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上海市杨浦区2010届高三上学期学科测试(数学)


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上海市杨浦区 高三上学期 上学期学科测试 上海市杨浦区 2010 届高三上学期学科测试

数学试卷
考生注意: 答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号. 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号.
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 道题,

2010.1.21

3.本试卷为文、理合卷,题首标有文科考生做、理科考生做的题目,没有标记的是“文” 本试卷为文、理合卷,题首标有文科考生做、理科考生做的题目,没有标记的是“ 、 “理”考生共同做的题目. 考生共同做的题目 编辑: 校对: 编辑:赵雅丽 校对:雷锋瑞

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 填空题( 接填写结果, 否则一律得零分. 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若集合 A = x x ? 1 > 2
3

{

} , U = R ,则 ?
3

U

A=

. . . .

2.命题“若 a ≥ b ,则 a ≥ b ”的逆命题是_____ 3.两直角边之和为 4 的直角三角形面积最大值等于 4.设函数 f ( x ) =

( x + 1)( x + a ) 为奇函数,则实数 a =
x
.

5.计算: lim

2 Cn = n →∞ 1 + 2 + 3 + ??? + n

?1 3 5? 6.若线性方程组的增广矩阵为 ? ? ,则该线性方程组的解是 ? 2 4 6? 7.某公司有 25 名雇员,他们的工资情况如下表所示:



年薪(千 元) 人数

135.0

95.0

80.0

70.0

60.0

52.0

40.0

31.0

1

1

2

1

3

4

1

12

(文科考生做)他们年薪的中位数是 文科考生做) (理科考生做)职工年薪的标准差是 理科考生做)

(千元)(结果精确到 0.1) . (千元)(结果精确到 0.1) .

8.根据右边的框图,建立所打印数列的递推公式 9.若 ( ax + 1) 的展开式中 x 的系数是 80,则实数 a 的值
5
3







10. ?ABC 中三内角 A 、 、 所对边为 a 、 、 .若行列式 B C b c
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b a π b sin B = 0 ,且角 A = ,则 = c b 3 c
11.设函数 f ( x ) = a
x +1



? 2 ( a > 1 )的反函数为 y = f ?1 ( x ) ,

(文科考生做)则 f 文科考生做)

?1

( ?1) =
?1

.

(理科考生做)若函数 y = f 围 .

( x) 的 图 像 不 经 过 第 二 象 限

, 则 a 的取值范

12.若将一颗质地均匀的骰子,先后抛掷两次,出现向上的点数分别为 a 、b ,设复数

z = a + bi ,则使复数 z 2 为纯虚数的概率是

.

13.在体积为 4 3π 的球的表面上有 A 、B 、C 三点, AB = 1 , BC =

2 , A 、C 两点的

球面距离为

3 π. 3

(文科考生做)则 AB ? BC = _________. 文科考生做) (理科考生做)则球心到平面 ABC 的距离为_________. 科考生做) 14.设 a1 , a2 , a3 , ??? , an 是各项均不为零的等差数列 ( n ≥ 4) ,且公差 d ≠ 0 ,若将此数列 删去某一项得到的数列 (按原来的顺序) 是等比数列, 则

uuu uuu r r

a1 的所有可能值是 d



每题有且只有一个正确答案, 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 选择题( 答案纸的相应编号上,填上正确的答案, 否则一律得零分。 答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分。 号上 15.幂函数 y = f (x ) 的图像经过点 ( 4, ) ,则 f ( ) 的值为

1 2

1 4

(

).

( A)
16. θ = “

1

(B)

2

(C)

3

(D)

4
( ).

2π ?π ? ”是“ tan θ = 2 cos ? + θ ? ”的 3 ?2 ?

( A ) 充分非必要条件 ( C ) 充要条件

( B ) 必要非充分条件 ( D ) 即非充分也非必要条件

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17.若 z 是实系数方程 x ? 2 x + p = 0 的一个虚根,且 z = 2 ,则 p =
2

(

).

( A)

2

(B)

3

(C)

4

(D)

5

18.设函数 y = f ( x) 在 ( ?∞, +∞ ) 内有定义,对于给定的正数 K , 定义函数:

? f ( x), f ( x) ≤ K , f K ( x) = ? ? K , f ( x) > K .

