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5-1高中数学核动力


第五章

数列

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数列

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1.数列的概念和简单表示法
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图 象、通项公式). (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.

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2.等差数列、等比数列.
(1)理解等差数列、等比数列的概念. (2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公 式. (3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比

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关系,并能用有关知识解决相应的问题. (4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的

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关系.
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第1节

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nπ 1.(2012· 福建高考)数列{an}的通项公式 an=ncos ,其 2 前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于( A.1006 C.503 ) B.2012 D.0

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【解析】 用归纳法求解. nπ ∵an=ncos ,∴a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0, 2 a6=-6,a7=0,a8=8,?. 由此易知 a4n-2=-(4n-2),a4n=4n,且 a1+a2+a3+a4 =-2+4=2,a5+a6+a7+a8=-6+8=2,?,a4n-3+a4n-2 +a4n-1+a4n=-(4n-2)+4n=2.
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又 2012=4×503,∴a1 +a2 +?+a2012 =2+2+?+ 2 503个=2×503=1006. 【答案】 A





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2.(2011·四川高考)数列{an}的首项为3,{bn}为等差数
列且bn =an + 1 -an(n∈N*).若b3 =-2,b10 =12,则a8 =
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(

) A.0 C.8 B.3 D.11

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【解析】 设数列{bn}的首项为 b1,公差为 d,由 b3=
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?b +2d=-2, ? 1 -2,b10=12,得? ?b1+9d=12, ?

?b =-6, ? 1 解得? ?d=2, ?

∴bn=-6+2(n-1)=2n-8.

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∵bn=an+1-an,
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∴a8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+(a5-a4)+(a4-a3) +(a3-a2)+(a2-a1)+a1 7×?-6+2×7-8? =b7+b6+b5+?+b1+a1= +3=3. 2
【答案】 B

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3.(2011·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn
+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10=(
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)
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A.1 C.10

B.9 D.55

【解析】 ∵Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,∴S1=1. 可令m=1,得Sn+1=Sn+1,∴Sn+1-Sn=1. 即当n≥1时,an+1=1,∴a10=1.

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【答案】 A

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1 4. (2012· 上海高考)已知 f(x)= .各项均为正数的数列 1+x
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{an}满足 a1=1,an+2=f(an).若 a2010=a2012,则 a20+a11 的值 是________.

1 【解析】 由 an+2=f(an)= 及 a1=1, 1+an 1 1 1 1 2 1 1 ∴a3= = , = a = = , = a = 1 3 7 1+a5 2 1+a1 2 5 1+a3 1+ 1+ 2 3

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3 1 1 5 1 1 8 = ,a9= = = ,a = = = . 5 3 8 11 1+a9 5 13 1+a7 1+ 1+ 5 8

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1 ∵a2012= =a2010,∴a2 +a2010-1=0. 2010 1+a2010
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5-1 * ∵an>0,n∈N ,解上述方程得 a2010= . 2 5-1 5-1 1 又 a2010= = ,解得 a2008= , 2 2 1+a2008 5-1 ∴a20= , 2

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5-1 8 13 5+3 ∴a20+a11= + = . 2 13 26
13 5+3 【答案】 26
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? ?2? ? ? ? ?n? 5. (2011· 浙江高考)若数列?n?n+4??3? ?中的最大项是第 ? ? ? ? ? ?
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k
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项,则 k=________.

【解析】 由题意知
?2? ?2? ? ? ?k k?k+4??3? ≥?k-1??k+3??3?k-1, ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?2? + ? ?k ?k?k+4? ≥?k+1??k+5?? ?k 1, ?3? ?3? ? ? ? ? ?

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解得 10≤k≤1+ 10.
【答案】 4

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1.数列的概念
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按照一定顺序排列着的一列数称为数列,一般用{an}表
示.

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2.数列的分类
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1.数列的通项公式唯一吗?是否每个数列都有通项公
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式?

提示:不唯一,如数列-1,1,-1,1,?的通项公式可 以为 an=(-1) 或 项公式.
n

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?-1?n为奇数? ? an=? ?1?n为偶数? ?

,而有的数列没有通
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2.数列是否可以看作一个函数,若是,其定义域是什
么? 提示:可以看作一个函数,其定义域是正整数集N*(或 它的有限子集{1,2,3,?,n}),可表示为an=f(n).

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5.数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项an 与它
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的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表
示,那么这个公式叫做数列的递推公式.

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6.Sn 与 an 的关系 已知 Sn,则
?S1,n=1, ? an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

在数列{an}中,
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?an≥an-1, ? an 最大,则? ?an≥an+1. ?



