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立体几何二轮复习材料


2009 届高三数学第二轮复习备课材料------立体几何

立体几何二轮复习材料
【课程目标】 本模块的内容包括:立体几何初步、平面解析几何初步。 通过立体几何初步的教学,使学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识 和探索几何图形及其性质的过程;使学生直观认识和理解空间点、线、面的位置关系,能用数学语 言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证,了解一些简单几何体的表面积与体 积的计算方法;培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以 及几何直观能力;使学生感受、体验从整体到局部、从具体到抽象,由浅入深、由表及里、由粗到 细等认识事物的一般科学方法。 【学习要求】 1.立体几何初步 (1)空间几何体 直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征;能运用这些结构特征描述现实生活中简 单物体的结构。 能画出简单空间图形(棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的简易组合)的三视图,能识别上述的 三视图所表示的立体模型;能使用纸板等材料制作简单空间图形(例如长方体、圆柱、圆锥等)的 模型,会用斜二测法画出它们的直观图。 了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图) ,了解三视图、直观图与它们所表示 的立体模型之间的内在联系。 会画某些简单实物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,直观图的尺寸、线条等不 作严格要求) 。 (2)点、线、面之间的位置关系 理解空间点、线、面的位置关系;会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系。了解 如下可以作为推理依据的 4 条公理、3 条推论和 1 条定理: ◆公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 ◆公理 2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 ◆公理 3:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行。 ◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等。 了解空间线面平行、垂直的有关概念;能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系;理解 如下的 4 条关于空间中线面平行、垂直的判定定理: ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
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◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 ◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。 ◆一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 并能用图形语言和符号语言表述这些判定定理(这 4 条定理的证明,这里不作要求) 。 理解如下的 4 条关于空间中线面平行、垂直的性质定理: ◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。 ◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。 ◆垂直于同一个平面的两条直线平行。 ◆两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 能用图形语言和符号语言表述这些性质定理,并能加以证明。 能运用上述 4 条公理、3 条推论和 9 条定理证明一些空间位置关系的简单命题。 了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角的概念;了解点到平面的距 离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念(上述角与距离的计算不作要 求) 。 (3)柱、锥、台、球的表面积和体积 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) ,会求直棱柱、正棱锥、 正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积。

2008 江苏高考数学科考试说明
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次( 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在下表中分别用 A、B、C 依次分为了解 表示)。 表示)。 了解:要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题。 了解:要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题。 理解:要求对所列知识有较深刻的认识,并能解决有一定综合性的问题。 理解: 要求对所列知识有较深刻的认识, 并能解决有一定综合性的问题。 掌握: 要求系统地掌握知识的内在联系, 并能解决综合性较强的或较为困难的问题。 掌握: 要求系统地掌握知识的内在联系, 并能解决综合性较强的或较为困难的问题。 具体考查要求如下 要 求 内 容 A B C 柱、锥、台、球及其简单组成体 √ 14.空间几何体 三视图与直视图 √ 柱、锥、台、球的表面积和体积 √ 平面及其基本性质 √ 15.点、线、面 直线与平面平行、垂直的判定与性质 √ 之间的位置关系 两平面平行、垂直的判定与性质 √

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16.(08 江苏卷 江苏卷)(14 分)在四面体 ABCD 中, CB = CD, AD ⊥ BD ,且 E、F 分别是 AB、BD 的 B 中点, 求证: (1)直线 EF//面 ACD F (2)面 EFC⊥面 BCD E 【解析】 :本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置 D 关系的判定,考查空间想象能力、推理论证能力。 (1)∵E、F 分别是 AB、BD 的中点 ∴EF 是△ABD 的中位线 ∴EF//AD C A 又∵ EF ? 面 ACD,AD ? 面 ACD∴直线 EF//面 ACD (2)

EF // AD ? ? ? EF ⊥ BD AD ⊥ BD ?

CB = CD ? ? ? CF ⊥ BD F为BD中点? CF I EF = F

? BD ⊥ 面CEF ? ? ? 面EFC ⊥ 面BCD BD ? 面BCD ?

19.(08 山东文科 山东文科)(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ,

AB ∥ DC , △PAD 是等边三角形,已知 BD = 2 AD = 8 , AB = 2 DC =P4 5 .
(Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ⊥ 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. (Ⅰ)证明:在 △ ABD 中, 由于 AD = 4 , BD = 8 , AB = 4 5 , 所以 AD 2 + BD 2 = AB 2 . 故 AD ⊥ BD . 又平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ,平面 PAD I 平面 ABCD = AD , P M A D O C B A M D C B

BD ? 平面 ABCD , 所以 BD ⊥ 平面 PAD , 又 BD ? 平面 MBD , 故平面 MBD ⊥ 平面 PAD . (Ⅱ)解:过 P 作 PO ⊥ AD 交 AD 于 O , 由于平面 PAD ⊥ 平面 ABCD , 所以 PO ⊥ 平面 ABCD . 因此 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高, 又 △PAD 是边长为 4 的等边三角形.
因此 PO =