取函数 f ( x ) = a

?x

( a >1) .当 K =

1 时, a
( ).

函数 f K ( x ) 在下列区间上单调递减的是

( A ) (?∞, 0)

( B ) ( ?a, +∞ )

(C)

(?∞, ?1)

(D)

(1, +∞)

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 解答题( 定区域内写出必要的步骤 . 19. 本题满分 12 分) (本题满分 设函数 f

( x ) = ln ( x 2 ? x ? 6 ) 的定义域为集合 A ,集合 B = ? x
?

?

? 5 >1 ? . x +1 ?

请你写出一个一元二次不等式,使它的解集为 A ∩ B ,并说明理由.

20. 本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . ( 个小题, 研究人员发现某种特别物质的温度 y (单位:摄氏度)随时间 x (单位:分钟)的变化规 . 律是: y = m 2 x + 21? x ( x ≥ 0 ,并且 m > 0 ) (1) .如果 m = 2 ,求经过多少时间,该温度为5摄氏度; (2) .若该物质的温度总不低于2摄氏度,求 m 的取值范围.

21. 本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (本题满分 个小题,

Q 已知 BQ = 2 3 , 如图, 过圆锥轴的截面为等腰直角三角形 SAB , 为底面圆周上一点,

8 圆锥体积为 π ,点O为底面圆的圆心. 3
(1) .求该圆锥的侧面积; (2) .设异面直线 SA 与 BQ 所成角的大小为 θ , 求 tan θ 的值.

S

A Q

O

B

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22. 本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 ( 个小题, 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x ) = 2 sin ω x cos ω x ? 2 3 cos 2 ω x + 1 + 3 ( x ∈ R , 期是 π . (1)求 ω 的值; (2) 文科考生做)求使 f ( x ) 取得最大值时 x 的集合; (文科考生做) (理科考生做)求函数 f ( x ) 的单调增区间; 科考生做)

ω > 0 ) 的最小正周

(3)若不等式

?π π ? f ( x ) ? m < 2 在 ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

23. 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 ( 个小题, 小题满分 10 分. 已知 ?OAB , OA = a , OB = b , a =

uuu r

ur uuur

r

r

r r r 2 , b = 3 , a ? b = 1 , AB 上一点 P , 边 1 这里

P 异于 A 、B .由 P 引边 OB 的垂线 PQ1 , Q1 是垂足,再由 Q1 引边 OA 的垂线 Q1 R1 , R1 是 1 1 1
垂 足 . 又 由 R1 引 边 AB 的 垂 线 R1 P2 , P2 是 垂 足 . 同 样 的 操 作 连 续 进 行 , 得 到 点

uuur r r Pn 、 Qn 、 Rn (n ∈ N ? ) . 设 APn = tn b ? a uuu r
(1) .求 AB 的值;

(

)

(0 < tn < 1 ) ,如图.

(2) .某同学对上述已知条件的研究发现如下结论: BQ1 = ? 个结论是否正确?并说明理由; (3)(文科考生做)当 P 、 P2 重合时,求 ?PQ1 R1 的面积; . 文科考生做) 1 1 (理科考生做)用 t1 和 n 表示 tn . 理科考生做)

uuuu r

r 2 (1 ? t1 ) b ,问该同学这 3

B Q1 P1 O R1
B Qn Pn

A

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O

Rn

Pn+1 A

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杨浦区数学测试参考答案 杨浦区数学测试参考答案
一、填空题
1. x ? 1 ≤ x ≤ 3
4. ?1 ;

2010.1.21

{

};

2.若 a ≥ b ,则 a ≥ b ;
3 3

3. 2 ;

5.1;

6. ?

? x = ?1 ?y = 2


;7.文 40.0;理 25.5 ;

8. ?

?a1 = 3 ? ?an = an ?1 ( an ?1 ? 1) ( 2 ≤ n ≤ 10 ) ?

9. 2

; 10.

3 2

11.文 ?1 ;理 a ≥ 2 ;12.

