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数学高考复习名师精品教案:第85课时:第十章 排列、组合和概率——二项式定理(2)

数学高考复习名师精品教案
第 85 课时:第十章 排列、组合和概率——二项式定理(2)

课题:二项式定理(2) 一.复习目标: 1.能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和. 2.能熟练地逆向运用二项式定理求和. 3.能利用二项式定理求近似值,证明整除问题,证明不等式. 二.课前预习: 1. (
2 ?
3

3)

100

的展开式中无理项的个数是
( B ) 85 ( C ) 86
2 ?1


( D ) 87

A



( A ) 84

2.设 f ( x ) ?
( A) 1 ?
5

x ? 5 x ? 10 x ? 10 x ? 5 x ? 1 ,则 f
5 4 3

( x ) 等于
(D ) 1 ?
1 2


5

C



x
1 n 2

(B) 1 ?
2

5

x?2
n n

(C ) 1 ?

5

x?2
0 n

x
n

3.如果 1 ? 2 C 4. 1 ?
1 2 Cn ?
1

? 2 C n ? ? ? 2 C n ? 2187
2 n

,则 C .

? C n ? C n ? ? ? C n ? 128.

1 3

C n ? ? ? ( ? 1)

1 n ?1

Cn

n

=

1 n ?1

5. ( 3 x ? 2 y ?

z)

9

展开式中含 x 2 y 3 z 4 的项为 ? 90720
2

x y z

2

3

4

. ,

6.若 (1 ? 2 x ) 100 则 a1 ? a 3

? a 0 ? a 1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) ? ? ? a 100 ( x ? 1)

100

? a 5 ? ? ? a 99 ?

5

100

?1

.

2

四.例题分析:
1

例 1.已知 { a n } 是等比数列,公比为 q ,设 S
n ? 2 , n ? N ? ),且 S n ? C n ? C n ? C n ? ? ? C n
1 0 1 2 n

n

? a 1 ? a 2 C n ? a 3 C n ? ? ? a n ?1 C n
1 2

n

(其中

,如果 lim? n?

Sn Sn
1

存在,求公比 q 的取值范

围. 解:由题意 a ∴
Sn S
1 n
n

? a1 ? q

n ?1

,S

1 n

? 2

n



S n ? a 1 ? a 1 qC ? a 1 (1 ? qC
Sn S
1 n
1 n

1 n

? a1q C n ? ? ? a1q C n
2 2 n 2 2 n n

n

? q C n ? ? ? q C n ) ? a 1 (1 ? q )
1? q 2 |? 1 或
1? q 2 ? 1,

n

(q ? 0)

?

a 1 (1 ? q ) 2
n

n

? a1 (

1? q 2

)

n

.如果 lim? n?

存在,则 | .

∴? 2 ? 1? q ? 2 或q

? 1 ,故 ? 3 ? q ? 1 且 q ? 0

例 2.(1)求多项式 ( 3 x 4 (2)多项式 x 1000
3

? x ? 2 x ? 3)
3 2 1000

102

? ( 3 x ? 5 ) ? ( 7 x ? 5 x ? 1)
4 3

67

展开式各项系数和.

? x ? (? x ? 2 x ? 2)

展开式中 x 的偶次幂各项系数和与 x 奇次幂各

项系数和各是多少? 解:(1)设 f ( x ) ? (3 x
? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x
2

4

? x ? 2 x ? 3)
3

102

? (3 x ? 5) ? (7 x ? 5 x ? 1)
4 3

67

n

(n ? N ) ,

其各项系数和为 a 0 又∵ f (1) ? a
0

? a1 ? a 2 ? ? ? a n


102

? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? (3 ? 1 ? 2 ? 3)

? (3 ? 5) ? (7 ? 5 ? 1)
4

67

? 16 ? 3

102



∴各项系数和为 16 ? 3 102 . (2)设 f ( x ) ? ∴ f (1) ?
x
1000

? x ? (? x ? 2 x ? 2)
3 2

1000

? a 0 ? a 1 x ? ? ? a 3001 x

3001



a 0 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a 3001 ? 0 , f ( ? 1) ? a 0 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a 3001 ? 2 ,故

a 1 ? a 3 ? ? ? a 3001 ? ? 1 , a 0 ? a 2 ? ? ? a 3000 ? 1 ,

∴ f ( x ) 展开式中 x 的偶次幂各项系数和为 1, x 奇次幂各项系数和为-1.

例 3.证明:(1) ? 2 k C nk
k ?0

n

? 3

n

(n ? N )


2

(2) 2 C 20n

? C 2 n ? 2C 2 n ? C 2 n ? ? ? C 2 n
1 2 3

2 n ?1

? 2C 2 n ? 3 ? 2
2n 2 2

2 n ?1

(n ? N )
n


2

(3) 2 ? (1 ?

1 n

)

n

? 3( n ? N )

;(4) C n1 ? 1 2

? Cn ?2 ? ? ? Cn ?n

? n ( n ? 1) ? 2

n?2

由(i)知

小结: 五.课后作业:
3

1.若 ( x 3
( A ) 462

?

1 x
2

)

n

的展开式中只有第 6 项的系数最大,则不含 x 的项为(
( B ) 252 ( C ) 210 ( D ) 10

C



2.用 88 除 87 88
( A) 0

?7

,所得余数是
(B) 1 (C ) 8 ( D ) 80





3.已知 2002 年 4 月 20 日是星期五,那么10 90 天后的今天是星期



4. 某公司的股票今天的指数是 2, 以后每天的指数都比上一天的指数增加 0 . 02 % , 则 100 天后这家公司的股票指数约为 2.442(精确到 0.001). 5.已知 ( 3 ? 2 x ) 5 (1) a 2 6.若 ( ax
? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? a 3 x ? a 4 x ? a 5 x
3 4 5

,则
| ? | a 3 | ? | a 4 | ? | a 5 |? 2882.
? 0

? a3 ? a4 ? a5 ? 1)
2n

的值为 568;(2) | a 1 | ? | a 2

和 ( x ? a ) 2 n ? 1 的展开式中含 x n 项的系数相等( n ? N * ,a

),则 a 的

取值范围为 ( 7.求满足 C

1 2 , ] 2 3
? C n ? 2 C n ? 3 C n ? ? ? nC
1 2 3 n n

0 n

? 500

的最大整数 n .

原不等式化为 n·2n-1<499 ∵27=128,∴n=8 时,8·27=210=1024>500. 当 n=7 时,7·26=7×64=448<449. 故所求的最大整数为 n=7.

8.求证: ( C

0 n

) ? (C n ) ? (C n ) ? ? ? (C n )
2 1 2 2 2 n

2

? C 2n
2

证明 由(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n,两边展开得:

4

比较等式两边 xn 的系数,它们应当相等,所以有:

9.已知(1+3x)n 的展开式中,末三项的二项式系数的和等于 121,求展开式中 系数最大的项.

∴ n=15 或 n=-16(舍)

设第 r+1 项与第 r 项的系数分别为 tr+1,tr

∴tr+1≥tr 则可得 3(15-r+1)>r 解得 r≤12 ∴当 r 取小于 12 的自然数时,都有 tr<tr+1 当 r=12 时,tr+1=tr

5


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