3 ×4 = 2 3. 2 4×8 8 5 = , 5 4 5

在底面四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , AB = 2 DC , 所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ ADB 中,斜边 AB 边上的高为 此即为梯形 ABCD 的高,
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所以四边形 ABCD 的面积为 S = 故 VP ? ABCD =

2 5+4 5 8 5 × = 24 . 2 5

1 × 24 × 2 3 = 16 3 . 3

12.(08 宁夏卷)已知平面 α ⊥ 平面 β ,α I β = l ,点 A ∈ α , A ? l ,直线 AB ∥ l ,直线 AC ⊥ l , (08 宁夏卷) 直线 m ∥α,m ∥ β ,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( D ... A. AB ∥ m B. AC ⊥ m C. AB ∥ β D. AC ⊥ β )

18.(08 宁夏卷)(本小题满分 12 分)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面 (08 宁夏卷) 体的直观图.它的正视图和俯视图在下面画出(单位:cm) (Ⅰ)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (Ⅲ)在所给直观图中连结 BC ′ ,证明: BC ′ ∥面 EFG .

G

D′
F

B′

C′
C

2

6

2 2 4

E D A 解: (Ⅰ)如图 2 6

B

4

2 2 4

6 4 2

( 正 视

4 ( 侧 视

2 ( 俯 视

···························································································· 3 分 (Ⅱ)所求多面体体积

V = V长方体 ? V正三棱锥

A′
E A

G

D′
F

C′ B′
C B

1 ?1 ? = 4× 4× 6 ? ×? × 2× 2?× 2 3 ?2 ?
=

D

284 (cm 2 ) .········································································· 7 分 3 (Ⅲ)证明:在长方体 ABCD ? A′B′C ′D′ 中, 连结 AD′ ,则 AD′ ∥ BC ′ . 因为 E,G 分别为 AA′ , A′D′ 中点, 所以 AD′ ∥ EG , 从而 EG ∥ BC ′ .又 BC ′ ? 平面 EFG , 所以 BC ′ ∥面 EFG . ········································································································· 12 分
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7.(08 广东卷 广东卷)将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是△CHI 三边的中点)得到几何 体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为 A A A H G B B B B B C C 侧视 B I E D E D E A. E B. E C. E

D. F F 图1 图2 18. (08 广东卷 广东卷)(本小题满分 14 分) 如图 5 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径,∠ ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP~△BAD. P (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC= 11 R,求三棱锥 P-ABC 的体积. 解: (1)因为 BD 是圆的直径,所以 ∠BAD = 90 又△ADP~△BAD. 所
o



A B C 图5

D

AD DP AD = , DP = BA AD BA

2

2 o (2)在 Rt BCD 中, CD = BD cos 45 = 2 R 2 2 2 2 2 因为 PD + CD = 9 R + 2 R = 11R o 所以 PD ⊥ CD 又 ∠PDA = 90 所以 PD ⊥ 底面 ABCD ? 3 3 +1 2 1 1 2 1 2? S ABC = AB × BC sin ( 60o + 45o ) = R × 2 R ? ? 2 × 2 + 2× 2 ? = 4 R ? 2 2 ? ? 三棱锥 P ? ABC 体积为 1 1 3 +1 2 3 +1 3 VP ? ABC = × S ABC × PD = × R × 3R = R 3 3 4 4
11. . (06 江苏卷)两相同的正四棱锥组成如图 1 所示的几何体,可放棱长为 1 的正方体内,使正四 ( 江苏卷) 棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积 ... 的可能值有(D) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)无穷多个

( BD sin 60 ) = 4R × 4 = 3R = ( BD sin 30 ) 2 R × 1
o 2 o

3

73.(06 天津卷)如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD ( 天津卷) 的 对 角 线的 交 点 ,面 CDE 是 等 边 三 角形 , 棱

EF //

1 BC . =2

(1)证明 FO //平面 CDE ; (2)设 BC =

3CD ,证明 EO ⊥ 平面 CDF .

