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【创新方案】2015届高考数学一轮复习 第一章 第一节 集合突破热点题型 文


第一节





考点一 [例 1 ]

集合的基本概念

(1)(2013·山东高考)已知集合 A={0,1,2}, 则集合 B={x-y|x∈A, y∈A} ) B.3
2 2

中元素的个数是( A.1

C.5

D.9

(2)已知 A={a+2,(a+1) ,a +3a+3},若 1∈A,则实数 a 构成的集合 B 的元素个数 是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

[自主解答] (1)①当 x=0 时,y=0,1,2,此时 x-y 的值分别为 0,-1,-2;②当 x =1 时,y=0,1,2,此时 x-y 的值分别为 1,0,-1;③当 x=2 时,y=0,1,2,此时 x-y 的值分别为 2,1,0.综上可知,x-y 的可能取值为-2,-1,0,1,2,共 5 个. (2)①当 a+2=1 时,a=-1,此时 A={1,0,1},不合题意,故 a≠-1; ②当(a+1)
2

=1 时,a=0 或 a=-2.若 a=0,则 A={2,1,3},符合题意;若 a=-2,则 A={0,1,1}, 不符合 题意;③当 a +3a+3=1 时,(a+1)(a+2)=0,即 a=-1 或 a=-2.由①②知, 不符合题意. 综上可知 a=0,即实数 a 构成的集合 B 只有 1 个元素. [答案] (1)C (2)B 【互动探究】 若将本例(1)中的集合 B 更换为 B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合 B 中有多 少个元素? 解:当 x=0 时 ,y=0;当 x=1 时,y=0 或 y=1;当 x=2 时,y=0,1,2. 故集合 B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合 B 中有 6 个元素. 【方法规律】 解决 集合的概念问题应关注两点 (1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用 描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.如本例(1)中集合 B 中的元素为实数 x -y,在“互动探究”中,集合 B 中的元素为点(x,y). (2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合是否满足互异性.
2

1.(2014·宁波模拟)已知集合 M={1,m},N={n,log2n},若 M=N,则(m-n)

2 015


1

________. 解析:因为 M=N,所以?
? ?n=1, ?m=0 ?
2 015

?n=1, ? ?log2n=m ?

或?

?n=m, ? ?log2n=1, ?

即?

或?

? ?n=2, ?m=2. ?

故(m-n)

=-1 或 0.

答案:-1 或 0 2 . 已 知 集 合 A = ?x?
? ? ? ?

?ax-1<0 ? x-a

? ? ? , 且 2 ∈ A,3 ? A , 则 实 数 ? ?

a 的取值范围是

________________. 2a-1 1 解析:因为 2∈A,所以 <0,即(2a-1)(a-2)>0,解得 a>2 或 a< .① 2-a 2 3a-1 1 1 若 3∈A, 则 <0, 即(3a-1)(a-3)>0, 解得 a>3 或 a< , 所以 3?A 时, ≤a≤3. 3-a 3 3 ②

?1 1? 由①②可知,实数 a 的取值范围为? , ?∪(2,3]. ?3 2? ?1 1? 答案:? , ?∪(2,3] ?3 2?
考点二 集合间的基本关系

[例 2] (1)(2014·西城模拟)已知 M={x|x-a=0}, N={x|ax-1=0}, 若 M∩N=N, 则实数 a 的值为( A.1 ) B.-1 C.1 或-1 D.0 或 1 或-1

(2)已知集合 A={x|x<-1 或 x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若 B? A,则实数 a 的取值 范围为________. [自主解答] (1)因为 M∩N=N,所以 N? M.当 a=0 时,N=?,M={0},满足 M∩N=N;
?1? 1 当 a≠0 时,M={a},N=? ?,所以 =a,即 a=±1.故实数 a 的值为 0,±1. ?a?

a

(2)当 B=?时,只需 2a>a+3,即 a>3;当 B≠?时,根据题意作出如图所示的数轴, 可得?
? ?a+3≥2a, ?a+3<-1 ? ? ?a+3≥2a, 或? ?2a>4, ?

解得 a<-4 或 2<a≤3.

图1

2

图2 综上可得,实数 a 的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞). [答案] (1)D (2)(-∞,-4)∪(2,+∞) 【方法规律】 根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时, 要明确集合中的元素, 对子集是否为空集进行分类 讨论, 做到不漏解. 若集合元素是一一列举的, 依据集合间的关系, 转化为解方程(组)求解, 此时注意集合中元素的互异性; 若集合表示的是不等式的解集, 常依据数轴转化为不等式(组) 求解, 此时需注意端点值能否取到.

