集为 ( ? ? ,1) ,
2 ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? ( x ? 1) ? x ? ?1 ? a ? x ? 2 ? a ? ? 0 解 集 为 ? - ? , 1 ? ··············10分 ············· ? ?

? x ? ?1 ? a ? x ? 2 ? a ? 0 恒 成 立
2

·········································· 11分 ·········································· ··········································12 分 ·········································

? ? ? ?1 ? a ? ? 4 ? 1 ? ? 2 ? a ? ? 0
2

? a ? 2a ? 7 ? 0
2

? ? a ? 1? ? 8
2

来源:www.x+k++100.com

又?a ?

3 2

?

?3 ? ? a ? 2 2 ? 1 ? a的 取 值 范 围 为 ? , 2 ? 1 ? ·····················14分 2 ···················· 2 ?2 ? 3

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