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2014高中数学抽象函数专题习题


高中数学抽象函数专题
特殊模型和抽象函数 特殊模型 正比例函数 f(x)=kx (k≠0) 幂函数 f(x)=xn 抽象函数 f(x+y)=f(x)+f(y) f(xy)=f(x)f(y) 或 f ( x ) ? f ( x )
y f ( y)

指数函数 f(x)=ax (a>0 且 a≠1) 对数函数 f(x)=logax (a>0 且 a≠1)

f(x+y)=f(x)f(y) f(xy)=f(x)+f(y)
或f (

或f ( x ? y) ?

f (x) f ( y)

x ) ? f ( x ) ? f ( y)] y

正、余弦函数 f(x)=sinx 正切函数 f(x)=tanx 余切函数 f(x)=cotx

f(x)=cosx f(x+T)=f(x)
f ( x ? y) ?
f ( x ? y) ?

f ( x ) ? f ( y) 1 ? f ( x )f ( y )
1 ? f ( x )f ( y ) f ( x ) ? f ( y)

一.定义域问题

--------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例 1.若函数 y = f(x)的定义域是[-2,2],则函数 y = f(x+1)+f(x-1)的 定义域为
? 练习:已知函数 f(x)的定义域是 ?? 1,2? ,求函数 f ? ? log1 ?3 ? x ?? 的定义域。 ? ? ?
2

?

例 2: 已知函数 f ?log3 x? 的定义域为[3, 11],求函数 f(x)的定义域 练习:定义在 ?3,8? 上的函数 f(x)的值域为 ?? 2,2?,若它的反函数为 f-1(x),则 y=f-1(2-3x)的定义域为 ,值域为 。



1

二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使 问题得以解决。 例 3.①对任意实数 x,y,均满足 f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2 且 f(1)≠0,则 f(2001)=_______. ② R 上的奇函数 y=f(x)有反函数 y=f-1(x),由 y=f(x+1)与 y=f-1(x+2)互为反函数, 则 f(2009)= .

例 4.已知 f(x)是定义在 R 上的函数, f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1) ≤f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=_________.

练习: 1. f(x)的定义域为 (0, ??) ,对任意正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) 且 f(4)=2 ,则

f ( 2) ?
2 . 如果f ( x ? y) ? f ( x )f ( y), 且f (1) ? 2, 则
f (2) f (4) f (6) f (2000) ? ? ??? 的值是 f (1) f (3) f (5) f (2001)

。 . )

f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7)

3、 对任意整数 x , y 函数 y ? f ( x) 满足: 若 f (1) ? 1 , 则 f (?8) ? ( f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy ? 1, A.-1 B.1 C. 19 D. 43

4、函数 f(x)为 R 上的偶函数,对 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立,若 f (1) ? 2 ,则 f (2005) =( ) A . 2005 B. 2 C.1 D.0 5、定义在 R 上的函数 Y=f(x)有反函数 Y=f-1(x),又 Y=f(x)过点(2,1) ,Y=f(2x) -1 -1 的反函数为 Y=f (2x),则 Y=f (16)为( ) A)
1 8

B)

1 16

C)8

D)16

6、已知a为实数,且0 ? a ? 1, f ( x)是定义在 [0, 1] 上的函数,满足 f (0) ? 0, f (1) ? 1, 对所有x ? y , 均有f ( x? y ) ? (1 ? a ) f ( x) ? af ( y ) 2 1 (1)求a的值( 2)求f ( )的值 7
2

三、值域问题 例 4.设函数 f(x)定义于实数集上, 对于任意实数 x、 y, f(x+y)=f(x)f(y)总成立, 且存在 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求函数 f(x)的值域。

四、求解析式问题(换元法,解方程组,待定系数法,递推法,区间转移法, 例 5. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求 f(x)

x ?1? 例 6、 设对满足 x≠0,x≠1 的所有实数 x, 函数 f(x)满足, f ?x ? ? f ? ? ? ? 1 ? x ,求 f(x) ? x ?

