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直线、平面垂直的判定及其性质


直线与平面、平面与平面的垂直判定
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直定义 如果直线 和平面 作 .直线 叫平面 要点诠释: (1)定义中“平面 内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线” ,这与“无数条 直线”不同,注意区别. (2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式. (3)若 ,则 . 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 与平面 的垂线;平面 互相垂直,记

叫直线 的垂面;垂线和平面的交点叫垂足.

2.直线和平面垂直的判定定理 判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.

符号语言: 特征:线线垂直 线面垂直 要点诠释: (1)判定定理的条件中: “平面内的两条相交直线”是关键性词语,不可忽视. (2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交 直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,则无关紧要.

知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角
一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线.过斜 线上斜足外的一点间平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 要点诠释: (1)直线与平面平行,直线在平面由射影是一条直线. (2)直线与平面垂直射影是点. (3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上. (4)一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,它 们所成的角是 0°的角.

经典例题透析
【例 1】下列命题中正确的个数是( ) ①如果直线 与平面 ②如果直线 与平面 ③如果直线 不垂直于 ④如果直线 不垂直于 A.0 答案:B 解析:当 B.1 内的无数条直线垂直,则 内的一条直线垂直,则 ,则 ,则 C.2 ; ;

内没有与 垂直的直线; 内也可以有无数条直线与 垂直. D.3

内的无数条直线平行时, 与

不一定垂直,故①不对; 垂直,故②不对;

当 与 当 与

内的一条直线垂直时,不能保证 与 不垂直时, 可能与

内的无数条直线垂直,故③不对;④正确.故选

【练习 1】下列说法中错误的是( ) ①如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这个平面必相交; ②如果一条直线和平面的一条平行线垂直,该直线必在这个平面内; ③如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内; ④如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内的任何直线. A.①② B.②③④ C.①②④ D.①②③ 答案:D 解析:如图所示,直线 ∴ ①错; 由于 , , ,但 ,但 ,∴ ②错; ,∴ ③错. , 面 ABCD,显然 ,

由直线与平面垂直的定义知④正确,故选 D. 【例 2】如图所示,已知 Rt△ABC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC,点 D 为斜 边 AC 的中点. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD⊥平面 SAC. 证明:(1)因为 SA=SC,D 为 AC 的中点, 所以 SD⊥AC. 连接 BD. 又 AC∩BD=D, 又由(1)知 SD⊥BD, 在 Rt△ABC 中,有 AD=DC=DB, 所以∠SDB=∠SDA, 所以 BD⊥AC. 所以 SD⊥BD. 所以 SD⊥平面 ABC. 所以 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线, 所以△SDB≌△SDA,

(2)因为 AB=BC,D 是 AC 的中点,

所以 BD⊥平面 SAC. 【例 3】如图,已知∠BOC 在平面 OA=OB=OC= ,BC= 解析:∵ 内,OA 是平面 的斜线,且∠AOB=∠AOC=60°,

,求 OA 和平面

所成的角.

,∠AOB=∠AOC=60°, ∴ , 同理△BOC 也为直角三角形. ∴ OH=BH=CH,H 为△BOC 的外心. .

∴ △AOB、△AOC 为正三角形, ∵ , ∴ 于 H,连接 OH,

∴ △ABC 为直角三角形. 过 A 作 AH 垂直平面 ∵ AO=AB=AC,

∴ H 在 BC 上,且 H 为 BC 的中点.

∵ Rt△AOH 中, ∴ ∠AOH=45°.



∴ 所成角为 45°. 中,侧棱长为



即 AO 和平面

【练习 2】如图所示,在正三棱柱 为 1,则 与侧面 所成的角是________.

,底面三角形的边长

答案: 解析:如右图. 由题取 AC 中点 O,连接 BO.则 BO⊥平面 .





与平面

所成角.

又在

中,



.







.

PB 【练习 3】三棱锥 P ? ABC 中, PA ? BC, ? AC , PO ? 平面 ABC,垂足为

O,求证:O 为底面△ABC 的垂心. 证明:连接 OA、OB、OC,∵ PO ? 平面 ABC, ∴ PO ? BC, PO ? AC .
PB 又 ∵ PA ? BC, ? AC ,

BO AC ∴ BC ? 平面PAO, ? 平面PBO ,得 AO ? BC, ? AC ,

∴ O 为底面△ABC 的垂心.

