当前位置:首页 >> 高考 >> 2013湖北高考(理科)数学试题及答案(完整版)

2013湖北高考(理科)数学试题及答案(完整版)


第 1 页 共 50 页

2013 年湖北高考数学试卷(理科)WORD 版
绝密 ★ 启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)



学(理科)

4.将函数 y ? 3 cos x ? sin x( x ? R) 的图像向左平移 m(m ? 0) 个单位长度后,所得到的 图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.

? 5? ? ? B. C. D. 12 6 6 3

5.已知 0 ? ? ? A.实轴长相等

?
4

,则双曲线 C1 :

x2 y2 y 2 x 2 ? 2 ? 1与C2 : 2 ? 2 ? 1的 cos 2 ? sin ? sin ? sin ? tan 2 ?
D.离心率相等

B.虚轴长相等 C.焦距相等

6.已知点 A(-1,1) 、B(1,2) 、C(-2,1) 、D(3,4) ,则向量 AB 和 CD 方向上的投影为

??? ?

??? ?

A.

3 2 2

B.

3 15 2

C.

3 2 2

D.

3 15 2

7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度
1

第 2 页 共 50 页

25 (t的单位:s, v的单位:m / s) 行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的 1? t 距离(单位: m )是 v(t ) ? 7 ? 3t ?
A. 1+25ln 5 B. 8+25ln

11 3

C. 4+25ln 5

D. 4+50ln 2

8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别 为 V1,V2,V3,V4, 这四个几何体为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有

AV1 ? V2 ? V4 ? V3 .

B. V ? V ? V ? V C. V ? V ? V ? V D. V ? V ? V ? V 1 3 2 4 2 1 3 4 2 3 1 4

9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌 后,从中抽取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)= A.

126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频 率分布直方图如图所示。 (1)直方图中 x 的值为___________; (2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为___________。

12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i=___________。

2

第 3 页 共 50 页

,x+2 y +3z = 14, x+y+z= ___________。 13.设 x, y, z ? R ,且满足: x +y +z =1 则
2 2 2

14.古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,…,第 n 个三角 形数为

n(n+1) 1 2 1 = n + n ,记第 n 个 k 边形数为 N (n, k )(k ? 3) ,以下列出了部分 k 边形 2 2 2 1 1 N (n,3)= n2 + n 2 2
2 N ( n, 4 ) = n

数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数

3 1 N (n,5)= n 2 - n 2 2
2 N ( n, 6 ) = n 2

-n

…………………………………………………………….. 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=_________________。 二.填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填 在答题卡的对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ..... (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请现在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框图用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如 图 , 圆 上 一 点 O

C在直径AB上的射影为D, 点D在半径OC上的射影为E.



3

第 4 页 共 50 页

AB ? 3 AD,

CE 的值为 EO

.

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直线坐标系 xoy 中,椭圆 C 的参数方程为

?

x ? a cos ? y ?b sin ?

??为参数, a ? b ? 0 ? . 在极坐标系(与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴为正半轴 为极轴)中,直 线 l 与圆 O 的极坐标分别为 ? sin ? ? ?

? ?

??

2 m ? m为非零常数 ? 与? =b. 若直线 l 经过 ?? 4? 2
.

椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆的离心率为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC中,角A、B、C对应的边分别为a, b, c. 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1. (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC的面积S ? 5 3, b ? 5, 求 sin B sin C的值.

18.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ? an ? 满足: a2 ? a3 ? 10, a1a2 a3 ? 125. (I)求数列 ? an ? 的通项公式; ( II ) 是 否 存 在 正 整 数

m,

使



1 1 1 ? ? ?????? ? ? 1? 若存在,求m的最小值; 若不存在,说明理由. a1 a2 an
19.(本小题满分 12 分) 如 图 , AB 是 圆 O 的 直 径 , 点 C是圆 O 上 异 于 A、B 的 点 , 直 线

PC ? 平面ABC , E, F 分别为PA, PB的中点.
(I)记平面

BEF与平面ABC的交线为l,是判断l与平面PAC的位置关系, 并加以
说明; ( II ) 设 ( I ) 中 的 直 线 l与圆O的另一个交点为D, 且点Q满足DQ ?
4

?

1 ? CP. 记 直 线 2

第 5 页 共 50 页

PQ与平面ABC所成的角为O, 异 面 直 线 所 成 的 锐 角 为 o , 二 面 角 E ? l ? C的大小为?,求证: ? ? sin ? sin ? . sin

20.(本小题满分 12 分) 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布N 800,50 的随机变量,
2

?

?

记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 Pn . 求 Pn 的值; (I) (参考数据:若 X ? N ? , ?

