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函数性质的综合应用练习(含答案)


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第四课时 【课后作业】

函数性质的综合应用(2014-7-23)

1.(2013· 重庆)已知函数 f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则 f(lg(lg2))= A.-5 B.-1 C .3 D.4 ) ( )

2.已知函数 f(x)=|lg x|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( A.(2 2,+∞) C.(3,+∞) B.[2 2,+∞) D.[3,+∞)

3.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x∈R,都有 f(x-2)=f(x+2),且当 ?1? x∈[-2,0]时,f(x)=?2?x-1,若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)-loga(x+ ? ? 2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实数根,则 a 的取值范围是 A.(1,2) 3 C.(1, 4) 4. (2013 浙江杭州一模)设函数 f(x)= 点的个数为 A.4
1 2

(

)

B.(2,+∞) 3 D.( 4,2) 1-|x-1|,x∈(-∞,2), f(x-2),x∈[2, + ∞), 则函数 F(x)=xf(x)-1 的零

( ) C.6 D.7 ax+1 5.(2014· 苏州模拟)设函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的 x+2a B.5 取值范围是________. 1? ? 6. 已知不等式 x2-logax<0, 当 x∈?0,2?时恒成立, 实数 a 的取值范围是________. ? ?

7.(理科)如果对任意实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)· f(y),且 f(1)=2, (1)求 f(2),f(3),f(4)的值. (2)求 f?2? f?4? f?6? f?2 010? f?2 012? f?2 014? + + +…+ + + 的值. f?1? f?3? f?5? f?2 009? f?2 011? f?2 013?

(文科)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x2-2)的值域. 8. 已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0), 当 x∈(-3,2)时, f(x)>0; 当 x∈(-

1

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∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立? 9.(2014· 南通三模)定义在 R 上的增函数 y=f(x)对任意 x, y∈R 都有 f(x+y)=f(x) +f(y). (1)求 f(0); (2)求证:f(x)为奇函数; (3)若 f(k· 3x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 【参考答案】 1、解析:∵f(x)=ax3+bsin x+4,① ∴f(-x)=a(-x)3+bsin(-x)+4, 即 f(-x)=-ax3-bsin x+4,② ①+②得 f(x)+f(-x)=8,③ ? 1 ? 又∵lg(log210)=lg?lg 2?=lg(lg 2)-1=-lg(lg 2), ? ? ∴f(lg(log210))=f(-lg(lg 2))=5, 又由③式知 f(-lg(lg 2))+f(lg(lg 2))=8,∴5+f(lg(lg 2))=8,

∴f(lg(lg 2))=3.故选 C. 2、解析:由已知条件 0<a<1<b 和 f(a)=f(b)得,-lg a=lg b,则 lg a+lg b= 2 2 0,ab=1,因此 a+2b=a+a,由对勾函数知 y=x+x 在(0,1)单调递减,得 a +2b>3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞).答案:C 3、解析:由 f(x-2)=f(x+2),知 f(x)是以 4 为周期的 周期函数,于是可得 f(x)在(-2,6]上的大致图象如图中 实线所示,令 g(x)=loga(x+2)(a>1),则 g(x)的大致图 象如图所示,结合图象可知,要使得方程 f(x)-loga(x+2)=0(a>1)在区间(-
? ?g?2?<3 ?loga4<3 3 2,6]内恰有 3 个不同的实数根,则只需? ,即? ,解得 4<a<2. ?loga8>3 ? ?g?6?>3

4、解析:由题意,F(x)=xf(x)-1 的零点个数,即 f(x)与x 的交点个数. 易绘 x∈(-∞,2)的函数图象,且 f(0)=f(2)=0,f(1)=1,f
1 2

1

=f

3 2

= 2,

1

2

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1 1

当 x∈[2,+∞)时,f(4)=2f(2)=0,f(6)=2f(4)=0,…, 依次类推,易得 f(4)=f(6)=f(8)=…=f(2n)=0. 又 f(3)=2f(1)=2,同理 f(5)=2f(3)=4,f(7)=2f(5)=8. 不难绘出 x∈[2,+∞)的函数图象,显然零点共 6 个,其中左边 1 个,右边 5 个.
1 1 1 1 1 1