?an≤an-1, ? an 最小,则? ?an≤an+1. ?





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根据下面各数列的前几项,写出数列的一个 通项公式: (1)1,3,7,15,31,?; 1 1 5 13 29 61 (2) , ,- , ,- , ,?; 2 4 8 16 32 64

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(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9,?; (4)3,5,3,5,3,5,?; 1 4 9 16 (5)1 ,2 ,3 ,4 ,?. 2 5 10 17
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【思路点拨】
项公式.
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先观察出各项的特点,然后再归纳出通
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【尝试解答】 (1)法一:∵a2-a1=2, a3-a2=4, a4-a3=8, ? an-an-1=2n-1.

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将这n-1个式子累加,得 an-a1=2+22+23+?+2n-1=2n-2.

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∴an=a1+2n-2=1+2n-2=2n-1.
当n=1时,此式仍成立,故所求的通项公式为an=2n-
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1.
法二:联想数列2,4,8,16,32,?(关键点) 所以数列的通项公式是an=2n-1.

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(2)这个数列的各项由三部分组成:符号、分子、分母, 所以应逐个考查其规律.先看符号,第一项有点违反规律, -1 需改写为- ,从而联系数列{(-1)n};再看分母,考虑数 2 列{2n};最后看分子,显然每个分子比分母都小 3;所以 an

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2n-3 =(-1)n n . 2

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1 1 1 (3)原数列可转化成(1- ),(1- 2),(1- 3 ),(1- 10 10 10
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1 ),? 104 1 ∴an=1- n. 10
?3,当n为奇数时, ? (4)an=? ?5,当n为偶数时. ?

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3+5 还可表示为 an= +(-1)n=4+(-1)n. 2 n2 (5)an=n+ 2 . n +1
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根据图中的5个图形及相应点的个数的
变化规律,试猜测第n个图中有________个点.
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【思路点拨】 项公式.

先观察出各项的特点,然后再归纳出通

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【尝试解答】 第一个图中有a1 =1个点,第二个图中 有a2 =1+2=3个点,第三个图中有a3 =1+2×3=7个点, 第四个图中有a4=1+3×4=13个点,故可得第n个图中有an =1+(n-1)×n=n2-n+1个点.
【答案】 n2-n+1 【归纳提升】 1.根据所给数列的前几项求其通项公式 时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征: (1)分式中分子、分母的特征;

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(2)相邻项的变化特征;
(3)拆项后的特征; (4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想.
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2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完
全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归
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纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号 变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整. 3.观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目 的,观察出项与项数之间的关系、规律,利用我们熟知的一 些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解 决.

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1 已知数列{an}中,a1 =1,an =an -1- (n≥2),则 n?n-1? a16=________.

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1 1 【思路点拨】 条件转化为 an-an-1= - , 再求解. n n-1 1 【尝试解答】 由 an=an-1- (n≥2). n?n-1?
1 1 得 an=an-1+ - (n≥2). n n-1 1 1 1 1 1 ∴a2=a1+ -1,a3=a2+ - ,a4=a3+ - ,?,a15 2 3 2 4 3
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1 1 1 1 =a14+ - ,a16=a15+ - . 15 14 16 15 1 1 相加得 a16=a1+ -1= . 16 16
1 【答案】 16

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由下列数列的递推关系式求数列{an}的通
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项: (1)a1=1,an=an-1+3n-1(n≥2); n-1 (2)a1=1,an= a (n≥2); n n-1 1 (3)a1=1,an+1= an+1. 2

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【思路点拨】 用待定系数法.

(1)利用累加法;(2)利用累乘法;(3)利

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【尝试解答】 (1)∵an=an-1+3n-1,
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∴an-1=an-2+3n-2, an-2=an-3+3n-3, ? a2=a1+31, 以上(n-1)个式子相加得

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3n-1 an=a1+31+32+?+3n-1=1+3+32+?+3n-1= . 2

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n-1 (2)∵an= a (n≥2), n n-1
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n-2 ∴an-1= a-, n-1 n 2 ? 1 a2= a1, 2

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以上(n-1)个式子相乘得 1 2 n-1 a1 1 an=a1··· ?· = = . 23 n n n

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1 (3)由已知 an= an-1+1 得 2
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1 ∴(an-2)= (an-1-2), 2 1 ∴{an-2}是以 a1-2=-1 为首项,以 q= 为公比的等 2 比数列.

