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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案新人教B版选修2_1201711093112

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2.1 曲线与方程

1.了解曲线与方程的对应关系. 2.了解两条曲线交点的求法. 3.了解用坐标法研究几何性质. 4.掌握求曲线的方程和由方程研究曲线的性质.
1.点的轨迹方程 一般地,一条曲线可以看成 ________________的轨迹,所以曲线的方程又常称为 ____________的点的轨迹方程. 【做一做 1】到 A(2,-3)和 B(4,-1)的距离相等的点的轨迹方程是( ) A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=0 2.曲线的方程与方程的曲线的定义 (1)在平面直角坐标系中,如果曲线 C 与方程 F(x,y)=0 之间具有如下关系: ①__________________________________; ②__________________________________. 那么,曲线 C 叫做方程 F(x,y)=0 的曲线,方程 F(x,y)=0 叫做曲线 C 的方程.
在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关系①和②缺一不可,而且两者 是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的.从集合的角度来看,设 A 是曲线 C 上的所有点组成的点集,B 是所有以方程 F(x,y)=0 的实数解为坐标的点组成的点集,则 由关系①可知 A? B,由关系②可知 B? A;若同时具有关系①和②,就有 A=B.
(2)曲线 C 用集合的特征性质描述法,可以描述为 C={M(x,y)|F(x,y)=0}. 【做一做 2】下面各对方程中,表示相同曲线的一对方程是( ) A.y= x与 x=y2 B.y=x 与xy=1
C.|y|=|x|与 x2-y2=0
D.y=lg x2 与 y=2lg x 3.两曲线的交点 已知两条曲线 C1:F(x,y)=0 和 C2:G(x,y)=0,求这两条曲线的交点坐标,只要求 方程组?????FG((xx,,yy))==00 的________就可以得到.
曲线的交点问题需转化为二元方程组的求解问题,那么,解二元方程组的一切思路方法 和相关知识,都是求两曲线交点的基本依据和方法.
【做一做 3】曲线 y=x2+1 和 y=x+m 有两个不同的交点,则( )
1

A.m∈R C.m=34

B.m∈???0,34??? D.m∈???34,+∞???

1.曲线与方程的定义的理解 剖析:(1)定义中的第①条“曲线 C 上的点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解”,阐明曲 线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上所有点都符合这个条件而毫无例外(纯粹 性). (2)定义中的第②条“以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上”,阐明符合条 件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性). (3)定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程 F(x,y)=0 的解集{(x,y)|F(x,y) =0}之间的一一对应关系,由曲线和方程的这一对应关系,既可以通过方程研究曲线的性质, 又可以由曲线求它的方程. 2.曲线方程的求法 剖析:求曲线的方程,一般有下面几个步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M︱p(M)}; (3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 F(x,y)=0; (4)化方程 F(x,y)=0 为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以 适当说明.另外,也可以根据情况省略步骤(2),直接列出曲线方程.
题型一 曲线与方程的概念 【例 1】若曲线 C 上的点的坐标满足方程 F(x,y)=0,则下列说法正确的是( ) A.曲线 C 的方程是 F(x,y)=0 B.方程 F(x,y)=0 的曲线是 C C.坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 D.坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C 上 反思:(1)判定曲线与方程的对应关系有两种方法:等价转换和特值讨论.它们使用的 依据是曲线的纯粹性和完备性. (2)处理“曲线与方程”的概念题,可采用直接法,也可采用特值法. 题型二 曲线方程的求法 【例 2】已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点 C 在曲线 y=3x2-1 上移动, 求△ABC 的重心 G 的轨迹方程. 分析:在这个问题中,动点 C 与点 G 之间有关系,写出 C 与 G 之间的坐标关系,并用 G 的坐标表示 C 的坐标,然后代入 C 的坐标所满足的关系式中,化简整理即得所求.
【例 3】长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 分别在 x,y 轴上移动,动点 C(x,y)满足 AC =
2 CB ,求动点 C 的轨迹方程.
分析:A,B 分别在 x,y 轴上移动,可设 A(x0,0),B(0,y0),又动点 C(x,y)满足 AC =
2 CB ,代入即可得方程.
反思:求曲线的方程的关键是找到曲线上动点的运动规律,并利用坐标把这种规律翻译 成代数方程.

1 方程 x2+xy=x 表示的曲线是( ) A.一个点
2

B.一条直线

C.两条直线

D.一个点和一条直线

2 已知方程 2x2-xy+1=0 表示的图形为 C,则下列点不在 C 上的为( )

A.???12,3???

B.(-3,5)

C.???-2,-92???

D.???2,92???

3 在平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足 OP · OA =4.则点 P
的轨迹方程是____________. 4 点 P(2,-3)在曲线 x2-ay2=1 上,则 a=__________.
5 已知 k∈R,则直线 y= 3x+k 与圆 x2+y2=16 无公共点时,k 的取值范围为 __________.

答案:

基础知识·梳理

1.动点依某种条件运动 满足某种条件

【做一做 1】C

2.(1)①曲线 C 上点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解 ②以方程 F(x,y)=0 的解为坐

标的点都在曲线 C 上

【做一做 2】C

3.实数解 【做一做 3】D 已知条件可转化为联立后的方程组有两组不同的解,即方程 x2-x+1

-m=0 的判别式大于零,即(-1)2-4(1-m)>0,解得 m>34.

典型例题·领悟

【例 1】C 方法一:上述说法写成命题的形式为“若点 M(x,y)是曲线 C 上的点,则点

M 的坐标适合方程 F(x,y)=0”.其逆否命题为:“若点 M 的坐标不适合方程 F(x,y)=0,

则点 M 不在曲线 C 上”.故选 C. 方法二:本题亦可考虑特值法,作直线 l:y=1.考查 l 与 F(x,y)=y2-1=0 的关系,

知选项 A,B,D 三种说法均不正确.故选 C.

【例 2】解:设△ABC 的重心坐标为 G(x,y),顶点 C 的坐标为(x1,y1),由重心坐标公

??x=-2+30+x1,
式得
???y=0-23+y1

??x1=3x+2,

?

?
??y1=3y+2,

代入 y1=3x21-1,得 3y+2=3(3x+2)2-1.

则有 y=9x2+12x+3,故所求轨迹方程为 y=9x2+12x+3. 【例 3】解:∵长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 分别在 x,y 轴上移动, 故可设 A(x0,0),B(0,y0).

又动点 C(x,y)满足 AC =2 CB ,
∴(x-x0,y)=2(0-x,y0-y), 即(x-x0,y)=(-2x,2y0-2y),

3

∴?????xy-=x20y=0--22yx

??x0=3x, ? ???y0=32y.

又∵|AB|=3,即 x20+y20=9, ∴(3x)2+???32y???2=9. 整理得动点 C 的轨迹方程为 x2+y42=1.
随堂练习·巩固 1.C x2+xy=x 因式分解得 x(x+y)=x, 即 x(x+y-1)=0, 即 x=0 或 x+y-1=0. 2.B

3.x+2y=4 设 P(x,y),由 OP · OA =4 知 x+2y=4.

1 4.3

将点 P 的坐标代入方程中即可求得 a=13.

5.k>8 或 k<-8 无公共点时圆心到直线的距离大于半径,即|2k|>4,∴k>8 或 k

<-8.

4


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