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33. . (06 安徽卷)多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相 ( 安徽卷) 邻的,如图,正方体的一个顶点 A 在平面 α 内,其余顶点在 α 的同侧,正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 α 的距离分别 为 1,2 和 4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则 P 到 平面 α 的距离可能是: _①③④⑤_____ (写出所有正确结论的 编号) ①3; .. ②4; ③5; ④6; ⑤7 D

D1

C1 A1 B1

C B A

α

34. . (06 安徽卷)平行四边形的一个顶点 A 在平面 α 内,其余顶点在 α 的同侧,已知其中有两个顶 ( 安徽卷) 点到 α 的距离分别为 1 和 2 ,那么剩下的一个顶点到平面 α 的距离可能 是:①1; ②2; ③3; ④4; C D B

以上结论正确的为_____①③_________。 (写出所有正确结论的编号) .. 36.(06 广东卷)棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表 ( 广东卷) 面积为____ 27π
A

α
B

A

C

37.(06 湖南卷)过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其 ( 湖南卷) 中与平面 ABB1A1 平行的直线共有 6 条.
A1 P C1

38.(06 江西卷)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角 ( 江西卷) 形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1= 2 ,P 是 BC1 上一动点,则 CP +PA1 的最小值是___________ 5 2 39.(06 江西卷)如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 1,高 ( 江西卷) 为 8,一质点自 A 点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短 .. 路线的长为 10. 41. ( 06 辽 宁 卷 ) 如 图, 半 径 为 2 的 半 球 内 有 一 内 接 正 六 棱 锥

B
B1

C

C1 A1

P

P ? ABCDEF ,则此正六棱锥的侧面积是_______ 6 7
43.(06全国 )圆 o1 是以R为半径的球O的小圆,若圆 o1 的面积 S1 和 B ( 全国 全国II) 球O的表面积S的比为 S1 : S = 2 : 9 ,则圆心 o1 到球心O的距离与球半 径的比 OO1 : R = ____ OO1 : R = 1: 3 A

C

D E F

49.(06 四川卷)m、n 是空间两条不同直线,α、β 是空间两条不同平面,下面有四个命题: ( 四川卷) ①m⊥α,n∥β,α∥β ? m⊥n ③m⊥n,α∥β,m∥α ? n⊥β ②m⊥n,n∥β,m⊥α ? n∥β ④m⊥α,m∥n,α∥β ? n⊥β
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其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号) 。①、④. 52.(06 上海春)正四棱锥底面边长为 4,侧棱长为 3,则其体积为 ( 上海春) 4.(07 江苏 江苏)已知两条直线 m,n ,两个平面 α,β .给出下面四个命题: ① m ∥ n , m ⊥ α ? n ⊥ α ;② α ∥ β , m ? α , n ? β ? m ∥ n ; ③ m ∥ n , m ∥α ? n ∥α ;④ α ∥ β , m ∥ n , m ⊥ α ? n ⊥ β . 其中正确命题的序号是( C ) A.①、③ B.②、④ C.①、④ ..

16 3

D.②、③

18.(07 江苏 江苏)如图,已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是棱长为 3 的正方体, 点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE = FC1 = 1 . (1)求证: E,B,F,D1 四点共面; 分) (4 (2)若点 G 在 BC 上, BG =

D1 B1

A1

C1 F

E M D A H G B

2 ,点 M 在 BB1 上, 3

GM ⊥ BF ,垂足为 H ,求证: EM ⊥ 平面 BCC1 B1 ; C分) (4

本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算, 本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算,考查空间 想象能力、逻辑推理能力和运算能力. 想象能力、逻辑推理能力和运算能力.满分 12 分. 解法一: (1)如图,在 DD1 上取点 N ,使 DN = 1 ,连结 EN , CN ,则 AE = DN = 1 , CF = ND1 = 2 . 因为 AE ∥ DN , ND1 ∥ CF ,所以四边形 ADNE , CFD1 N 都为平行四边形. 从而 EN ∥ , FD1 ∥ CN . AD 又因为 AD ∥ ,所以 EN ∥ ,故四边形 BCNE 是平行四边形, BC BC

D1 C1 B1 N M D C

A1

由此推知 CN ∥ BE ,从而 FD1 ∥ BE . 因此, E,B,F,D1 四点共面. (2)如图, GM ⊥ BF ,又 BM ⊥ BC ,所以∠BGM = ∠CFB ,

F

E A H G B

BC 2 3 BM = BG tan ∠BGM = BG tan ∠CFB = BG = × = 1. CF 3 2
因为 AE ∥ BM ,所以 ABME 为平行四边形,从而 AB ∥ EM . 又 AB ⊥ 平面 BCC1 B1 ,所以 EM ⊥ 平面 BCC1 B1 .

3.(07 山东 山东)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( D )
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①正方形 A.①②

②圆锥 B.①③

③三棱台 C.①④

④正四棱锥 D.②④

20.(07 山东 山东)(本小题满分 12 分)如图,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 已知 DC = DD1 = 2 AD = 2 AB , AD ⊥ DC,AB ∥ DC . (1)求证: D1C ⊥ AC1 ;

D1
(2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,使 D1 E ∥ 平面

C1 B1

A1 A1 BD ,并说明理由.
(1)证明:在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 连结 C1 D ,Q DC = DD1 ,

∴ 四边形 DCC1 D1 是正方形.∴ DC1 ⊥ D1C .
A 又 AD ⊥ DC , AD ⊥ DD1,DC ⊥ DD1 = D ,

D B

C

∴ AD ⊥ 平面 DCC1 D1 , ∴ AD ⊥ D1C .