1 3 ; 13.文 0;理 ; 14. ?4 或 1 ; 6 2
16. 18.
[ ] [B] [B] [C] [D] [C] [ ]

二、选择题
15. 17.
[A] [A] [B] [B] [C] [D] [ ] [D] [A]

三、解答题
19.解: . 函数 f 解 得

( x ) = ln ( x 2 ? x ? 6 ) 的定义域为 x 2 ? x ? 6 >0,
x
> 3 或

x



?2

--------------------------------4



∴ A = ( ?∞ , ? 2 ) ∪ ( 3 , + ∞ ) ---------------------------6 分


5 > 1 ,得 x +1

x?4 < 0 ,-------------------------7 分 x +1

解得 ?1 < x < 4 ; B = ( ?1 , 4 ) -------------------------8 分

∴ A ∩ B = ( 3 , 4)
2

-------------------------------------------10 分

故,一元二次不等式为 x ? 7 x + 12 < 0 ,---------------12 分 20. 1)解 当 m = 2 ,则 2 ? 2 x + 21? x = 5 ----------------2 分解得 x = 1 或 x = ?1 ; 由 . (

x ≥ 0 ,∴ x = 1 -----------5 分
故,经过 1 时间,温度为5摄氏度;-------------------------------6 分

(2)解 由题意得 m 2 + 2
x

1? x

≥ 2 对一切 x ≥ 0 恒成立,-------7 分
---------------------9 分

则 由 2 x >0 ,得 m ≥

2 2 ? x 2 ( 2 x )2

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令t = 2

?x

则 0< t ≤ 1 ,
2

1? 1 ? f ( t ) = ?2t 2 + 2t = ?2 ? x ? ? + ------------------11 分 2? 2 ?
当t =

1 1 时,取得最大值为 ;-------------------------12 分 2 2 1 2
x

∴m ≥

故的取值范围为 ?
1? x

?1 ? , + ∞ ? ----------------14 分 ?2 ?
---------------10 分

另解: m 2 + 2

= m 2x + ,

2 ≥ 2 2m 2x

1 --------14 分 2 21.解(1)设底面圆的半径为 R ,则由题意得 R = SO ,----1 分 . 1 8 ∵ π R 2 R = π , ∴ R = 2 ----------------------------------3 分 3 3
故,最小值为 2 2m

∴ 2 2m ≥ 2 , m ≥

母线的长为 SA =

R 2 + R 2 = 2 2 , ----------------------------4 分

所以,圆锥的侧面积为 π R ? SA = 4 2 π -------------------------6 分 (2)连接 QO 并延长交圆周于 C 点, (图略)

再连接 AC , AQ , BC , SC , --------------------------------------7 分 则 AO = BO = QO = OC , 所以 四边形 AQBC 是平行四边形,

AC QB , ∠SAC 的 大 小 为 异 面 直 线 SA 与 BQ 所 成 角 θ 的 大 小
----------------------------------------10 分 由(1)知,在 ?SAC 中, SA = SC = 2 2 , AC = QB = 2 3 , -------------------------------------------11 分 过点 S 作 SH ⊥ AC 于点 H , 则 tan θ =

SH = AH

SA2 ? AH 2 5 15 = = , AH 3 3

15 --------------------------------------------------14 分 3 uuu ur uuur r r r r r r 23.解: (1) 因为 ?OAB , OA = a , OB = b , a = 2 , b = 3 , a ? b = 1 ---------1 . ∴ θ = arctan


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则 AB = b ? a = b + a ? 2a ? b = 3 ;所以, AB = 3 ------------------4 分
(2)该同学的结论正确. --------------------------------------------------------------------------------5 分 (证 1)由(1)与已知,得

uuu 2 r

r r2

r2

r2

r r

uuu r

uuu r uuu r uuu r AB = 3 , OB = 3 , OA = 2

由余弦定理

uuu 2 r 2 2 OB + AB ? OA 3+3?2 2 cos ∠ABO = = = ----------------------6 uuu uuu r r 2× 3 × 3 3 2 OB AB r r uuu r uuu uuur r 3 t1 , 则 BP = AB ? AP = 3 ? 3 t1 1 1
uuuu r r 2 3 2 (1 ? t1 ) ,所以, BQ1 = ? (1 ? t1 ) b ------------8 3 3

