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高中数学新人教版选修2-2课时作业:第一章 导数及其应用1.1.3导数的几何意义 word版含解析

1.1.3 明目标、知重点 导数的几何意义 1.了解导函数的概念;了解导数与割线斜率之间的关系. 2.理解曲线的切线的概念;理解导数的几何意义. 3.会求曲线上某点处的切线方程,初步体会以直代曲的意义. 1.导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率 设函数 y=f(x)的图象如图所示, AB 是过点 A(x0, f(x0))与点 B(x0+Δ x, f(x0 Δ y f?x0+Δ x?-f?x0? +Δ x))的一条割线,此割线的斜率是 = . Δx Δx 当点 B 沿曲线趋近于点 A 时,割线 AB 绕点 A 转动,它的极限位置为直线 AD,这条直线 AD 叫 做此曲线在点 A 处的切线.于是,当 Δ x→0 时,割线 AB 的斜率无限趋近于过点 A 的切线 AD 的斜率 k,即 k=f′(x0)=Δ lim x→0 (2)导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜 率.也就是说,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0).相应地,切线方 程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.函数的导数 当 x=x0 时,f′(x0)是一个确定的数,则当 x 变化时,f′(x)是 x 的一个函数,称 f′(x)是 f?x0+Δ x?-f?x0? . Δx f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作 y′, 即 f′(x)=y′=Δ lim x→0 f?x+Δ x?-f?x? . Δx 情境导学] 如果一个函数是路程关于时间的函数,那么函数在某点处的导数就是瞬时速度,这是函数的 实际意义,那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢?这 就是本节我们要研究的主要内容. 探究点一 导数的几何意义 思考 1 如图,当点 Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0,f(x0))时,割线 PPn 的变化趋势是什么? 答 当点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处 的切线,该切线的斜率为Δ lim x→0 斜率 k=f′(x0). 思考 2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点? 答 不一定. 曲线的切线和曲线不一定只有一个交点, 和曲线只有一个交 点的直线和曲线也不一定相切. 如图, 曲线的切线是通过逼近将割线趋于 确定位置的直线.其图象特征是:切点附近的曲线均在切线的同侧,如 l2. 思考 3 曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过某点(x0,y0)的切线有何不同? 答 曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出 k=f′(x0), 利用点斜式写出切线即可;而曲线 f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲 线上,既使在曲线上也不一定是切点. 小结 曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率 k=f′(x0),欲求斜率,先找切点 P(x0, f?x0+Δ x?-f?x0? ,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的 Δx f(x0)). 思考 4 如何求曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程? 答 先确定切点 P(x0,f(x0)) ,再求出切线的斜率 k=f′(x0),最后由点斜式可写出切线方 程. 例 1 已知曲线 y=x , (1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(3,5)的切线方程. 解 (1)设切点为(x0,y0), ∵y′|x=x0=Δ lim x→0 ?x0+Δ x? -x0 Δx 2 2 2 2 2 x2 0+2x0·Δ x+?Δ x? -x0 =Δ lim =2x0, x→0 Δx ∴y′|x=1=2.∴曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. (2)点 P(3,5)不在曲线 y=x 上,设切点为(x0,y0), 由(1)知,y′|x=x0=2x0, ∴切线方程为 y-y0=2x0(x-x0), 由 P(3,5)在所求直线上得 5-y0=2x0(3-x0),① 再由 A(x0,y0)在曲线 y=x 上得 y0=x0,② 联立①,②得,x0=1 或 x0=5. 从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时, 切线的斜率为 k1=2x0=2, 此时切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1, 当切点为(5,25)时,切线的斜率为 k2=2x0=10, 此时切线方程为 y-25=10(x-5), 即 y=10x-25. 综上所述,过点 P(3,5)且与曲线 y=x 相切的直线方程为 y=2x-1 或 y=10x-25. 小结 (1)求曲线上某点处的切线方程,可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率,然后利 用点斜式写出切线方程;(2)求曲线过某点的切线方程,要先求出切点坐标,再按 (1)完成解 答. 跟踪训练 1 已知曲线 y=2x -7,求: (1)曲线上哪一点的切线平行于直线 4x-y-2=0? (2)曲线过点 P(3,9)的切线方程. 解 y′=Δ lim x→0 =Δ lim x→0 Δy Δx 2 2 2 2 2 2 2 [2?x+Δ x? -7]-?2x -7? Δx =Δ lim (4x+2Δ x)=4x. x→0 (1)设切点为(x0,y0),则 4x0=4,x0=1,y0=-5, ∴切点坐标为(1,-5). 即曲线上点(1,-5)的切线平行于直线 4x-y-2=0. (2)由于点 P(3,9)不在曲线上. 设所求切线的切点为 A(x0,y0),则切线的斜率 k=4x0, 故所求的切线方程为 y-y0=4x0(x-x0). 将 P(3,9)及 y0=2x0-7 代入上式, 2

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