?

2

? , 有P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826, )

P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544, P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974.
(II)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每年每天往 返一次, A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队, 并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆。若每天要以不小于 P0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地 的营运成本最小,那么应配备 A型车、B型车各多少辆?

21.(本小题满分 13 分) 如 图 , 已 知 椭 圆 C1与C2的中心原点坐标O, 长 轴 均 为 MN且在x轴上, 短 轴 长 分 别 为

2m、n ? m ? n ?, 2 过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1、C2的四个交点按纵坐标 从大到
小依次为 A、B、C、D. 记 ? ?

m , ?BDM 和?ABN的面积分别为S1、S2 . n

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 =? S2 , 求?的值; (II)当 ? 变化时,是否存在于坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 =? S2 , 并说明理由.

5

第 6 页 共 50 页

22.(本小题满分 14 分) 设 n 为正整数, r 为正有理数. (I)求函数 f ? x ? ? ?1 ? x ?
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1? x ? ?1?的最小值;

(II)证明:

n r ?1 ? ? n ? 1? r ?1

r ?2

? nr ?

? n ? 1?

r ?1

? n r ?1

r ?1

;

(III)设 x ? R, ? x ? 为 不小于 x 的最小整数,例如 ? 2? =2, ? ? =4,? ? ? =-1. 记 ? ... 2 令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ?????? ? 3 125, 求 ? S ?的值. (参考数据: 80 3 ? 344.7,813 ? 350.5,124 3 ? 618.3,126 3 ? 631.7. )
4 4 4 4

? 3? ? ?

6

第 7 页 共 50 页

7

第 8 页 共 50 页

8

第 9 页 共 50 页

9

第 10 页 共 50 页

10

第 11 页 共 50 页

11

第 12 页 共 50 页

12

第 13 页 共 50 页

13

第 14 页 共 50 页

14

第 15 页 共 50 页

15

第 16 页 共 50 页

16

第 17 页 共 50 页

17

第 18 页 共 50 页

18

第 19 页 共 50 页

19

第 20 页 共 50 页

20

第 21 页 共 50 页

21

第 22 页 共 50 页

22

第 23 页 共 50 页

23

第 24 页 共 50 页

24

第 25 页 共 50 页

25

第 26 页 共 50 页

26

第 27 页 共 50 页

27

第 28 页 共 50 页

28

第 29 页 共 50 页

29

第 30 页 共 50 页

30

第 31 页 共 50 页

31

第 32 页 共 50 页

32

第 33 页 共 50 页

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工农医类) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分、在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的。

1.若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 Z,则表示复数

33

第 34 页 共 50 页

z 的点是 1? i
A.E B.F C.G D.H

2.设集合 A ? {? x, y ? | A.4 B.3

x2 y 2 ? ? 1} , B ? {( x, y) | y ? 3x } ,则 A ? B 的子集的个数是 4 16
D.1

C.2

3.在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B = A -

2 2 3

B

2 2 3

C -

6 3

D

6 3

4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点 数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是 A

5 12

B

1 2

C
???

7 12
???

D
???

3 4
??? ??? ???

5.已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB + MC ? 0 .若存在实数 m 使得 AB? AC ? m AM 成 立,则 m= A.2 B.3 C.4 D.5

6.将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,??600,采用系统抽样方法抽取一个容 量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 住在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人 数一次为 A.26, 16, 8 C.25,16,9 B.25,17,8 D.24,17,9

7、如图,在半径为 r 的园内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作 内接正六边形, 如此无限继续下去, sn 为前 n 个圆的面积之和, lim sn = 设 则
n??

A. 2 ? r

2

B.

8 2 ?r 3

C.4 ? r

2

D.6 ? r

2

8、现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、
34

第 35 页 共 50 页

导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他 三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是 A.152 B.126 C.90 D.54
2

9.若直线 y=x+b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 有公共点,则 b 的取值范围是 A. ? ?1,1 ? 2 2 ?

?

? ?

B. ?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ?

?

C. ?1 ? 2 2, 3?

?

?

D. ?1 ? 2, 3?

?

?

10.记实数 x1 ,x2 , …… xn 中的最大数为 max ? x1 , x2 ,......xn ? , 最小数为 min ? x1 , x2 ,......xn ? 。 已 知 ABC 的 三 边 长 位 a,b,c ( a ? b ? c ), 定 义 它 的 亲 倾 斜 度 为

?a b c ? ?a b c ? l ? max ? , , ? .min ? , , ? , 则“ l =1”是“ ? ABC 为等边三角形”的 ?b c a ? ?b c a ?
A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写。填错位置,书写不清,模凌两可均不得分。 11、在(x+
4

3 y ) 20 的展开式中,系数为有理数的项共有_______项。

? y ? x, ? 12.已知 z ? 2x ? y ,式中变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ,则 z 的最大值 ? x ? 2, ?
为___________.