知识点三、二面角

1.二面角定义 平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两 个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 表示方法: 棱为 也可在 、 面分别为 的二面角记作二面角 .有时为了方便,

内(棱以外的半平面部分)分别取点 .如果棱记作 ,那么这个二面角记作二面角

,将这个二面角记作二面角 或 .

2.二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则 这两条构成的角叫做二面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角来度量, 二面角的平面角是多少度, 就说这个二面角是 多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

知识点四、平面与平面垂直的定义与判定
1.平面与平面垂直定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直. 表示方法:平面 与 垂直,记作 .

画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图:

2.平面与平面垂直的判定定理 判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 符号语言: 图形语言:

特征:线面垂直 面面垂直 要点诠释: 平面与平面垂直的判定定理告诉我们, 可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直. 通常我们将其记为“线面垂直,则面面垂直”.因此,处理面面垂直问题处理线面垂直问题, 进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找到两条相 交直线和另一个平面垂直即可.

知识点五、直线与平面垂直的性质
1.基本性质 一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言: 图形语言:

2.性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言: 图形语言:

知识点六、平面与平面垂直的性质
性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言: 图形语言:

【例 4】如图所示,在四面体 ABCD 中,△ABD、△ACD、△BCD、△ABC 都全等,且 , ,求以 BC 为棱,以面 BCD 和面 BCA 为面的二面角大小.

解析:取 BC 的中点 E,连接 AE、DE, ∵ AB=AC, ∴ AE⊥BC. 又∵ △ABD≌△ACD,AB=AC, ∴ ∠AED 为二面角 又∵ △ABC≌△BDC, 在 Rt△DEB 中,DB= 同理 在△AED 中, ∵ , ,∴ .

∴ DB=DC,

∴ DE⊥BC.

的平面角. ∴ AD=BC=2, ,BE=1, ∴ ,

,∴ ∠AED=90°.

∴ 以面 BCD 和面 ABC 为面的二面角大小为 90°. 【练习 4】已知 D、E 分别是正三棱柱 的侧棱 和 上的点,且

.求过 D、E、C1 的平面与棱柱的下底面

所成的二面角的大小.

解析:如图,在平面 则 F 是面 与面

内延长 DE 和 的公共点,

交于点 F, 为这两个平面的交线,

∴ 所求二面角就是 ∵ ∴ E、 ,且

的平面角. ,

分别 DF 和 A1F 的中点.

∵ ∴ 又面 ∴ ∴ ∴ 面 . 是二面角 .



, ,而

面 面

, .

的平面角,

由已知 【例 5】在四面体 ABCD 中,

,∴

.

,AB=AD=CB=CD=AC= ,如图所示.

求证:平面 ABD⊥平面 BCD.

证明:∵ △ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形, ∴ 取 BD 的中点 E,连接 AE、CE,则 AE⊥BD,BD⊥CE, ∴ ∠AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角.

在△ABD 中,







.

同理

.

在△AEC 中, 由于 ,





∴ AE⊥CE,即∠AEC=90°,即二面角 A-BD-C 的平面角为 90°. ∴ 平面 ABD⊥平面 BCD. 【练习 5】如图所示,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC,CD=DA,E、F、G 分别

为 CD、DA 和对角线 AC 的中点,求证:平面 BEF⊥平面 BGD.

证明:∵ AB=BC,CD=AD,G 是 AC 的中点, ∴ BG⊥AC,DG⊥AC, ∴ AC⊥平面 BGD. 又 EF∥AC, ∴ EF⊥平面 BGD. ∵ EF 平面 BEF, ∴ 平面 BDG⊥平面 BEF.

【练习 6】如图所示,在 Rt△AOB 中,

,斜边 AB=4.Rt△AOC 可以通

过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B-AO-C 是直二面角.D 是 AB 的中点. 求证:平面 COD⊥平面 AOB;

证明:由题意,CO⊥AO,BO⊥AO, ∴ ∠BOC 是二面角 B-AO-C 的平面角. 又∵ 二面角 B-AO-C 是直二面角. ∴ CO⊥BO. 又∵ AO∩BO=O, ∴ CO⊥平面 AOB. 又 CO 平面 COD, ∴ 平面 COD⊥平面 AOB. 综合练习: 如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F。 证明:(1) PA∥平面 EDB;(2)PB⊥平面 EFD。

直线、平面垂直的判定及其性质基础达标
1.平面 A. 外的一条直线 与 B. 内的两条平行直线垂直,那么( C. 与 相交 ). D. 与 ). 的位置关系不确定

2.已知直线 a、b 和平面

,下列推论错误的是(

A.

