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2012届高三文科数学专题2——函数导数

2012 届高三文科数学专题 2——函数、导数

一、

函数最基本的概念——定义域与值域

定义域:对数函数+中心概念,普通的二次函数
【10 湖北】函数 y ?

1 的定义域为( ) log 0.5 (4 x ? 3)
3 ,∞) 4
C(1,+∞) D. (

A.(

3 ,1) 4

B(

3 ,1)∪(1,+∞) 4


【11 重庆二模】 函数 A. ?1 , 2?

y?

x ?1 ?
C.

1 的定义域是( lg(2 ? x)
D.

B.

4? ?1,

2? ?1,

2? ?1,


【11 唐山二模】函数 y ? A. (?4, ? 1) 二、复合函数

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4
B. (?4, 1)

的定义域为(

C. (?1, 1)

D. (?1,1]

【11 海港高中三模】若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x ) ? ( ) A. [0,1] B. [0,1) C. [0,1)

f (2 x) 的定义域是 x ?1

(1,4]

D. (0,1)

【11 宁德三县市一中】若 f ( x ) 是偶函数,且当 x∈[0+∞)时,f(x)=x-1,则 f(x-1)<0 的解 集是( ) A. (-1,0) B. (-∞,0)∪(1,2) C. (1,2) D. (0, 2) 三、热门考点 1——“零点”的讨论 【10 浙江】 已知 x 是函数 f(x)=2 +
x

1 的一个零点.若 x1 ∈(1,x 0 ) ,x 2 ∈( x 0 ,+ ? ) , 1? x

则 ( ) A.f( x1 )<0, f( x 2 )<0 B.f( x1 )<0, f( x 2 )>0 C.f( x1 )>0, f( x 2 )<0 D.f( x1 ) >0,f( x 2 )>0 【10 天津】函数 f(x)= 2 ? 3 x 的零点所在的一个区间是( )
x

A.(-2,-1)

B.(-1,0)

C.(0,1) 的零点个数为 (

D.(1,2) )A.3 B.2 C.1 D.0

【10 福建】函数 ( f x)= ?

? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x>0

【11 北京宣武一模】设函数 f ( x) ? log3 围是( ) A. (?1, ? log3 2)

x?2 ? a 在区间 (1, 2) 内有零点,则实数 a 的取值范 x
B. (0, log3 2)
1

C. (log3 2,1)

D. (1, log3 4)

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【11 河北一模】对于函数 y ? f ( x) ,若将满足 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点, 则函数 f ( x) ? 2x ? x2 ? 2 x ? 8 的零点有 ( 四、热门考点 2——导函数 【11 成都二模】已知 f ( x) ? x 2 ? 3xf ' (1),则f ' (2) =( ) ) A .0 个 B. 1 个 C .2 个 D. 3 个

A.1 B.2 C.4 D.8 【11 北京石景山一模】已知函数 f ( x) 的导函数 f ?( x ) 的图象如图所示,那么函数 f ( x) 的图 象最有可能的是( )

【11 江苏南通三模】已知函数 f ( x ) 的导数为 f ?( x ) ,若 f ?( x ) <0(a <x <b)且 f (b) ? 0 , 则在(a ,b)内必有( ) A. f ( x ) =0 B. f ( x ) >0 C. f ( x ) <0 D.不能确定

五、热门考点 3——“恒成立”问题 1、分离变量型 ——求给定 x 区间内值域,m/t 比最大大或最小小,取等讨论。 【10 天津】设函数 f(x)=x取值范围是________. 【10 河北】设函数 f ( x) ? x ?
3

1 ,对任意 x ?[1, ??),f(mx)+mf(x)<0 恒成立,则实数 m 的 x 1 2 x ? 2 x ? 5 ,若对于任意 x ∈[-1,2]都有 f ( x) ? m 成 2
) C. [7, ??) D.

立,则实数 m 的取值范围为为( A.

? ?? ? 7,

B.