13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与 圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示) ,则球的半径

35

第 36 页 共 50 页



cm。

14.某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?
P

7 x

8 0.1

9 0.3

10 y

已知 ? 的期望 E ? =8.9,则 y 的值为 15.设 a>0,b>0,称

.

2ab 为 a,b 的调和平均数。如图,C 为线段 AB 上 a?b

的点,且 AC=a,CB=b,O 为 AB 中点,以 AB 为直径做半圆。过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD,AD,BD。过点 C 作 OD 的垂 线,垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a,b 的算术平均数,线段 的长度是 a,b 的几何平均数,线段 的长度是 a,b 的调和平均数。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= cos(

?

? 1 1 ? x) cos( ? x), g ( x) ? sin 2 x ? 3 3 2 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。

17. (本小题满分 12 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年
36

第 37 页 共 50 页

的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x) =

k (0 ? x ? 10), 若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元。设 f(x)为隔热层建造 3x ? 5

费用与 20 年的能源消耗费用之和。 (Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式。 (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值。

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在四面体 ABOC 中, OC ? OA, OC ? OB, ?AOB ? 120 , 且 OA ? OB ? OC ? 1


(Ⅰ)设为 P 为 AC 的中点, 证明: 在 AB 上存在一点 Q ,使 PQ ?OA ,并计算 值; (Ⅱ)求二面角 O ? AC ? B 的平面角的余弦值。

AB 的 AQ

19(本小题满分 12 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是
37

第 38 页 共 50 页

1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都 有 FA ? FB ? 0 ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

??? ??? ? ?

20.(本小题满分13分) 3 1 (1+a n+1) 2(1+a n) 已知数列?a n ? 满足:a1 ? , ? ,a n a n+1 ? 0( n ? 1), 数列?b n ? 满足: 2 1? an 1 ? a n+1 (?)求数列?a n ?,b n ?的通项公式; ? (? )证明:数列?b n ?中的任意三项不可能成等差数列. 21. (本小题满分14分) 已知函数f(x)=ax + (?)用a表示出b,c; (? )若f(x) lnx在[1,+?)上恒成立,求a的取值范围; ? 1 1 1 n (Ⅲ) 证明: ? ? ??? ? ? ln n +1)+ 1? ( (n ? 1) 2 3 n (n +1) 2 b ? c(a >0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x -1. x
2 2 b n ? a n ?1 ? a(n ? 1). n

38

第 39 页 共 50 页

2010 年高考试题——数学理 (湖北卷)答案与解析
1. 【答案】D 【解析】观察图形可知 z ? 3 ? i ,则 2. 【答案】A 【解析】画出椭圆
x2 y 2 ? ? 1 和指数函数 y ? 3x 图象,可知其有两个不同交点,记为 4 16

z 3?i ,故 D 正确. ? ? 2 ? i ,即对应点 H(2,-1) 1? i 1? i

A1、A2,则 A ? B 的子集应为 ?,? A1? ,? A2 ? ,? A1 , A2 ? 共四种,故选 A. 3. 【答案】D 【解析】根据正弦定理
3 a b 15 10 可得 解得 sin B ? ,又因为 b ? a ,则 ? ? ? 3 sin A sin B sin 60 sin B
6 ,故 D 正确. 3

B ? A ,故 B 为锐角,所以 cos B ? 1 ? sin 2 B ?

4. 【答案】C 【 解 析 】 用 间 接 法 考 虑 , 事 件 A 、 B 一 个 都 不 发 生 的 概 率 为

1 C4 5 P ( AB ) ? P( A)?P( B ) ? ? 5 ? 1 2 C6 12
则所求概率 ? 1 ? P( AB ) ?

7 , 故 C 正确。 12

5. 【答案】B 【解析】由题目条件可知,M 为 ?ABC 的重心,连接 AM 并延长交 BC 于 D ,则

??? ??? ? ? ???? ???? ? ???? 2 ???? ? AM ? AD ①, 因为 AD 为中线 AB ? AC ? 2 AD ? mAM , 3 ???? ???? ? 即 2AD ? mAM ②, 联立①②可得 m ? 3 ,故 B 正确。

6. 【答案】B 【解析】依题意可知,在随机抽样中,首次抽到 003 号,以后每隔 12 个号抽到一个人, 则分别是 003、015、027、039 ? ? ? ? ? ? 构成以 3 为首项,12 为公差的等差数列,

39

第 40 页 共 50 页

故可分别求出在 001 到 300 中有 25 人,在 301 至 495 号中共有 17 人,则 496 到 600 中有 8 人, 所以 B 正确。

7. 【答案】C 【解析】依题意分析可知,图形中内切圆半径分别为:

r , ?r o s ? 3 0 ?r ( c ,

?

c o s 3 ?0 )?rc o s ?3 0 , (?

c o s? 即?0 ? ,? c o s 3 0 ) c o s 3 ? 3 ? ?