B.

C. 3.若直线 a⊥直线 b,且 a⊥平面 A. B.

D. ,则有( C. ). D. ). 或

4.若 P 是平面 外一点,则下列命题正确的是( A.过 P 只能作一条直线与平面 相交 B.过 P 可作无数条直线与平面 垂直 C.过 P 只能作一条直线与平面 平行 D.过 P 可作无数条直线与平面 平行 5.设 是直二面角,直线 ,直线

,且 a 不垂直于 ,b 不垂直于 ,

那么( ). A.a 与 b 可能垂直,但不能平行 B.a 与 b 可能垂直,也可能平行 C.a 与 b 不可能垂直,但可能平行 D.a 与 b 不可能平行,也不能垂直 6.设 、 为两个不同的平面, 、m 为两条不同的直线,且 ,则 ;②若 ,则 届那么( ). , 有如下两

个命题:①若

A.①是真命题,②是假命题 B.①是假命题,②是真命题 C.①②都是真命题 D.①②都是假命题 7.关于直线 m、n 与平面 ①若 ③若 且 且 ). C.①④ D.②③ 与 ,有下列四个命题: 且 且 ,则 ;

,则 m∥n;②若 ,则 ;④若

,则 m∥n.

其中真命题的序号是( A.①② B.③④

8.已知直线 m⊥平面 ①若 则 ,则

,直线 ;②若

,给出下列四个命题,其中正确的命题是( ,则 m∥n;③若 m∥n,则 C.②④ D.①② ;④若

). ,

.A.③④

B.①③

9.下面四个命题: ①两两相交的三条直线只可能确定一个平面; ②经过平面外一点,有且仅有一个平面垂直这个平面; ③平面 内不共线的三点到平面 的距离相等,则 ;

④两个平面垂直, 过其中一个平面内一点作它们交线的垂线, 则此垂线垂直于另一个平 面其中真命题的个数是( ). A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 10.设有不同的直线 a、b 和不同的平面 ①若 则 A.0 , ,则 ;②若 ) D.3 平面 ,有四个命题:① . ;② 、 , 、 ,给出下列三个命题: ,则 ;③若 ,

.其中正确的个数是( B.1 C.2

11.已知直线 ⊥平面 ;③

,直线 ;④

其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上) 12.长方体 中,MN 在平面 内,MN⊥BC 于 M,则 MN 与

AB 的位置关系是_______. 13、 已知直角△ABC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC,D 为斜边 AC 中点. (1)求证:SD⊥面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD⊥面 SAC.

课后作业
(1)如果直线 a 平行于平面α ,直线 b ∥a,点 A∈b,则 b 与α 的位置关系是 ( ) (A)b∩α =A(B)b∥α 或 b ? α (C)b ? α (D)b∥α (2)下列命题中,真命题是( ) (A) 若直线 a∥平面α ,且直线 b ? α ,则α ∥b (B) 若直线 a∥b,且直线α ∥平面α ,则 b∥α (C) 若直线 a∥平面α ,且直线 b∥α ,则 a∥b (D) 若直线α ∩β =直线 a,直线 b ? β ,且 b 和α 没有公共点,则 b∥α (3)(2009· 浙江高考)设 α、β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β C.若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β B.若 l∥α,α∥β,则 l?β D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β

)

(4) (2004 年北京,3)设 m、n 是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面.给出下 列四个命题,其中正确命题的序号是 ①若 m⊥α ,n∥α ,则 m⊥n ②若α ∥β ,β ∥γ ,m⊥α ,则 m⊥γ ③若 m∥α , n∥α ,则 m∥n ④若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β A.①② B.②③ C.③④ D.①④ (5)在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB 和 BC 上的点,若 AE:EB=CF:FB=1:3, 则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是___________. (6)已知:如图 1—21,ABCD 是平行四边形,S 是平面 ABCD 外一点,M 为 SC 的中点. 求证:SA∥平面 MDB.

(7)(2010· 江苏苏北三市模拟)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、G 分别是 A1A, D1C,AD 的中点.求证: (1)MN∥平面 ABCD;(2)MN⊥平面 B1BG.


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