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2016荆州职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 荆州职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1、“ ”是“ ”的 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 , C、菱形 ,则该四边形一定是 D、正方形

A、充分不必要条件 C、充要条件 2、若平面四边形 ABCD 满足 A、直角梯形 B、矩形

3、若函数, (,且)定义域分别为 M、N,全集为 R, 则下列关系式正确的是 A、 C、 4、由函数 B、 D、 图象与直线 及

的图象围成一个封闭图形的面积是 A、 5、已知数列 , 则 的值为 B、1 C、2 D、 ,又第 项至第 项的和为 112

为等比数列,

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A、11 B、12 C、13 D、14

6、已知 l,m,表示直线, 条件:①l⊥m, l⊥ m⊥ 结论:a: l ⊥ A、① C、① a,② b,② b,③ d,③ b: , m⊥

表示平面,下列条件中能推出结论的正确的是: ; ② ∥ , ∥ ; ③l⊥ , ∥ ; ④ l⊥ ,

⊥ d c B、① D、①

c: l∥m d: c,② d,② d,③ b,③

∥ a,④ a,④ b c

c,④ a,④

7、在直角坐标系中,函数 线可能是下列图形中的

所表示的曲线叫箕舌线,则箕舌

8、已知向量 a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),a 与 b 的夹角为 60o,则直线

xcosα-ysinα
+1=0 与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=1 的位置关系是 A、相切 B、相交 C、相离 D、随 α、β 的值而定

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9、已知展开式的第 7 项为,则的值为 A、 B、 C、 D、

10、有一个游戏:将分别写有数字 1,2,3,4 的四张卡片随机发给甲、乙、丙、丁 4 个人, 每人一张,并请 4 个人进行预测: 甲说:乙或丙拿到标有 3 的卡片; 丙说:标有 1 的卡片在甲手中; 乙说:甲或丙拿到标有 2 的卡片; 丁说:甲拿到标有 3 的卡片.

结果显示:甲、乙、丙、丁 4 个人预测的都不正确.那么甲、乙、丙、丁 4 个人 拿到的卡片依次为 A. 3124 B. 4123 C. 4321 D. 4213

11、以正方体 ABCD-A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三 角形,则这两个三角形共面的概率为
367 A、385 376 B、385 192 C、385 18 D、385

x2 y2 12、已知椭圆 4 + 3 =1 上有 n 个不同的点 P1,P2,P3,…,Pn.设椭圆的右焦点为

F,数列{|PnF|}是公差不小于
A、2006 B、2007

的等差数列,则 n 的最大值为 C、2008 D、1004

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在横线上.) 13、若 是纯虚数,则 的值为
2 0 3 16

.

14、函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的部分数值如下: x 0 1 -3 -2 -1 y 0 4 0 -80 -24 则函数 y=lgf(x)的定义域为______

4 60

5 144

6 296

_____.

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15、已知: 命题 p:不等式|x-m|+|x-1|>1 的解集为 R, 命题 q:f(x)=log(3+m)x 是(0,+∞)上的增函数. 若“p 且 q”是假命题,“p 或 q”是真命题,则实数 m 的取值范围是 16、定义点 到直线 的有向距离为: .

.已知点 题: ①若 平行; ③若 相交。 以上结论正确的是 + =0,则直线 =0,则直线



到直线 的有向距离分别是



,有以下命

与直线 平行;②若

+

=0,则直线

与直线

与直线 垂直;④若

<0,则直线

与直线

.(要求填上正确结论的序号)

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.) 17、(本小题满分 12 分)

A、B、C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c.若
1 =2.

,

,且 ⑴ 求角 A 的大小;

·

⑵ 若 a=2,三角形面积 S=,求 b+c 的值.

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18、(本小题满分 12 分) 袋中一共装有 4 个黑球和 3 个白球,现有甲、乙两人从袋中轮流摸球,每次取一个. 甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时既终止, 每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用 表示取球终止所需要的取球次数. ⑴ 求随机变量 的概率分布; ⑵ 求甲取到白球的概率.

19、(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)= -x2+ax+1-lnx .

⑴ 若 f(x)是在(0,

)上的减函数,求 a 的取值范围;

⑵ 函数 f(x)是否既有极大值又有极小值,若不存在,请说明理由;若存在,求 a 的取 值范围.

20、(本题满分 12 分)

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如图,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 QABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4. ⑴ 证明 PQ⊥平面 ABCD; ⑵ 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; ⑶ 求点 P 到平面 QAD 的距离.

21.(本题满分 12 分)

已知

为锐角,且

,函数

,数

列{an}

的首项 ⑴ 求函数 ⑵ 求证:

. 的表达式; ;

⑶ 求证:



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22.(本题满分 14 分) 已知点 H(-3,0),点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且

满足

.

⑴ 当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 G; ⑵ 过点 T(-1,0)作直线 l 与轨迹 G 交于 A、B 两点,若在 x 轴上存在一点 E (x0,0), 使得 ABE 是等边三角形,求 x0 的值.

参考答案
一、选择题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C 9 D 10 D 11 D 12 B

简答与提示: 1、 2、 或 , 是平行四边形, ; ;

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3、根据题意: 4、根据对称性; ;

5、依题意: 6、根据线线、线面、面面平行和垂直的有关判定逐个判断即可;



7、①函数是偶函数,②函数先单调递增后单调递减,③当

时,



8、a 与 b 的夹角为 60o

, ;

9、



; 10、乙丙丁所说为假 甲拿 4,甲乙所说为假 丙拿 1,甲所说为假 乙拿 2;

11、以正方体 ABCD-A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点可作 方体的表面及对角面每个面有

(个)三角形,正

=4(个)三角形,所以所求概率为


x2 y2 12、椭圆 4 + 3 =1 中,

,所以(|PnF|)min=

(|PnF|)max=

所以

.

