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2018-2019学年最新北师大版必修2高中数学《垂直关系的判定》同步练习(2)-精编试题

高中数学 1.6.1 垂直关系的判定课时训练 北师大版必修 2 一、选择题 1.设 l、m 为不同的直线,α为平面,且 l⊥α,下列为假命题 的是( ) B.若 m⊥l,则 m∥α D.若 m∥l,则 m⊥α A.若 m⊥α,则 m∥l C.若 m∥α,则 m⊥l 【解析】 A 中,若 l⊥α,m⊥α,则 m∥l,所以 A 正确;B 中, 若 l⊥α,m⊥l,则 m∥α或 m B 错误;C 中,若 l⊥α, m∥α,则 m⊥l,所以 C 正确;若 l⊥α,m∥l,则 m⊥α,所以 D 正确. 【答案】 B 2.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,与 AD1 垂直的平面是( A.平面 DD1C1C C.平面 A1B1C1D1 B.平面 A1DCB1 D.平面 A1DB ) 【解析】 连接 A1D、B1C,由 ABCD—A1B1C1D1 为正方体可知,AD1 ⊥A1B1,AD1⊥A1D.故 AD1⊥平面 A1DCB1. 【答案】 B 3.如图 1-6-9,在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、 BC、CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( ) 图 1-6-9 A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 ABC D.平面 PAE⊥平面 ABC 【解析】 由题意知 BC∥DF,且 BC⊥PE,BC⊥AE.∵PE∩AE=E, ∴BC⊥平面 PAE, ∴BC∥平面 PDF 成立,DF⊥平面 PAE 成立,平面 PAE⊥平面 ABC 也成立. 【答案】 C 4.下列说法中正确命题的个数为( ) ①如果直线 l 与平面α内的无数条直线垂直,则 l⊥α; ②如果直线 l 不垂直于α,则α内没有与 l 垂直的直线; ③如果一条直线与平面内的一条直线垂直, 则该直线与此平面必 相交; ④如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必在这个平面 内; ⑤如果一条直线和一个平面垂直, 该直线垂直于平面内的任一直 线. A.0 C.2 B.1 D.3 【解析】 如图(1)所示,l 与α相交(不垂直),此时也有无数 条直线与 l 垂直.故①②错误;如图(2)所示,l 与α平行,此时平 面内也存在无数条直线与 l 垂直,故③④错误;如图(3)所示,直线 l 与平面α的垂线 m 垂直,但 l 不在平面α内;由线面垂直的定义可 知,⑤正确. 【答案】 B 5.如图 1-6-10,在正方形 ABCD 中,E、F 分别为边 BC,CD 的 中点,H 是 EF 的中点,现沿 AE、AF,EF 把 图 1-6-10 这个正方形折成一个几何体,使 B、C、D 三点重合于点 G,则下 列结论中成立的是( A.AG⊥平面 EFG B.AH⊥平面 EFG C.GF⊥平面 AEF D.GH⊥平面 AEF 【解析】 ∵AG⊥GF,AG⊥GE,GF∩GE=G, ∴AG⊥平面 EFG. ) 【答案】 A 二、填空题 6. (2013· 徐州高一检测)如图 1-6-11, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,平面 ACD1 与平面 BB1D1D 的位置关系是________. 图 1-6-11 【解析】 ∵ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD. 又∵D1D⊥平面 ABCD,AC ∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB=D, ∴AC⊥平面 BB1D1D. ∵AC ACD1, ABCD, ∴平面 ACD1⊥平面 BB1D1D. 【答案】 垂直 图 1-6-12 7.如图 1-6-12 所示,已知 PA⊥平面α,PB⊥平面β,垂足 分别为 A、B,α∩β=l,∠APB=50°,则二面角α-l-β的大小 为________. 【解析】 如图,设平面 PAB∩l=O,连接 AO,BO,AB, ∵PA⊥α,l ∴PA⊥l. 同理 PB⊥l,而 PB∩PA=P, ∴l⊥平面 PAB, ∴l⊥AO,l⊥BO, ∴∠AOB 即为二面角α-l-β的平面角. 结合图形知∠AOB+∠APB=180°, ∴∠AOB=130°. 【答案】 130° 8.边长为 a 的正三角形 ABC 的边 AB、AC 的中点为 E、F,将△ AEF 沿 EF 折起,此时 A 点的新位置 A′使平面 A′EF⊥平面 BEFC,则 A′B=________. 【解析】 取 BC 的中点 N,连接 AN 交 EF 于点 M, 连接 A′M, 则 A′M⊥EF. ∵平面 A′EF⊥平面 BCFE, ∴A′M⊥平面 BCFE, ∴A′M⊥BM, 1 3 3 ∵AM=MN= AN= a,∴A′M= a, 2 4 4 在 Rt△MNB 中, MB2=MN2+NB2= 7 2 a, 16 在 Rt△A′MB 中, A′B= A′M2+MB2= 【答案】 三、解答题 10 a 4 10 a. 4 图 1-6-13 9.如图 1-6-13 所示,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在 的平面,M 是圆周上任意一点,AN⊥PM,垂足为 N.求证:AN⊥平面 PBM. 【证明】 设圆 O 所在的平面为α, ∵PA⊥α,且 BM PA⊥BM. 又∵AB 为⊙O 的直径,点 M 为圆周上一点, ∴AM⊥BM, ∵直线 PA∩AM=A, ∴BM⊥平面 PAM. 又 AN ∴BM⊥AN. 这样,AN 与 PM,BM 两条相交直线垂直. 故 AN⊥平面 PBM. PAM, 图 1-6-14 10.如图 1-6-14 所示,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA,SB,SC 且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°. 求证:平面 ABC⊥平面 BSC. 【证明】 法一 取 BC 的中点 D,连接 AD,SD. ∵∠ASB=∠ASC,且 SA=SB=AC,∴AS=AB=AC. ∴AD⊥BC. 又△ABS 是正三角形,△BSC 为等腰直角三角形, ∴BD=SD. ∴AD2+SD2=AD2+BD2=AB2=AS2. 由勾股定理

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