1.(2014·杭州模拟)A={x|1<x<2},B={x| x<a},若 A 是( ) A.{a|a≥2} B.{a|a>2} C.{a|a≥1} D.{a|a≤1}

B,则实数 a 的取值范围

解析:选 A 借助数轴可知 a≥2,故选 A. 2.若集合 A={x|x +ax+1=0,x∈R},集合 B={1,2},且 A? B,则实数 a 的取值范 围是________. 解析:①若 A=?,则 Δ =a -4<0,解得-2<a<2; ②若 1∈A,则 1 +a+1=0,解得 a=-2,此时 A={1},符合题意;
? 1? 5 2 ③若 2∈A,则 2 +2a+1=0,解得 a=- ,此时 A=?2, ?,不合题意. 2? 2 ?
2 2 2

综上所述,实数 a 的取值范围为[-2,2). 答案:[-2,2)

高频考点

考点三

集 合的基本运算

1.有关集合运算的考题,在高考中多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大, 多为低档题. 2.高考对集合运算的考查主要有以下几个命题角度: (1)离散型数集间的交、并、补运算; (2)连续型数集间的交、并、补运算; (3)已知集合的运算结果求集合;

3

(4)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围). [例 3] (1)(2013·山东高考)已知集合 A,B 均为全集 U={1,2,3,4}的子集,且?U(A∪

B)={4}, B={1,2},则 A∩?UB=(
A.{3} B.{4} C.{3,4} D.?

)

(2)(2013·浙江高考)设集合 S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则 S∩T=( A.[-4,+∞) C.[-4,1] B.(-2,+∞) D.(-2,1]

)

(3)(2011·湖南高考)设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,4},则 N=( A.{1,2,3} C.{1,4,5} B.{1,3,5} D.{2,3,4}

)

(4)(2010·天津高考)设集合 A={x||x-a|<1, x∈R}, B={x|1<x<5, x∈R} . 若 A∩B =?,则实数 a 的取值范围是( A.{a|0≤a≤6} )

B.{a|a≤2 或 a≥4}

C.{a|a≤0 或 a≥6} D.{a|2≤a≤4} [自主解答] (1)由题意知 A∪B={1,2,3},又 B={1,2},故 A∩?UB={3}. (2)S∩T={x|x>-2}∩{x|-4≤x≤1}={x|-2<x≤1}. (3)画出 Venn 图,阴影部分为 M∩?UN={2,4},∴N={1,3,5}.

(4)A={x||x-a|<1,x∈R}={x|a-1<x<1+a}. ∵A∩B=?, ∴a-1≥5 或 1+a≤1,即 a≥6 或 a≤0. [答案] (1)A (2)D (3)B (4)C

集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算.常借助 Venn 图求解; (2)连续型数集的运算.常借助数轴求解; (3)已知集合的运算结果求集合.借助数轴或 Venn 图求解; (4)根据集合运算求参数.先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.

1.(2014·郑州模拟)

已知集合 M={-1,0,1},N ={0,1,2},则如图所示的 Venn 图中的阴影部分所表示的
4

集合为(

) B.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}

A.{0,1} C.{-1,2}

解析: 选 C 由图可知, 阴影部分为{x|x∈M∪N 且 x?M∩N}, 又 M∪N={-1,0,1,2}, M∩N ={0,1},所以{x|x∈M∪N 且 x?M∩N}={-1,2}. 2.(2014·厦门模拟)已知集合 A={1,2,3},B∩A={3},B∪A={1,2,3,4,5},则集合

B 的子集的个数为(
A.6 B.7

) C.8 D.9
3

解析:选 C 由题意知 B={3,4,5},集合 B 含有 3 个元素,则其子集个数为 2 =8. 3.(2014·日照模拟)设集合 A={x|x +2x-3>0},B={x|x -2ax-1≤0,a>0}.若
2 2

A∩B 中恰含有一个整数,则实数 a 的取值范围是(

)

? 3? A.?0, ? ? 4? ?3 ? C.? ,+∞? ?4 ?
解析:选 B

?3 4? B.? , ? ?4 3?
D.(1,+∞)

A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1 或 x<-3},因为函数 y=f(x)=x2-2ax

-1 的对称轴为 x=a>0,f(-3)=6a+8>0,根据对称性可知,要使 A∩B 中恰含有一个整
? ?4-4a-1≤0, 数 , 则 这 个 整 数 解 为 2 , 所 以 有 f(2)≤0 且 f(3) > 0 , 即 ? ?9-6a-1>0, ?

所以

3 ? ?a≥4, ? 4 ? ?a<3,

3 4 即 ≤a< . 4 3

———————————[课堂归纳——通法领悟]——————————— 组转化——集合运算与集合关系的转化 在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系, 在一定的情况下 可以相互转化, 如 A? B?A∩B=A?A∪B=B??UA? ?UB?A∩(?UB)=?, 在解题中运用这种转 化能有效地简化解题过程. 种技巧——集合的运算技巧 (1)在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化. 一般地, 集 合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的 取舍. (2)两个有限集合相等, 可以从两个集合中的元素相同求解, 如果是两个无限集合相等, 从两个集合中元素相同求解就不方便,这时就根据两个集合相等的定义求解,即如果 A? B,

B? A,则 A=B.
5

个注意点——解决集合问题应注意的问题 (1)认清元素的属性.解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情 形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)注意元素的互异性. 在解决含参数的集合问题时, 要注意检验集合中元素的互异性, 否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关 A∩B=?,A? B 等集合问题时,往往忽略空集的情况,一 定 先考虑?是否成立,以防漏解.

6


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