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人教版高中数学选修4-4课件 1.2极坐标系_图文

1 从这向北 2000米。 请问:去菜 市场怎么走? 2 请分析上面这句话,他告诉了问路人 什么? 从这向北走2000米! 出发点 方向 距离 在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想,就是极坐 标的基本思想。 3 一、极坐标系的建立: 在平面内取一个定点O,叫做极点。 引一条射线OX,叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向(通常取逆时针 方向)。 O X 这样就建立了一个极坐标系。 4 二、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点 M,用 ? 表示线段OM的 长度,用 ? 表示从OX到 M OM 的角度,? 叫做点M ? 的极径, ?叫做点M的极 角,有序数对(?,?)就 ? 叫做M的极坐标。 O X 特别强调:?表示线段OM的长度,即点M到 极点O的距离;?表示从OX到OM的角度,即 以OX(极轴)为始边,OM 为终边的角。 5 题组一:说出下图中各点的极坐标 ? ? 2 4 5? 6 C ? E D BA O X 4? F 3 G 5? 3 6 特别规定: 当M在极点时,它的 极坐标?=0,?可以取任意值。 想一想? ①平面上一点的极坐标是否唯一? ②若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的? ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式? 7 三、点的极坐标的表达式的研究 如图:OM的长度为4,? ? ? 请说出点M的极坐标的其 4 ? ? 他表达式。 O 思:这些极坐标之间有何异同? M X 极径相同,不同的是极角 思考:这些极角有何关系? 这些极角的始边相同,终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。 本题点M的极坐标统一表达式:??? 4,2kπ+ π? 48 ?? 题组二:在极坐标系里描出下列各点 A(3, 0) D(5, 4? ) 3 G(6, 5? ) 3 B(6, 2? ) E(3, 5? ) 6 C(3, ? ) 2 F (4,? ) 9 ? 2 ? 4 5? 6 C E ? F A O B X 4? D G 5? 3 3 10 四、极坐标系下点与它的极坐标的 对应情况 [1]给定(?,?),就可以在极坐 标平面内确定唯一的一点M。 P M (ρ,θ)… [2]给定平面上一点M,但却 O X 有无数个极坐标与之对应。 原因在于:极角有无数个。 如果限定ρ>0,0≤θ<2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了. 11 极坐标和直角坐标的互化 平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示? 12 在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位 点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ) y M (1, 3) θ O x M ( 2, π/ 3) ? ? 12 ?( 3)2 ? 2 tan? ? 3 ? 3 1 13 极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ) ? 2 ? x2 ? y2 , tan? ? y ( x ? 0) x x=ρcosθ, y=ρsinθ 14 互化公式的三个前提条件: 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半 轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同. 15 例1. 将点M的极坐标 (5, 2? ) 3 化成直角坐标. 解: x ? 5cos 2? ? ? 5 32 y ? 5sin 2? ? 5 3 32 所以, 点M的直角坐标为(? 5 , 5 3 ) 22 16 已知下列点的极坐标,求它们的直 角坐标。 A (3, ? ) B (2, ? ) C (1,? ? ) 6 2 2 D (3 ? , ) 24 E (2, 3? ) 4 17 例2. 将点M的直角坐标 (? 3, ?1) 化成极坐标. 解: ? ? (? 3)2 ?(? 1)2 ? 2 tan? ? ? 1 ? 3 ?3 因为点在第三象限, 3 所以 ? ? 7? 6 因此, 点M的极坐标为(2, 7? ) 6 18 练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标. A (3,? 3) C (5,0) B (1, 3 ) D (0,?2) E (?3,?3) 19 例求3两已点知间两的点距(离2. ,3π )B ,(3,2π ) 解:∠AOB = 用余弦定理求 π 6 A AB的长即可. 推广:在极坐标下,任意两点P1 o (?1 ,?1 ), P2 ( ?2 , ?2 ) x 之间的距离可总结如下: P1P2 ? ?12 ? ?22 ? 2?1?2 cos(?1 ??2 ) 20 思考:极坐标系中,点A的极坐标是(3, ? ) 6 (((123)))点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对?=称称?2的的的点点对是的称极__点(_坐3_的,_标1_16极_?是_坐)____标(__3__,是__76__?____()_3__,_5__6?_)_ 对称性 (?,? )关于极轴的对称点为(?,2? ?? ) 关于极点的对称点为 (?,? ?? ) 关于过极点且垂直与极轴的直线的对称点 为(?,? ?? ) 21 小结 [1]建立一个极坐标系需要哪些要素 极点;极轴;长度单位;角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式? 无数,极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式? 有。(ρ,2kπ+θ) 22

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