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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在横线上.) 13、0 或 15、 简答与提示: 13、 是纯虚数,则 . 14、(-1,1)和(2,+∞) 16、④

14、解:由 f(x)的解析式可知 f(x)图象连续及 f(x)的单调性可确定:在(-1,1)和(2,+∞)上均 有 f(x)>0.

15、命题 p:不等式|x-m|+|x-1|>1 的解集为 R 命题 q:f(x)=log(3+m)x 是(0,+∞)上的增函数

或 3+m>1

“p 且 q”是假命题,“p 或 q”是真命题说明命题 p 和 q 一真一假, 所以实数 m 的取值范围是 16、当 =0,①不对;若 + =0,点 . 、 在直线 上或在直线 的异侧,

所以②③错;

三、解答题
1 =2,

17:解:⑴ ∵


A A 1 1 ∴-cos22+sin22=2, 即-cosA=2,

,且

·

……………………4 分

又 A∈(0,?),
2 ∴A=3??

…………………………………………………………6 分 ,∴bc=4, …………………8

1 1 2 ⑵ S△ABC=2bc·sinA=2b·c·sin3?=



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又由余弦定理得:a =b +c -2bc·cos120°=b +c +bc , 分 ∴16=(b+c)2,故 b+c=4. ……………………………………12 分
2 2 2 2 2

………10

18、解: ⑴ 由题意, 的可能取值为 1,2,3,4,5

…………………………………………5 分 所以 的分布列为: 1 2 3 4 5

…………………………………………7 分 ⑵ 因为甲先取,所以甲只有可能在第 1 次,第 3 次和第 5 次取球,记”甲取到白球”为 事件 ∵事件 ,则 两两互斥,

∴ 19.(本小题满分 12 分)

. ………………………………12 分

解:⑴

=-2x+a-

∵f(x)在(0,

)上为减函数,∴x∈(0,

)时-2x+a-

<0 恒成立。

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即 a<2x+ 恒成立。 …………………………………………………………2 分

设 g(x)= 2x+

,则

=2-

∵x∈(0,

)时

>4,∴

<0,∴g(x) 在(0,

)上递减。 ………4 分

∴g(x) >g(

)=3,∴a≤3。

…………………………………………………6 分 =0 有两个不同正根 x1 ,x2 , …………8 分

⑵ 若 f(x)既有极大值又有极小值,则首先必须 即 2x -ax+1=0 有两个不同正根。
2

令 ∴当 a>2 时, =0 有两个不等的正根. ………………………10 分

不妨设 x1 <x2 ,由 0<x<x1 时 ∴当 a>2

=-

(2x2-ax+1)=-

(x-x1)(x-x2)知: <0。 …………………12 分

<0,x1<x<x2 时

>0,x>x2 时

时 f(x)既有极大值 f(x2)又有极小值 f(x1) .

20.(本小题满分 12 分) 解法一: ⑴ 连结 AC、BD,设 .由 P-ABCD 与 Q-ABCD 都是正四棱锥,

所以 PO⊥平面 ABCD,QO⊥平面 ABCD.从而 P、O、Q 三点在一条直线上, 所以 PQ⊥平面 ABCD.

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由题设知,ABCD 是正方形,所以 ⑵ 由⑴, 平面 . 轴, 轴建 ,

,故可以分别以直线 CA、DB、QP 为 轴,

立空间直角坐标系(如上图),由题设条件,相关各点的坐标分别是 , ,所以 , ,

于是

从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 ⑶ 由⑵,点 D 的坐标是(0,- 设 ,0),

. , ,

是平面 QAD 的一个法向量,





.取 x=1,得

.

所以点 P 到平面 QAD 的距离 解法二:

.

⑴ 取 AD 的中点 M,连结 PM,QM.因为 P-ABCD 与 Q-ABCD 都是正四棱锥, 所以 AD⊥PM,AD⊥QM. 从而 AD⊥平面 PQM. 又 平面 PQM,所以 PQ⊥AD.同理 PQ⊥AB,所以 PQ⊥平面 ABCD.

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⑵ 连结 AC、BD 设

,由 PQ⊥平面

ABCD 及
正四棱锥的性质可知 O 在 PQ 上,从而 P、A、Q、C 四 点共面.取 OC 的中点 N,连结 PN.

因为

,所以



从而 AQ∥PN.∠BPN(或其补角)是异面直线 AQ 与 PB 所成的角.连接 BN, 因为 .

所以



从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是



⑶ 由⑴知,AD⊥平面 PQM,所以平面 PQM⊥平面 QAD. 过P作PH⊥QM于H, 则PH⊥平面 QAD,所以PH的长为点 P 到平面 QAD 的距离.

连结 OM,则

.所以



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又PQ=PO+QO=3,于是

.

即点 P 到平面 QAD 的距离是

.

21.解:⑴

又∵

为锐角





…………3 分

⑵ ∴ ∴





都大于 0 …………………………………7 分





…………………………………8 分



…………………………………10 分



,

,

又∵







…………………………12 分

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22.解:⑴ 设点 M 的坐标为(x,y)则由 ,



,及

由 ∴

得 ,由点 Q 在 x 轴的正半轴上得 ( ) 代入 (1)

…………………3 分

∴M 点轨迹 G 方程: ⑵ 设直线 得 ,其中

……………………5 分

……………………6 分

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程(1)的两个实数



∴AB 中点坐标为

AB 的垂直平分线为:

, ……………………8 分

令 因为

, 为正三角形

∴点 E 的坐标为



到直线 AB 的距离等于

…………………10 分



……12 分





…………………………………………14 分

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