D1C ? 平面 DCC1 D1 , D1 A1 B1 C1

Q AD,DC1 ? 平面 ADC1 ,
且 AD ⊥ DC = D ,∴ D1C ⊥ 平面 ADC1 , 又 AC1 ? 平面 ADC1 ,∴ D1C ⊥ AC1 . (2)连结 AD1 ,连结 AE , A 设 AD1 I A1 D = M , D B M

E

C

BD I AE = N ,连结 MN ,
Q 平面 AD1 E I 平面 A1 BD = MN ,
要使 D1 E ∥ 平面 A1 BD ,须使 MN ∥ D1 E ,
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又 M 是 AD1 的中点.∴ N 是 AE 的中点. 又易知 △ ABN ≌△EDN ∴ AB = DE . 即 E 是 DC 的中点.综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1 E ∥ 平面 A1 BD . 19.(07 广东卷 广东卷)(本小题满分 14 分)如图 6 所示,等腰 △ ABC 的底边 AB = 6 6 ,高 CD = 3 , 点 E 是线段 BD 上异于点 B,D 的动点,点 F 在 BC 边上,且 EF ⊥ AB ,现沿 EF 将 △BEF 折起 到 △PEF 的位置,使 PE ⊥ AE ,记 BE = x , V ( x ) 表示四棱锥 P ? ACFE 的体积. (1)求 V ( x ) 的表达式; (2)当 x 为何值时, V ( x ) 取得最大值? (3)当 V ( x ) 取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值. (1)由折起的过程可知,PE⊥平面 ABC,
S?ABC = 9 6 , S ?BEF =

P

A C

D F 图6

E

B

x 6 2 ? S ?BDC = x 54 12

2

V(x)=

6 1 x(9 ? x 2 ) ( 0 < x < 3 6 ) 3 12 6 1 (9 ? x 2 ) ,所以 x ∈ (0, 6) 时, v '( x) > 0 , 3 4
A

P

(2) V '( x) =

D E B C F 俯6

V(x)单调递增; 6 < x < 3 6 时 v '( x) < 0 ,V(x)单调递减; 因此 x=6 时,V(x)取得最大值 12 6 ; (3)过 F 作 MF//AC 交 AD 与 M, 则
BM BF BE BE = = = , MB = 2 BE = 12 ,PM= 6 2 , 1 AB BC BD AB 2
6 3 6 BC = 6 54 + 9 = 42 , 3

MF = BF = PF =

在△PFM 中, cos ∠PFM =

84 ? 72 2 2 = ,∴异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值为 ; 42 7 7

(15) (07 浙江卷)如图, 浙江卷) 已知球 O 点面上四点 A、 C、 DA ⊥ 平面 ABC, ⊥ BC, B、 D, AB DA=AB=BC= 3 ,则球 O 点体积等于 。

D

9π (关键是找出球心,从而确定球的半径。由题意,三角形 DAC, 关键是找出球心, 关键是找出球心 从而确定球的半径。由题意, 2
都是直角三角形,且有公共斜边。 三角形 DBC 都是直角三角形,且有公共斜边。所以 DC 边的中点就是 球心( 四点距离相等) ,所以球的半径就是线段 球心(到 D、A、C、B 四点距离相等) 所以球的半径就是线段 DC 长度 , 的一半。 的一半。 )

A
C

B

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2008~2009 江苏各地考试试卷
16. (15 分)已知等腰梯形 PDCB 中(如图 1) ,PB=3,DC=1,PB=BC= 2 ,A 为 PB 边上一点, 且 PA=1,将△PAD 沿 AD 折起,使面 PAD⊥面 ABCD(如图 2). (1)证明:平面 PAD⊥PCD; (2)试在棱 PB 上确定一点 M,使截面 AMC 把几何体分成的两部分
V PDCMA : VMACB = 2 : 1 ;

(3)在 M 满足(2)的情况下,判断直线 PD 是否平行面 AMC. (1)证明:依题意知: CD ⊥ AD.又 Q 面PAD ⊥ 面ABCD

∴ DC ⊥ 平面PAD.