的解析式。

例 7.已知 f(x)是多项式函数,且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).

例 8.是否存在这样的函数 f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n∈N;②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*;③f(2)=4 同时成立? 函数 f(x)的解析式;若不存在,说明理由. 若存在,求出

3

例9、 已知 f ( x) 是定义在R上的偶函数, 且 f ( x ? ) ? f ( x ? ) 恒成立, 当 x ? ?2, 3? 时,
f ( x) ? x ,则 x ? (?2, 0) 时,函数 f ( x) 的解析式为(

3 2

1 2



A. x ? 2 练习: 1、

B. x ? 4

C. 2 ? x ? 1

D. 3 ? x ? 1

1 2 设y ? f (x)是实数函数(即x, f (x)为实数), 且f (x) ? 2f ( ) ? x, 求证:| f (x) |? 2. x 3

2.(重庆)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (Ⅰ)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (Ⅱ)设有且仅有一个实数 x0,使 得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析表达式。

3、函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立,且 f(1)=0, (1) 求 f (0) 的值; (2)对任意的 x1 ? (0, ) , x2 ? (0, ) ,都有 f(x1)+2<logax2 成立时,
1 2 1 2

求 a 的取值范围.

4

五、单调性问题

(抽象函数的单调性多用定义法解决)

例 10.设函数 f(x)对任意实数 x,y, 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x>0 时 f(x)<0,且 f(1)= -2,求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

练习:设 f(x)定义于实数集上,当 x>0 时,f(x)>1,且对于任意实数 x、y,有 f(x+y)=f(x)f(y),求证:f(x)在 R 上为增函数。

例 11、已知偶函数 f(x)的定义域是 x≠0 的一切实数,对定义域内的任意 x1,x2 都 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , (1)f(x)在(0,+∞)上是增 函数; (2)解不等式 f (2 x2 ?1) ? 2

5

练习:已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(-
1 )=0,当 2

x>- 1 时,f(x)>0.求证:f(x)是单调递增函数;
2

例 12、定义在 R+上的函数 f(x)满足: ①对任意实数 m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1。(1) 求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立; (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范围. (2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数;

练习 1 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任 意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)·f(b). (1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0;(3)求证: f(x)是 R 上的增函数;(4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围.

6

练习 2、 已知函数 f(x)对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x)≠0,当 x>1 时,f(x)<1。 试判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性。

六、奇偶性问题 例 13. (1)已知函数 f(x)(x≠0 的实数)对任意不等于零的实数 x、y 都有 f(x ﹒y)=f(x)+f(y),试判断函数 f(x)的奇偶性。

例 14:已知函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足 ?1? f ( x ? y) ? 存在正常数 a,使 f(a)=1.求证:f(x)是奇函数。

f ( x) f ( y ) ? 1 ,(2) f ( y ) ? f ( x)

7

例 15 : 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 (??,0) 上 是 增 函 数 , 又 f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) 。求实数 a 的取值范围。

例 16:定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数;(2)若 f(k·3 x )+f(3 x -9 x -2)<0 对任意 x∈R 恒成立, 求实数 k 的取值范围.

练习: 1、已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的函数 a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0), f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)若 f(2)=2,un=f(2n)

(n∈N*),求证:un+1>un (n∈N*).

8

2. 定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且 当x>0时f(x)<0恒成立. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(2)证明f(x)为减函数;若函数f(x)在 [-3 , 3 ) 上 总 有 f(x) ≤ 6 成 立 , 试 确 定 f(1) 应 满 足 的 条 件 ;

1 1 (3)解关于x的不等式 f (ax 2 ) ? f (x) ? f (a 2 x) ? f (a), (n是一个给定的自然数 , a ? 0) n n

3、已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[-1,1],a+b≠0 时,有
f ( a ) ? f (b ) >0. a?b

(1)判断函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并证明你的结论;(2) 解不等式:f(x+ )<f(
1 2 1 ); x ?1

(3)若 f(x)≤m2-2pm+1 对所有 x∈[-1,1],p∈[-1,1](p 是常数)恒成立, 求实数 m 的取值范围.