? ?? ?8,

? ?? . ?9,
? ?

【补充 1】已知向量 a ? ( x2 , x ? 1), b ? (1 ? x, t ), 若函数 f ?x? ? a ? b 在区间 ? ?1,1? 上是增函 数,求 t 的取值范围. 【补充 2】已知函数 f ?x ? ? ln x , g ? x ? ?

1 2 ax ? bx , a ? 0 . 2

若 b ? 2 ,且 h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围;

2

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2、二次函数型 ——判别式、根分布分离变量型 【补充 3】已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ⑴在 R 上 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 ⑵若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 ⑶若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围。 【补充 6】 (1)若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? 0 的解集为 (??,??) ,求实数 a 的取值范围
2

(2)若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围 a
2

【补充 8 】已知函数 f ( x ) 是定义在 ??1,1 ? 上的奇函数,且 f (1) ? 1,若 a, b ???1,1? ,

a ? b ? 0 ,有

f (a ) ? f (b) ?0 a?b

(1)证明 f ( x ) 在 ??1,1? 上的单调性; (2)若 f ( x) ? m2 ? 2am ? 1 对所有 a ?? ?1,1? 恒成立,求 m 的取值范围。

3 ' 【补充 9】已知函数 f ? x ? ? x ? 3ax ?1, g ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ? 5 ,其中 f ? x ? 是 f ? x ? 的导

函数. (1)对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (2)设 a ? ?m ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只
2

有一个公共点. 六、高考真题 2. 下列函数中,与函数 y ? A . f ( x) ? ln x

1 有相同定义域的是 x
1 x
C. f ( x) ?| x | D. f ( x) ? e
x

B. f ( x) ?

3

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8. 定义在 R 上的偶函数 的单调性不同的是

f ? x?

的部分图像如右图所示, 则在

f ? x? ? ?2,0? 上, 下列函数中与

2 A. y ? x ? 1 B. y ?| x | ?1

?e x , x ? o ?2 x ? 1, x ? 0 ? y ? y?? 3 ? ?x ? ?e , x ? 0 ? x ? 1, x ? 0 D. C.
11. 若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的 点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? ex ?1
2



B. f ? x ? ? ( x ?1)

2

D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?
.

15. 若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f '(?1) ? 0 3

(Ⅰ)试用含 a 的代数式表示 b ; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; ( Ⅲ ) 令 a ? ?1 , 设 函 数 f ( x ) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处 取 得 极 值 , 记 点

M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) ,证明:线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点;
7.函数 ( f x)= ?

? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x>0

的零点个数为 ( D.0

)

A.3 B.2 C.1 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=

1 3 x ? x 2 ? ax ? b 的图像在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=3x-2 3 m 是[ 2, ?? ]上的增函数。 x ?1

(Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)+

(i)求实数 m 的最大值; (ii)当 m 取最大值时,是否存在点 Q,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封 闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由。

4

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8.已知函数 f ( x ) ? ? A. ? 3

?2 x

( x ? 0)

? x ? 1 ( x ? 0)
B. ? 1

.若 f (a) ? f (1) ? 0 ,则实数 a 的值等于 C. 1 D. 3

10.若 a ? 0, b ? 0 , 且函数 f ( x) ? 4 x3 ? ax2 ? 2bx ? 2 在 x ? 1 处有极值,则 ab 的最大值 等于 A.2

B.3

C.6

D.9

22.(本小题满分 14 分) 已知 a , b 为常数,且 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?ax ? b ? ax ln x, f ( e) ? 2(e=2.71828…是自 然对数的底数) . (Ⅰ) 求实数 b 的值;(Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ) 当 a ? 1 时,是否同时存在实数 m 和 M ( m ? M ),使得对每一个 ...t ?[m , M ] ,直 线 y ? t 与曲线 y ? f ( x) ( x ? ? , e ?) 都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大 e 的实数 M ;若不存在,说明理由.

?1 ? ? ?

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