…………2 分

又DC ? 面PCD

∴ 平面PAD ⊥ 平面PCD. …4 分

(2)由(1)知 PA ⊥ 平面 ABCD ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. …………5 分 在 PB 上取一点 M,作 MN⊥AB,则 MN⊥平面 ABCD, 设 MN=h 则 VM ? ABC =

1 1 1 h S ?ABC ? h = × × 2 × 1 × h = 3 3 2 3 1 1 (1 + 2) 1 V P ? ABCD = S ?ABC ? PA = × ×1×1 = …………8 分 3 3 2 2 1 h h 1 要使 V PDCMA : VMACB = 2 : 1, 即( ? ) : = 2 : 1, 解得h = 2 3 3 2
即 M 为 PB 的中点. …………10 分

(3)连接 BD 交 AC 于 O,因为 AB//CD,AB=2,CD=1,由相似三角形易得 BO=2OD ∴O 不是 BD 的中心……………………10 分 又∵M 为 PB 的中点 ∴在△PBD 中,OM 与 PD 不平行 ∴OM 所以直线与 PD 所在直线相交 又 OM ? 平面 AMC ∴直线 PD 与平面 AMC 不平行.……………………15 分 16.已知 ABCD 是矩形,AD=4,AB=2,E、F 分别是线段 AB、BC 的中点,PA⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:PF⊥FD;(Ⅱ)问棱 PA 上是否存在点 G,使 EG//平面 PFD,若存在,确定点 G 的位置,
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若不存在,请说明理由. (Ⅰ)证明:连结 AF,在矩形 ABCD 中,因为 AD=4,AB=2,点 F 是 BC 的中点,所以∴AFB=∴DFC=45° . 所以∴AFD=90° 即 AF⊥FD. , 又 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥FD. 所以 FD⊥平面 PAF. 故 PF⊥FD. B E F C A D P

(Ⅱ) E 作 EH//FD 交 AD 于 H,则 EH//平面 PFD,且 AH= 过 G,则 GH//平面 PFD,且 AG= 从而点 G 满足 AG=

1 AD. 再过 H 作 HG//PD 交 PA 于 4

1 PA. 所以平面 EHG//平面 PFD,则 EG//平面 PFD, 4

1 PA. 4

AB BC 18、 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, = AC = AA1 = 3a , = 2a ,
D 是 BC 的中点, F 是 C1C 上一点,且 CF = 2a .

C1 A1 F B1

(1)求证: B1 F ⊥ 平面 ADF ; (2)求三棱锥 D ? AB1 F 的体积; (3)试在 AA 1 上找一点 E ,使得 BE // 平面 ADF .
(1)证明:Q AB = AC , D 为 BC 中点

C D A B

∴ AD ⊥ BC ,又直三棱柱中: BB1 ⊥ 底面

ABC , AD ? 底面 ABC ,∴ AD ⊥ BB1 ,∴ AD ⊥ 平面 BCC1 B1 ,Q B1 F ? 平面 BCC1 B1

∴ AD ⊥ B1 F .在 矩形 BCC1 B1 中: C1 F = CD = a ,
CF = C1 B1 = 2a

∴ Rt ?DCF ? Rt ?FC1 B1 ,∴∠CFD = ∠C1 B1 F

∴∠B1 FD = 90o ,

即 B1 F ⊥ FD ,

Q AD I FD = D ,∴ B1 F ⊥ 平面 AFD ; ----------5 分

(2)解:Q AD ⊥ 平面 BCC1 B1

1 ∴VD ? AB1 F = VA? B1 DF = ? S 3

B1 DF

? AD

1 1 5 2a3 = × B1 F ? FD × AD = ; -------10 分 3 2 3 (3)当 AE = 2a 时, BE // 平面 ADF . 证明:连 EF , EC ,设 EC I AF = M ,连 DM ,Q AE = CF = 2a ∴ AEFC 为矩形,∴ M 为 EC 中点,
Q D 为 BC 中点,∴ MD // BE ,Q MD ? 平面 ADF , BE ? 平面 ADF ∴ BE // 平面 ADF . ------16 分
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17、已知直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ⊥ BC , AB = 1, BC = 2, CD = 1 + 3, 过 A 作

AE ⊥ CD ,垂足为 E , G、F分别 为AD、CE 的中点,现将 ?ADE 沿 AE 折叠,使得 DE ⊥ EC .
(5 (2)求证: FG // 面BCD ; 分) (5 (1)求证: BC ⊥ 面CDE ; 分) (3)在线段 AE 上找一点 R ,使得面 BDR ⊥ 面 DCB ,并说明理由. (5 分) D D E F · C G E A B



F

C

A

B

解: (1)证明:由已知得: DE ⊥ AE , DE ⊥ EC , ∴ DE ⊥ 面ABCE …………(2 分)

∴ DE ⊥ BC , 又BC ⊥ CE ,∴ BC ⊥ 面DCE ……………………(5 分)
(2)证明:取 AB 中点 H ,连接 GH , FH ,

∴ GH // BD , FH // BC , ∴ GH // 面BCD , FH // 面BCD ……………(7 分) ∴ 面FHG // 面BCD , ∴ GF // 面BCD …………………………(10 分)

(3)分析可知, R 点满足 3AR = RE 时, 面BDR ⊥ 面BDC ……………………(11 分) 证明:取 BD 中点 Q ,连结 DR 、 BR 、 CR 、 CQ 、 RQ 容易计算 CD = 2, BD =

