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高考数学基础知识总结:第十章 排列组合二项定理


高中数学:第十章 排列组合二项定理 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用 问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可 以有 重复 元素 的排列. . .. .. .. 从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么 第一、第二……第 n 位上选取元素的方法都是 m 个,所以从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素可 重复排列数 m·m·… m = mn.. 例如:n 件物品放入 m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解: m 种) 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素 ...... 中取出 m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 m 排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表示. ⑷排列数公式: A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ? n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)! n 注意: n ? n! ? (n ? 1)!?n! m n?1 m n m m m?1 n m n 规定 0! = 1 1 m m?1 0 规定 C n ?C n A ? A ? A ?C ? A ?mAm?n An ? nAn n?1 ?1 2. 含有可重元素 的排列问题. ...... 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有 k 个不同元素 a1,a2,…...an 其中限重复数为 n1、n2……nk,且 n = n1+n2+……nk , 则 S 的排列个数等于 n ? n! . n1!n2 !...nk ! 例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n ? (1 ? 2)! ? 3 又例如:数字 5、5、5、求其排列个数? 1!2! 其排列个数 n ? 3! ? 1 . 3! 三、组合. 1. ⑴组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式: C m n? m Am n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! n ? Cm n? m m! m!(n ? m)! Am n?m n; ⑶两个公式:① C n ?C ②C m?1 m m n ?C n ?C n ?1 第 1 页 共 5 页 ①从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素,因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个 元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的唯一的一个 组合. (或者从 n+1 个编号不同的小球中,n 个

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