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高中数学专题复习 培优计划 含答案 第7篇 第6讲 空间向量及其运算


第6讲 [最新考纲] 空间向量及其运算 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的 正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和 垂直. 知 识 梳 理 1.空间向量 在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量,其大小叫做向量的长度或模. 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理: 对空间任意两个向量 a,b(b≠0), a∥b?存在 λ∈R,使 a=λb. (2)共面向量定理:若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面?存在 唯一的有序实数对(x,y),使 p=xa+yb. (3)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p, 存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得 p=xa+yb+zc. 3.两个向量的数量积 (1)非零向量 a,b 的数量积 a· b=|a||b|cos<a,b>. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)· b=λ(a· b). ②交换律:a· b=b· a. ③分配律:a· (b+c)=a· b+a· c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 数量积 共线 垂直 向量表示 a· b a=λb(b≠0) a· b=0 (a≠0,b≠0) 坐标表示 a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0 模 夹角 |a| <a,b>(a≠0,b≠0) 2 2 a2 1+a2+a3 a1b1+a2b2+a3b3 cos<a,b>= 2 2 2 2 2 a1+a2 +a2 3· b1+b2+b3 辨 析 感 悟 1.空间向量的线性运算 → → → → (1)若 A,B,C,D 是空间任意四点,则有AB+BC+CD+DA=0.(√) (2)(教材习题改编)|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件.(×) (3)若 a,b 共线,则 a 与 b 所在直线平行.(×) → → → → (4)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中 x,y,z∈R),则 P,A,B,C 四点共面.(×) 2.共线、共面与垂直 (5)对于空间非零向量 a,b,a⊥b?a· b=0.(√) (6)(教材习题改编)已知 a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且 a⊥b,则 x+y 的 值为 1 或-3.(√) (7)已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a,b,c 三向量共面, 65 则实数 λ 等于 7 .(√) 3.空间向量的数量积 (8)在向量的数量积运算中满足(a· b)· c=a· (b· c).(×) (9)已知向量 a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(a+b)· (a-b)的值为-13.(√) 2 5 (10)已知 a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则 a,b 夹角的余弦值为- 15 .(√) [感悟· 提升] 1.一种思想 2.两种方法 理解空间向量概念、性质、运算,注意和平面向量类比,如 (5). 一是用向量方法解决立体几何问题,树立“基底”意识,利用基 向量进行线性运算,如(5).二是强化坐标运算,如(6)、(7)、(9)、(10). 学生用书?第 122 页 考点一 空间向量的线性运算 【例 1】 如

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