5 13 21 , CR = , DR = , CQ = 2 , 2 2 2

在 BDR 中Q BR =

5 21 5 , DR = , BD = 21 ,可知 RQ = , 2 2 2

∴在 CRQ 中, CQ 2 + RQ 2 = CR 2 ,∴ CQ ⊥ RQ ……………………………(13 分) 又在 CBD 中, CD = CB, Q为BD中点∴ CQ ⊥ BD ,

∴ CQ ⊥ 面BDR , ∴ 面BDC ⊥ 面BDR ………………………………………(15 分)
(说明:若设 AR = x ,通过分析,利用 面BDC ⊥ 面BDR 推算出 x =

1 ,亦可,不必再作证明) 2

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16.在几何体 ABCDE 中,∠BAC=

π
2

,DC⊥平面 ABC,EB⊥平面 ABC,F 是 BC 的中点,

AB=AC=BE=2,CD=1 (1)求证:DC∥平面 ABE; (2)求证:AF⊥平面 BCDE; (3)求证:平面 AFD⊥平面 AFE. 解:(Ⅰ) ∵DC⊥平面 ABC,EB⊥平面 ABC ∴DC//EB,又∵DC ? 平面 ABE,EB ? 平面 ABE,∴DC∥平面 ABE……(4 分) (Ⅱ)∵DC⊥ 平 面 ABC , ∴DC⊥AF , 又 ∵AF⊥BC,∴AF⊥平面 BCDE……(8 分) (Ⅲ)由(2)知 AF⊥平面 BCDE,∴AF⊥EF,在三角形 DEF 中,由计算知 DF⊥EF, ∴EF⊥平面 AFD,又 EF ? 平面 AFE,∴平面 AFD⊥平面 AFE.……(14 分) 17.一个多面体的直观图及三视图如图所示: (其中 M、N 分别是 AF、BC 的中点). (1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求多面体 A—CDEF 的体积. 解:由三视图可知,该多面体是底面为直角三 角形的直三棱住 ADE—BCF, 且 AB=BC=BF=2,DE=CF=2 2 . ∴∴CBF=

π

2

.

取 BF 中点 G,连 MG、NG, 由 M、N 分别为 AF、BC 的中点可得, NG∥CF,MG∥EF, ∴平面 MNG∥平面 CDEF ∴MN∥平面 CDEF. (2)取 DE 的中点 H.∵AD=AE,∴AH⊥DE, 在直三棱柱 ADE—BCF 中, 平面 ADE⊥平面 CDEF, ADE∩面 CDEF=DE.∴AH⊥平面 CDEF. 面 ∴ 多 面 体 A—CDEF 是 以 AH 为 高 , 以 矩 形 CDEF 为 底 面 的 棱 锥 , 在 △ADE 中 , AH= 2 , S 矩形CDEF = DE ? EF = 4 2 , ∴棱锥 A—CDEF 的体积为 V =

1 1 8 ? S 矩形CDEF ? AH = × 4 2 × 2 = . 3 3 3

17 如 图 , 矩 形 ABCD 中 , AD ⊥ 平面ABE , AE = EB = BC = 2 , F 为 CE 上 的 点 , 且

BF ⊥ 平面ACE ,AC、BD 交于点 G.
(1)求证: AE ⊥ 平面BCE (6 分) ; (2)求证; AE // 平面BFD (6 分) ; (3)求三棱锥 C ? BGF 的体积(4 分).

D

C

G

A 17 解.(1)证明:Q AD ⊥ 平面ABE , AD // BC ∴ BC ⊥ 平面ABE , E ∴ AE ⊥ BC
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F B

Q AE ? 平面 ABE,

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又Q BF ⊥ 平面ACE ,∴ AE ⊥ BF 又∵BC∩BF=B, BC、BF ? 平面BCE ∴ AE ⊥ 平面BCE ………………… 6 分 (Ⅱ)证明:依题意可知: G 是 AC 中点

D

C

G

Q BF ⊥ 平面ACE 则 CE ⊥ BF ,而 BC = BE A
∴ F 是 EC 中点 , 在 ?AEC 中, FG // AE ,且 FG ? 平面 BFD,AE ? 平面 BFD. E ∴ AE // 平面BFD …………… 12 分 (Ⅲ)解:Q AE // 平面 BFD ∴ AE // FG ,而 AE ⊥ 平面BCE ∴ FG ⊥ 平面BCE ∴ FG ⊥ 平面BCF

