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最新人教A版必修2高中数学 (2.3.3 直线与平面垂直的性质)优秀教案(精品)


2.3.3 直线与平面垂直的性质 整体设计 教学分析 空间中直线与平面之间的位置关系中, 垂直是一种非常重要的位置关系, 它不仅应用较 多,而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转 化为线线关系, 而且将垂直关系转化为平行关系, 因此直线与平面垂直的性质定理在立体几 何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上,讨论直线与 平面垂直的性质定理的应用. 三维目标 1.探究直线与平面垂直的性质定理, 培养学生的空间想象能力、 实事求是等严肃的科学态度 和品质. 2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力. 重点难点 直线与平面垂直的性质定理及其应用. 课时安排 1 课时 教学过程 复习 直线与平面垂直的定义: 一条直线和平面内的任何一条直线都垂直, 我们说这条直线和 这个平面互相垂直,直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及 表示如下: 图1 如图 1,表示方法为:a⊥α. 由直线与平面垂直的定义不难得出: a ? ?? ? ? b⊥a. b ??? 导入新课 思路 1.(情境导入) 大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》 ,在广阔的西北平原上,矗立着一排排白杨树,它 们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树,它们都垂直地面,那么它们之间的位置关 系如何呢? 思路 2.(事例导入) 如图 2,长方体 ABCD—A′B′C′D′中,棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在 的平面 ABCD,它们之间具有什么位置关系? 图2 推进新课 新知探究 提出问题 ①回忆空间两直线平行的定义. ②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系? ③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理. ⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用? 讨论结果:①如果两条直线没有公共点,我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给 出的,其证明方法多用反证法. ②如图 3,同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是:相交、平行、异面. 图3 ③如图 4,长方体 ABCD—A′B′C′D′中,棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于 所在的平面 ABCD,它们之间具有什么位置关系? 图4 图5 棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面 ABCD,它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为: 垂直于同一个平面的两条直线平行,也可简记为线面垂直、线线平行. 直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为: a ? ?? ? ? b∥a. b ??? 直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为:如图 5. ⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系, 而且揭示了平行与垂直之间的内 在联系. 应用示例 思路 1 例 1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知 a⊥α,b⊥α. 求证:a∥b. 图6 证明: (反证法)如图 6,假定 a 与 b 不平行,且 b∩α=O,作直线 b′,使 O∈b′,a∥b′. 直线 b′与直线 b 确定平面 β,设 α∩β=c,则 O∈c. ∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c. ∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,b ? β,b′ ? β, a∥b′显然不可能,因此 b∥a. 例 2 如图 7,已知 α∩β=l,EA⊥α 于点 A,EB⊥β 于点 B,a ? α,a⊥AB. 求证:a∥l. 图7 证

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