.

9

七、周期性与对称性问题(由恒等式 简单判断:同号看周期,异号看对称) ... 编 号 周 期 性 对 称 性

f ?x ? a? ? f ?? x ? a? → 对 称 轴 x ? a ? y ? f ? x ? a? 是

1

f ?x ? a ? ? f ?x ? a ? →T=2

偶函数;
f ?x ? a? ? ? f ?? x ? a? → 对 称 中 心 ( a,0 ) ?

a

y ? f ? x ? a? 是奇函数
f ?a ? x ? ? f ?b ? x ? →对称轴 x ?
a?b ; 2

2

f ?a ? x? ? f ?b ? x? →T= b ? a

f ?a ? x? ? ? f ?b ? x? →对称中心 (

a?b ,0) ; 2

f(x)= -f(x+a)→T=2 3
a
f ?a ? x? ? ? f ?b ? x? →T=2

? f(x)= -f(-x+a)→对称中心 ? ? ,0 ? a ?2 ?

4 5 f(x)=± f(x)=16 T=3 a

b?a
1 →T=2 a f ?x ? 1 ? f ( x) ? 0? → f ?x ? a ?

f ?a ? x? ? ? f ?b ? x? →对称中心 ?

?a?b ? ,0 ? ? 2 ?
? 2 2?

a b? f(x)= b-f(-x+a)→对称中心 ? ? , ?

结论:(1) 函数图象关于两条直线 x=a,x=b 对称,则函数 y=f(x)是周期函数, 且 T=2|a-b| (2) 函数图象关于点 M(a,0)和点 N(b,0)对称,则函数 y=f(x)是周期函数, 且 T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线 x=a, 及点 M(b,0)对称, 则函数 y=f(x)是周期函数, 且 T=4|a-b| (4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与 y=f(b-x)关于 x ?
b?a b?a ,0) 对称 对称;y=f(a+x)与 y=-f(b-x)关于点 ( 2 2

10

例 17:①已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x+2) = – f (x),则 f (6) 的值为( ) A. –1 B. 0 C. 1 D. 2

②函数 f(x)对于任意的实数 x 都有 f(1+2x)=f(1-2x),则 f(2x)的图像关于 对称。

例 18. 已知函数 y=f(x)满足 f ( x) ? f (? x) ? 2002,求 f ?1 ?x? ? f ?1 ?2002? x? 的值。

例 19. 奇函数 f (x)定义在 R 上,且对常数 T > 0,恒有 f (x + T ) = f (x), 则在区间[0,2T]上,方程 f (x) = 0 根的个数最小值为( 3个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 ) .

练习 1、函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f ( x) 的图象关于 2、函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 3) ? ? 对称。

1 ,且 f (3) ? 1 ,则 f (2010) ? 。 f ( x) 1 1 3、函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f ( ? x) ? f ( ? x) ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? 2 2 4、 已知函数 y ? f (2x ?1) 是定义在 R 上的奇函数, 函数 y ? g ( x) 是 y ? f ( x) 的反函数, 若 x1 ? x2 ? 0

则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ( ) A)2 B)0 C)1 D)-2 5.设 f(x)是 R 的奇函数,f(x+2)= — f(x),当 0≤x≤1,时,f(x)=x,则 f(7.5)= 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)+f(x)=3,则 f-1(x)+f-1(3-x)=

- 0.5 .
11

7、 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是( A.4 B.5 ) C.6 D.7

8、设函数 f(x)的定义域为[1,3],且函数 f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已 知当 x [2,3]时 f(x)= 2x,求当 x [1,2]时,f(x)的解析式.

9、(山东)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上 是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1, x2 , x3 , x4 ,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.

八、综合问题 例 21. 定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 有,且当 x>0 时,0<f(x)<1。 (1)判断 f(x)的单调性; (2)设 ,若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围。 实数 m,n,总

12

例 22. 设定义在 R 上的函数 f(x), 满足当 x>0 时 ,f(x)>1, 且对任意 x,y ∈ R, 有 f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2

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