F B

Q G 是 AC 中点
∴ F 是 CE 中点 ∴ FG // AE 且 FG =

1 AE = 1 2

Q BF ⊥ 平面ACE
∴ BF ⊥ CE ∴ Rt?BCE 中, BF = CF = ∴ S ?CFB = ∴ VC ? BFG

1 CE = 2 2

1 ? 2 ? 2 =1 2 1 1 = VG ? BCF = ? S ?CFB ? FG = ………………… 16 分 3 3

(其它求法一样给分) 16. 如图为正方体 ABCD-A1B1C1D1 切去一个三棱锥 B1—A1BC1 后得到的几何体. (1) 画出该几何体的正视图; (2)若点 O 为底面 ABCD 的中心, 求证: 直线 D1O∥平面 A1BC1; (3) 求证:平面 A1BC1⊥平面 BD1D. . 解: (1)该几何体的正视图为:------------------3 分

设 (2) 将其补成正方体 ABCD-A1B1C1D1, B1D1 和 A1C1 交于
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点 O1,连接 O1B, 依题意可知,D1O1∥OB,且 D1O1=OB,即四边形 D1OB O1 为平行四边形,--6 分 则 D1O∥O1B,因为 BO1 ? 平面 BA1C1,D1O ? 平面 BA1C1, 所以有直线 D1O∥平面 BA1C1;-------------------------------------------------------8 分 (3)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,DD1⊥平面 A1B1C1D1, 则 DD1⊥A1C1,---------------------------------------------------10 分 另一方面,B1D1⊥A1C1,---------------------------------------------------------12 分 又∵DD1∩B1D1= D1,∴A1C1⊥平面 BD1D, ∵ A1C1 ? 平 面 A1BC1 , 则 平 面 A1BC1 ⊥ 平 面 BD1D.-------------------14 分 6、 如图是利用斜二测画法画出的 ?ABO 的直观图,已知 O ' B ' =4, 且 ?ABO 的面积为 16,过 A' 作 A' C ' ⊥ x ' 轴,则 A'C ' 的 长为

2 2

.

17、一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M、N 分别是 AB、AC 的中点,G 是 DF 上的一 动点. (1)求证: GN ⊥ AC ; (7 分) (2)当 FG=GD 时,在棱 AD 上确定一点 P,使得 GP//平面 FMC,并给出证明.(8 分)
主俯俯 a 左俯俯 
F E

G

D

C N

a a

俯俯俯
A M

B

证明:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥DF,DF=AD=DC (1)连接 DB,可知 B、N、D 共线,且 AC⊥DN 又 FD⊥AD FD⊥CD, ∴ FD⊥面 ABCD ∴ FD⊥AC

∴ AC⊥面 FDN GN ? 面FDN ∴ GN⊥AC
(2)点 P 在 A 点处 证明:取 DC 中点 S,连接 AS、GS、GA Q G 是 DF 的中点,∴ GS//FC,AS//CM ∴ 面 GSA//面 FMC

GA ? 面GSA ∴ GA//面 FMC 即 GP//面 FMC

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17.如图所示,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, DB = BC , DB ⊥ AC ,点 M 是棱 BB1 上一点. (Ⅰ)求证: B1 D1 // 面 A1 BD ;(5 分) (Ⅱ)求证: MD ⊥ AC ;(5 分) (Ⅲ)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1 ⊥ 平面 CC1 D1 D . (Ⅰ)证明:由直四棱柱,得 BB1 // DD1 , 且BB1 = DD1 , 所以 BB1 D1 D 是平行四边形,所以 B1 D1 // BD 而 BD ? 平面A1 BD , B1 D1 ? 平面A1 BD , A 所以 B1 D1 // 面 A1 BD …(5 分) ( Ⅱ ) 证 明 : 因 为 BB1 ⊥ 面ABCD,AC ? 面ABCD , 所 以 B …(3 分) D M C D1 A1 B1 C1

BB1 ⊥ AC

………(7 分)

D1 A1

N1

C1

又因为 BD ⊥ AC ,且 BD ∩ BB1 = B ,所以 AC ⊥ 面BB1D 而 MD ? 面BB1D ,所以 MD ⊥ AC ……(10 分)

O

B1

(Ⅲ)当点 M 为棱 BB1 的中点时,平面 DMC1 ⊥ 平面 CC1 D1 D 取 DC 的中点 N, D1C1的中点N1 ,连结 NN1 交 DC1 于 O ,连结 OM .因为 N 是 DC 中点,BD=BC,所以 BN ⊥ DC ; 又因为 DC 是面 ABCD 与面 DCC1 D1 的 交线,而面 ABCD⊥面 DCC1 D1 ,所以 BN ⊥ 面DCC1 D1 ……………(13 分) D A