5、解析:f(x)=

ax+2a2-2a2+1 2a2-1 =a- ,其对称中心为(-2a,a). x+2a x+2a

2 2 ?2a -1>0 ?2a -1>0 ∴? ?? ?a≥1. ?-2a≤-2 ?a≥1

6、解析:由 x2-logax<0,得 x2<logax. 设 f(x)=x2,g(x)=logax. 1? ? 由题意知,当 x∈?0,2?时,函数 f(x)的图象在函数 ? ? 0<a<1, ? ? g(x) 的图象的下方,如图,可知 ? ?1? ?1? f? ?≤g?2?, ? ? ?2? ? ? 0<a<1, ? ? ??1?2 1 ?2? ≤loga ? 2 ?? ? 即

1 ?1 ? ,解得16≤a<1.∴实数 a 的取值范围是?16,1?. ? ?

7、 (理科)解:(1)∵对任意实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)· f(y),且 f(1)=2, ∴f(2)=f(1+1)=f(1)· f(1)=22=4,f(3)=f(2+1)=f(2)· f(1)=23=8, f(4)=f(3+1)=f(3)· f(1)=24=16. f?2? f?4? f?6? f?2 014? (2)由(1)知 =2, =2, =2,…, =2. f?1? f?3? f?5? f?2 013? 故原式=2×1 007=2 014. (文科)解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 又 f(0)=0,∴c=0,即 f(x)=ax2+bx. 又 f(x+1)=f(x)+x+1,∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1.

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? ?2a+b=b+1, ? ∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1.∴ 解得? ?a+b=1,
1 1 ∴f(x)=2x2+2x.

1 a=2, 1

?b=2.

3 1 1 1 1 1 3 (2)由(1)知 y=f(x2-2)=2(x2-2)2+2(x2-2)=2(x4-3x2+2)=2?x2-2?2-8,当 x2=2

?

?

1 时,y 取最小值-8.

1 ∴函数 y=f(x2-2)的值域为?-8,+∞?.

?

?

8、解:由题意得 x=-3 和 x=2 是函数 f(x)的零点且 a≠0, ?-3?2+?b-8?· ?-3?-a-ab, ?0=a· ?a=-3, 则? 解得? 2 2 +?b-8?· 2-a-ab, ?0=a· ?b=5, ∴f(x)=-3x2-3x+18. (1)由图象知,函数在[0,1]内单调递减, ∴当 x=0 时,y=18;当 x=1 时,y=12,∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]. 5 (2)法一:令 g(x)=-3x2+5x+c.∵g(x)在?6,+∞?上单调递减,

?

?

要使 g(x)≤0 在[1,4]上恒成立,则需要 g(x)max=g(1)≤0,即-3+5+c≤0,解得 c≤ -2.∴当 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立. 法二:不等式-3x2+5x+c≤0 在[1,4]上恒成立, 即 c≤3x2-5x 在[1,4]上恒成立.令 g(x)=3x2-5x, ∵x∈[1,4],且 g(x)在[1,4]上单调递增,∴g(x)min=g(1)=3×12-5×1=-2, ∴c≤-2. 即 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立.

9、解:(1)令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. (2)证明:令 y=-x,得 f(x-x)=f(x)+f(-x), 又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x),即 f(-x)=-f(x)恒成立,所以 f(x)是奇函数. (3)因为 f(x)在 R 上是增函数,又由(2)知 f(x)是奇函数. 所以 f(k· 3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),所以 k· 3x<-3x+9x+2,即 32x-(1+ k)· 3x+2>0 对任意 x∈R 成立. 令 t=3x>0,问题等价于 t2-(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立. 1+k 1+k 令 f(t)=t2-(1+k)t+2, 其对称轴为 t= 2 , 当 2 <0, 即 k<-1 时, f(0)=2>0, 符合题意;

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1+k ? ? ≥0, 1+k 当 2 ≥0,即 k≥-1 时,f(t)>0 对任意 t>0 恒成立?? 2 ? ?Δ=?1+k?2-4×2<0, 解得-1≤k<-1+2 2. 综上所述,当 k<-1+2 2时,f(k· 3x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立.

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