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立体几何一

【高考理科数学专题复习系列之____】

立体几何
一、要点梳理

(一)

1 三视图:分别从正前方,正左方,正上方观测到的几何体的正投影图。 画法要求:正俯视图长对正、正侧视图高平齐、俯侧视图宽相等 (正视图反映的是长和高。左视图反映的是宽和高。俯视图反映的是长和宽) 常见几何体的三视图: 三棱锥的主视图为__________,侧视图为______________,俯视图为______________________ 三棱柱的主视图为__________,侧视图为______________,俯视图为______________________ 圆锥的主视图为 __________,侧视图为______________,俯视图为______________________ 圆柱的主视图为 __________,侧视图为______________,俯视图为______________________ 长方体的主视图为__________,侧视图为______________,俯视图为______________________ 球的主视图为 __________,侧视图为______________,俯视图为______________________

圆台的主视图为 __________,侧视图为______________,俯视图为______________________ 2、三视图类题目方法点拨: 在求体积时:先明确三视图所对应的是柱体还是锥体,然后看主视图中的高,再看俯视图中的底面积。 在求表面积时:先明确三视图所对应的是柱体还是锥体,然后再分别去求每一个面。 3.体积与表面积公式: (1)柱体的体积公式: V柱 ? Sh ;锥体的体积公式: V锥 ? 台体的体积公式: V棱台 ?

1 Sh ; 3

1 4 h( S ? SS ? ? S ?) ;球的体积公式: V球 ? ? r 3 . 3 3
2

(2)球的表面积公式: S球 ? 4? R . 4、平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理 3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 5.空间线面的位置关系 平行—没有公共点 共面 (1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交)

1

直线在平面内————有无数个公共点 (2)直线和平面 直线不在平面内 平行—--没有公共点 (直线在平面外) 相交—--有且只有一个公共点 相交—---有一条公共直线(无数个公共点) (3)平面与平面 平行—----没有公共点 6.异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 也可用判定定理定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 7、异面直线成的角: (1)范围:____________________ (2)求法:中位线平移法,向量法 二、例题讲解 例 1 、(1)一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形,边长如图所示,那么这个几何 体的体积为( A ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

(2)已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为 1 ,等腰三 角形的腰长为 5 ,则该几何体的体积是 A. ( A )

4? 3

B. 2?

C.

8? 3

D.

10? 3

例 2、下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( ) A.9π B.10π C.11π D.12π

2

练习. 1 已知某个几何体的三视图如下, 根据图中标出的尺寸 (单位: cm) , 可得这个几何体的体积是 (



10 20 10 20 正视图 A. 20 侧视图 20 俯视图 C. 2000cm
3

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

D. 4000cm )

3

2 如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是(

2 1 A. (20 ? 4 2)cm2 C. (24 ? 4 2)cm2 B.21 cm D. 24 cm 2 俯视图 2 主视图 左视图

3.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3

). 2 2

C. 2? ?

2 3 3

D. 4? ?

2 3 3

2 2 侧(左)视图

2 正(主)视图

俯视图

3

O 点, AC,BD 交 M 点, 例 3、如图 1,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AC 1 与截面 DBC1 交
求证: C1,O ,M 三点共线. 分析:在立体几何的问题中,证明若干点共线时,先证明这些点都是某两平面 的公共点,而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.

练习:1 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边 AB、AD、CB、CD 上的点,且直线 EF 和 HG 交于点 P,求证:点 B、D、P 在同一条直线上。

4

例 4、正方体 ABCD---A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点,求证: (1)E、C、D1、F 四点共面。 (2)CE、D1F、DA 三线共点。

练习:1 如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=900,BC BE

1 AD , 2

1 FA ,G,H 分别为 FA,FD 的中点 2
(2)C、D、F、E 四点是否共面,为什么

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形

5

三、课后练习: 1.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等 腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长都为 1,那么这个几何 体的表面积为( )

正视图

侧视图

1 A. 6

3 B. 2 3 3 ? 2 D. 2
俯视图

3 3 ? 4 C. 2

2.已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A. C.

4 3
4

8 3 D. 8
B.

2

主视图

左视图

2
3

3.若正四棱锥的正视图和俯视图如下图所示,则该几何体的表面积 是( ) A.4 C.8 B. 4 ? 4 10 D. 4 ? 4 11

2 俯视图

2 2 正视图

俯视图

4. 如图,AB∥CD,AB ?? ? B,CD ?? ? D,AC ?? ? E,求证:B、E、 D 三点共线。

6


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