N

M

C

B

又可证得, O 是 NN1 的中点,所以 BM∥ON 且 BM=ON,即 BMON 是平行四边形,所以 BN∥OM,所以 OM ⊥ 平 面 CC1 D1 D ,因为 OM ?面 DMC1,所以平面 DMC1 ⊥ 平面 CC1 D1 D ……………(15 分) 2 已知一几何体的三视图如图,主视图与左视图为全等的等腰直角三角形,直角边长为 6,俯视图为 正方形, (1) 求点 A 到面 SBC 的距离; (2) 有一个小正四棱柱内接于这个几何体, 棱柱底面在面 ABCD 内,其余顶点在几何体的棱上,当棱柱的底面边长与高取何值时,棱柱的体积最大,并求出这个最 大值。 (1)3 2 ; (2)底面边长为 4、高为 2 时体积最大,最大体积为 32 S 主视图 左视图 S

A D C

B

D

A

A
-16-

俯视图

B

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17. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,E 为棱 CC1 上的的动点. . (1)求证:A1E⊥BD; (2)当 E 恰为棱 CC1 的中点时,求证:平面 A1BD⊥平面 EBD; (3)在(2)的条件下,求 V A1 _ BDE 。 证明: (1)连 AC,A1C1 Q 正方体 AC1 中,AA1 ⊥ 平面 ABCD ∴ AA1 ⊥ BD Q 正方形 ABCD, AC ⊥ BD 且 AC I AA1=A 4分 (2)设 AC I BD=O,则 O 为 BD 的中点,连 A1O,EO 由(1)得 BD ⊥ 平面 A1ACC1

D1 A1 B1

C1

∴ BD ⊥ 平面 ACC1A1 且 E∈ CC1 ∴ A1E ? 平面 ACC1A1 ∴ BD ⊥ A1E

E D A
6分

C

∴ BD ⊥ A1O,BD ⊥ EO

B

∴ ∠A1 EO 即为二面角 A1-BD-E 的平面角
Q AB=a,E 为 CC1 中点

∴ A1O=

6 a 2

A1E=

3 a 2

EO=

3 a 2

∴ A1O2+OE2=A1E2

∴ A1O ⊥ OE

∴ ∠A1OE = 90 0
10 分

∴ 平面 A1BD ⊥ 平面 BDE
(3)由(2)得 A1O ⊥ 平面 BDE 且∴ A1O=

6 a 2

S ?BDE =

6 2 a 4
14 分

∴ V= Sh = a 3
16.一个多面体的直观图和三视图如下:

1 3

1 4

2 2

D

C N F M

2 2
2

2 E

2 A 2
(其中 M , N 分别是 AF, BC 中点) (1)求证: MN // 平面 CDEF ; (2)求多面体 A ? CDEF 的体积.

B

2 2

D

C H E N F G M

2 2
2

2

2 A 2
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B

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(1)由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且 AB = BC = BF = 2 ,

DE = CF = 2 2 ,∴ ∠CBF = 90° . (1)取 BF 中点 G ,连 MG, NG ,由 M , N 分别是 AF, BC 中点,可设: NG // CF , MG // EF ,
∴面 MNG // 面 CDEF ∴ MN // 面 CDEF . (2)作 AH ⊥ DE 于 H ,由于三棱柱 ADE? BCF 为直三棱柱 ∴ AH ⊥ 面 DCEF ,且 AH = 2 ∴ V A?CDEF =

1 1 8 S CDEF ? AH = × 2 × 2 2 × 2 = , 3 3 3

17. (本题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为 正方形, PA ⊥ 底面 ABCD , AB = 2 , PA = 2 , E 为 PD 的中点. (1)求证:PB||平面 EAC; (2)求证:平面 PBD ⊥ 平面 PAC ; (3)在侧面 PAB 上找一点 N ,使 NE ⊥ 面 PAC 。

21. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
D1 C1 B1 E

E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点.
(1)求证: EF //平面 BC1 D1 ; (2)求证: EF ⊥ B1C ; (3)求三棱锥 VB1 ? EFC 的体积. 解: (1)连接 BD1 ,已知 E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点. EF 是三角形 BD1D 的中位线,∴EF//BD1;…(3 分)

A1

D F A B

C

又 EF ? 面BD1C1 , BD1 ? 面BD1C1 ,∴EF//面 BD1C1…(5 分) (2)连接 BD1 、BC1, 正方体中,D1C1⊥面 BCC1B1,BC1?面 BCC1B1,所以 D1C1⊥ B1C……………………………6 分 在正方形 BCCB 中,两对角线互相垂直,即 BC1⊥B1C,………………7 分 D1C1 、BC1?面 BC1D1,所以 B1C⊥面 BC1D1…(8 分) BD1?面 BC1D1,所以有 B1C⊥ BD1,…(9 分) 在(1)已证:EF//BD1,所以 EF⊥B1C.………………………10 分 (3)连接 B1D1,在各直角三角形中,计算得: EB1=3,EF= 3 ,FB1= 6 ,FC= 2 ,B1C= 2 2 , …………………………………12 分

∴VB1 ? EFC =

1 1 B1 F ? FC ? EF = × 2 × 3 × 6 = 1 ………………………………14 分 6 6

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