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6.12向量内积的坐标运算


6.12 向量内积的坐标运算

复习回顾:

1.平面向量的坐标运算:

? ? 1.已知 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ), ? ? ? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? a ? (? x1, ? y1 )

2.若A( x1, y1), B( x2 , y2 ),则AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 )
注:向量坐标等于终点坐标减去起点坐标

3向量平行充要条件: .
a // b(b ? 0) ? 存在唯一实数 , 使a ? ?b. ?

4.向量平行充要条件的坐 标表示:
若a ? ( x1, y1),b ? ( x2 , y2 ), ? ?? ? 则a // b(b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

一、复习引入
(1) a ? b ? a ? b cos ? ( 2) a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a; a ?b a ?b .

a ? b ? a ? b ? 0; cos ? ?

二、新课讲授
问题1:已知 a ? ( x1, y1 ),b ? ( x2 , y2 ), 怎样用 a, b 的坐标表示 a ? b 呢?请同学们看下 列问题.

? ? 设x轴上单位向量为 i ,Y轴上单位向量为 j
请计算下列式子:

? ? ① i ?i = ? ? ③ i?j =

? ? ② j? j = ? ? ④ j ?i =

? ? 的坐标公式. 问题2:推导出 a ? b
已 知 两 非 零 向 量 ? x1,y1 ,? x2,y2 a ( )b ( )
设i, 别 为 与 轴 和y轴 方 向 相 同 的 单 位 向 , 则 有 j分 x 量 b ? x2 i ? y2 j a ? x1 i ? y1 j
? a ? b ? x1 i ? y1 j (x2 i ? y2 j ( ) ? )

? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 j ? i ? y1 y2 j
? i ? 1, j ? 1, i ? j ? j ? i ? 0
2 2

2

2

? a ? b ? x1 x 2 ? y1 y2

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

? ? 例(1)已知a = (5, 7),= 6, 4), b (- ? ? 求a ? b

问题3:写出,向量平行和垂直的坐标表示式, 向量夹角公式的坐标表示式. 已 知 两 非 零 向 量 ? x1,y1 ,? x2,y2 a ( )b ( ) (1)两向量垂直条件的坐标表示

?a ? b ? a ? b ? 0

? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

(2)两平面向量共线条件的坐标表示 a // ( ? 0 ? 存在唯一的 ?使得 a ? ? b bb )

? ? 若a ? x1,y1), ? x2,y2), ( b ( ? ? a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

注意:与向量垂直的坐标表示区别清楚。

? ? 例(1)已知a = (5, 7),= 6, 4), b (- ? ? 求a ? b
? ? (2)已知a = (3,4),= b (2, 1), ? ? ? ? 且( + mb ⊥ a - b a ) ( ),则实数m为何值?

? ? (3)已知a = (1,2), = b (n,1), ? ? ? ? 且( + 2b a )//(2a - b ), 则实数n为何值?

(3)向量的长度(模)
a ? a ? x1 ? y1
2 2 2 2

或a ?

x 1 ? y1
2

2

若 表 示 向 量的 有 向 线 段 的 起 点 和 点 的 坐 标 分 别 a 终 为 (x1,y1 , ( 2,y 2 , 那 么 ) x )

a ? ( x 2 ? x 1 2 ? y 2 ? y1 2 ) ( )
(平面内两点间的距离 公式)

(4)两向量的夹角

两 非 零 向 量 ? x1,y1 ,? x2,y2)夹 角 为 a ( )b ( , ? x1 x2 ? y1 y2 a?b ? cos ? ? 2 2 2 2 ab x1 ? y1 x1 ? y1

例1.设a = (3, ?1),b = (1, ?2),求a?b,|a|,|b|, 和<a, b>

解: a?b = (3, ?1) (1, ?2)=3+2=5.
|a|= |b|=

a ? a ? 3 ? (?1) ? 10
2 2

b ? b ? 1 ? (?2) ? 5 a ?b 5 2 cos <a, b>= ? ? | a |?| b | 2 10 5
2 2

所以 <a, b>=45°

例2.已知A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5), 求证:△ABC是直角三角形

??? ? 证明: AB =(1, 1), ??? ? AC =(-3, 3) ??? ??? ? ? 所以 AB ? AC =-3+3=0,
即AB⊥AC, △ABC是直角三角形.

例3. 已知点A(1,2),B(3,4),C(5,

0),求∠BAC的余弦值。 ??? ? ??? ? AB ? (2, 2), AC ? (4, ?2),

??? ??? ? ? AB ? AC 10 ? ? cos ?BAC ? ??? ??? ? , | AB | ? | AC | 10

例4. 已知a=(1, 0),b=(2, 1),当k为何实数时,
向量ka-b与a+3b (1)平行;(2)垂直。 解:ka-b=(k-2, -1), a+3b=(7, 3), (1)由向量平行条件得3(k-2)+7=0, 1 所以k= ? 3 (2)由向量垂直条件得7(k-2) -3=0,
17 所以k= 7

??? ? ??? ? 变形:在?ABC中,设 AB ? (2,3), AC ? (1, k ), 且 ?ABC是直角三角形,求k的值。

课堂小结:
这节课我们主要学习了平面向量数量积 的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐 标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几 ? ? 何问题。 设a ? x ,y ),? x ,y ) ( b(
1 1 2 2

(1)两向量垂直条件的坐标表示

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
(2)两向量平行条件的坐标表示

? ? a / /b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

? ? 设a ? x1,y1),? x2,y2) ( b(
(3)向量的长度(模)

a ? a ? x1 ? y1
2

2

2

2

或 a ? x 1 ? y1
2

2

(4)两向量的夹角

cos ? ?

a?b ab

=

x1x 2 + y1y 2
2 2 x12 + y1 x 2 2 + y 2

布置作业:
同步训练P95 1——12


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