分 又 Q AP = t1 b ? a = 1

uuur

则 BQ1 = BP1 cos ∠ABO = 分

uuuu r

uuu r

(证 2) 该同学的结论正确. ---------------------------------------------------------------------------------5 分

uuuu r
设 BQ1

r uuu uuu uuur r r r r = kb , Q P B = AB ? AP = (1 ? t1 ) b ? a , 1 1

(

)

uuuu uuu uuuu r r r r r r r r ∴ PQ1 = P B + BQ1 = (1 ? t1 ) b ? a + kb = (1 ? t1 + k ) b ? (1 ? t1 ) a , 1 1
又由 PQ1 ? b = 0 1

(

)

uuuu r r

得 k =?

uuuu r r 2 2 (1 ? t1 ) ;所以, BQ1 = ? (1 ? t1 ) b -------------------8 3 3 r r a ?b 1 1 cos ∠BOA = r r = = 2× 3 6 a b

分 注意:其它解法,可参考上述评分标准给分。 注意:其它解法,可参考上述评分标准给分。 (3)文科(解 1)由已知得 文科( 文科 分 (或用余弦定理求得,也可) --------------9

uuu r uuu r uuur uuur 1 Q OB = AB = 3 , ∴ cos ∠BAO = ; OR1 = OQ1 cos ∠BOA 6

uuu uuu r r ? ? 1 2 3 1 = OB ? BQ1 cos ∠BOA = ? 3 ? (1 ? t1 ) ? × = (1 + 2t1 ) -------------10 3 6 3 2 ? ?


(

)

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uuu r uuur uuu uuu r r Q AP 2 = AR1 cos ∠BAO = ? OA ? OR1 ? cos ∠BAO ? ? -------------------------------------------1 1 1 ? ? 1 1 + 2t1 ) ? 5 ? 2t1 ) =? 2? = ( ( 3 2 ? ? 6 6 3
1分 所

uuur AP2 1 1 5 t2 = r r = ( 5 ? 2t1 ) = ? t1 + ---------------------------------------------------------12 分 9 18 b ? a 18
1 9



当 P 、 P2 重合时,有 t1 = t2 ,解 t1 = ? t1 + 1 分 此时 BQ1 = ?

5 1 得 t1 = ,---------------------------------13 18 4

uuuu r

1r 1 3 1 2 b , ∴ BQ1 = OB = , OR1 = = , 2 2 2 4 2 2

AP = 1

3 3 3 , BP = , 1 4 4 = 5 2 S

R1 A = 5 16

3 2 , 4
, S

R1 P = 1

15 , 4
, S

易求 S 分

OAB

OR1Q1

=

R1 AP 1

=

3 5 32

BQ1P 1

=

3 5 -------------17 16

故 S ?PQ1R1 = S 1 分 ( 解 2)

OAB

?S

OR1Q1

?S

R1 AP 1

?S

BQ1P 1

=

5 5 ---------------------------18 32

uuur r uuur ? 5 1 ? r uuuu r r r R1 A = a ? OR1 = ? ? t1 ? a , AP2 =t2 b ? a ?6 3 ?

(

)
1 9 5 ,-------------------12 分 18

uuuu uuur uuur r R1 P2 = R1 A + AP2
( 以下同解 1) 理科

由 R1 P2 ? b ? a = 0 , t2 = ? t1 + 得

uuuu r r r

(

)

(解 1) 同文科(3)的解法,同理可得 tn +1 = ? tn + 分 则 tn +1 ? 分


1 9

5 ------------------------------------14 18

1 1? 1? = ? ? tn ? ? 4 9? 4?

-----------------------------------------------------------------------16

tn =

1 ? 1 ?? 1 ? + ? t1 ? ? ? ? ? 4 ? 4 ?? 9 ?

n ?1

(n ≥ 2 , n ∈ N )
?

-------------------------------------------------18

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分 (解 2)同文科(3)的(解 2)同理可得。 。 注意:其它解法,可参考上述评分标准给分。 注意:其它解法,可参考上述评分标准给分。

B
B

Q1 P1 O R1 A
O

Qn Pn Pn+1 A

Rn

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