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1n-1 1 ∴an-2=(a1-2) =- n-1. 2 2 ∴an=2- n-1. 2 1

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【归纳提升】 由 a1 和递推关系求通项公式,可观察其
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特点,一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等. 1. 对于形如“an+1=an+f(n)”型的递推关系式求通项公 式,只要 f(n)可求和,便可利用累加的方法. an+1 2. 对于形如“ =g(n)”型的递推关系式求通项公式, an 只要 g(n)可求积,便可利用累积或迭代的方法.

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3.对于形如“an+1=Aan+B(A≠0 且 A≠1)”型递推关 系求通项公式,可用迭代法或构造等比数列法.

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(2010· 辽宁高考)已知数列{an}满足 a1=33,an+
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an 1-an=2n,则 的最小值为________. n an 【思路点拨】 累加法求 an, 函数的思想求 的最小值. n 【尝试解答】 累加法可得 an-a1=2[1+2+3+?+(n

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an 33 -1)],易得 an=n -n+33,故 =n+ -1,由函数的知识 n n
2
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33 知 f(x)=x+ -1 在(0, 33]上减,[ 33,+∞)上增,因 n x ∈N ,故 n=6
*

?an? 时? n ?min=10.5. ? ? ? ?

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【答案】 10.5
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已知数列{an}的通项


?10? an =(n+1)?11? n(n∈N ? ? ? ?
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),试问该数列{an}有没有最大项?若有,求最大项的项数;

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若没有,说明理由. 【思路点拨】 作差:an+1-an,再分情况讨论. ?10? ?10? ? ?n + 1 【尝试解答】 ∵an+ 1-an=(n+2)?11? -(n+1)?11?n ? ? ? ? ? ?
?10? 9-n =?11?n ? ? 11 . ? ?

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当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an;
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故a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12>?,所以数列中有最大
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项为第9,10项. 【归纳提升】 1.因为数列可以看作是一类特殊的函

数,因而数列也具备一般函数应具备的性质.

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2. 求数列的最大(小)项, 一般可以先研究数列的单调性,
?a ≥a - , ? n n 1 ? 可以用 ?an≥an+1, ? ?a ≤a - ? n n 1 ? 或 ?an≤an+1 ?

,也可以转化为函数最值问

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题或利用数形结合.

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●考情全揭密● 从近几年的高考试题来看,本节主要考查数列的递推公

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式.通项公式、增减性及an与Sn的关系,题型既有选择、填
空,也有解答,难度较大. 从命题方向来看,2014年高考仍将考查学生的逻辑推理
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能力及等价转化、分类讨论等思想方法.





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●命题新动向● 由 Sn 求 an 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是:
?S1 ?n=1?, ? an=? ?Sn-Sn-1 ?n≥2?. ?

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【警钟长鸣】
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在应用此关系式求通项时,要分n=1和
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n≥2两种情况讨论,最后检验两种情形能否适合用一个式子
表示,若能,将n=1的情况并入n≥2时的通项an ;若不能, 就用分段函数表示.

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(2012· 全国大纲高考)已知数列{an}中,a1=1,
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n+2 前 n 项和 Sn= a. 3 n (1)求 a2,a3; (2)求{an}的通项公式.
4 【规范解答】 (1)由 S2= a2 得 3(a1+a2)=4a2,解得 a2 3

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=3a1=3. 5 3 由 S3= a3 得 3(a1+a2+a3)=5a3,解得 a3= (a1+a2)= 3 2 6.
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(2)由题设知 a1=1. n+2 n+1 当 n>1 时,有 an=Sn-Sn-1= a- a , 3 n 3 n-1 n+1 整理得 an= an-1. n-1 n+1 3 4 n 于是 a2= a1,a3= a2,?,an-1= an-2,an= an 1 2 n-2 n-1
-1

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.
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将以上 n-1 个等式中等号两端分别相乘,整理得 an= n?n+1? . 2 n?n+1? 综上可知,{an}的通项公式 an= . 2
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●针对训练●
已知下列数列{an}的前n项和Sn ,分别求它们的通项公
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式an; (1)Sn=2n2+3n; (2)Sn=3n+1.

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【解】
3×1=5,
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(1)由题意可知,当n=1时,a1 =S1 =2×12 +
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当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1. 当n=1时,4×1+1=5=a1,∴an=4n+1.
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(2)当 n=1 时,a1=S1=3+1=4, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1. 当 n=1 时,2×31-1=2≠a1,
?4 ? ∴an=? - ?2×3n 1 ?

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,?n=1?, ,?n≥2?.

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