3 3 3 3 3 9 27 r, r, r, r, 则面积依次为: ? r 2, ? r 2, ? r 2, ? r 2, 所以 ?????? ?????? 2 4 8 4 16 64

3 3 9 27 1 limSn ? lim(? r 2 ? ? r 2 ? ??????) ? ? r 2 ? lim(1 ? ? ? ? ??????) ? ? r 2 ? ? 4? r 2 n ?? n ?? n ?? 3 4 4 16 64 1? 4
故 C 正确.

8. 【答案】B
3 【解析】分类讨论:若有 2 人从事司机工作,则方案有 C32 ? A3 ? 18 ;若有 1 人从事司机

1 2 3 工作,则方案有 C3 ? C4 ? A3 ? 108 种,所以共有 18+108=126 种,故 B 正确

9. 【答案】C 【解析】曲线方程可化简为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4(1 ? y ? 3) ,即表示圆心为(2,3)半径为 2 的半圆,依据数形结合,当直线 y ? x ? b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3) 到直线 y=x+b 距离等于 2,解得 b ? 1 ? 2 2或b ? 1 ? 2 2 ,因为是下半圆故可得 ,当直线过(0,3)时,解得 b=3,故 1 ? 2 2 ? b ? 3, 所以 C 正 b ? 1 ? 2 2 (舍) 确. 10.【答案】A
a ?a b c ? ? bc ? 【解析】 若△ABC 为等边三角形时, a=b=c, m ? , 即 则 a , x 1 ?n , , m ? i ? ? ? 则 l=1; b? a c ?b c a ? ?

若△ABC 为等腰三角形,如 a=2,b=2,c=3 时,

40

第 41 页 共 50 页

?a b c ? 3 ?a b c ? 2 则 max ? , , ? ? , min ? , , ? ? ,此时 l=1 仍成立但△ABC 不为等边三角 ?b c a ? 3 ?b c a ? 2

形,所以 A 正确. 11.【答案】6
r r 【解析】二项式展开式的通项公式为 Tr ?1 ? C20 x 20? r ( 4 3 y)r ? C20 ( 4 3)r x 20? r y r (0 ? r ? 20) 要

使系数为有理数,则 r 必为 4 的倍数,所以 r 可为 0.、4、8、12、16、20 共 6 种, 故系数为有理数的项共有 6 项. 12.【答案】5 【解析】依题意,画出可行域(如图示) , 则对于目标函数 y=2x-z, 当直线经过 A(2,-1)时, z 取到最大值, Z max ? 5 . 13.【答案】4
4 【解析】设球半径为 r,则由 3V球 ? V水 ? V柱 可得 3 ? ? r 3 ? ? r 2 ? 8 ? ? r 2 ? 6r ,解得 r=4. 3

14.【答案】0.4 【解析】由表格可知: x ? 0.1 ? 0.3 ? y ? 9, 联合解得 y ? 0.4 . 15.【答案】CD DE
7 x ? 8 ? 0.1 ? 9 ? 0.3 ? 10 ? y ? 8.9

【解析】在 Rt△ADB 中 DC 为高,则由射影定理可得 CD2 ? AC ? CB ,故 CD ? ab ,即
a ?b a ?b a?b ? , CD ? ab , OD ? 2 2 2 2 ( a ? b) a?b 代入 OD ? CE ? OC ? CD可得 CE ? ,所 ab 故 OE ? OC 2 ? CE 2 ? 2(a ? b) a?b

CD 长度为 a,b 的几何平均数, OC= a ? 将

以 ED=OD-OE=

2ab ,故 DE 的长度为 a,b 的调和平均数. a?b

16. 本小题主要考察三角函数的基本公式、周期和最值等基础知识,同事考察基本运算能 力。 (满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? cos(

?

? 1 3 1 3 ? x) cos( ? x) ? ( cos x ? sin x)( cos x ? sin x) 3 3 2 2 2 2

41

第 42 页 共 50 页

1 3 1 ? cos 2 x 3 ? 3cos 2 x 1 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? ? cos 2 x ? 4 4 8 8 2 4 2? f ( x) 的最小正周期为 ?? 2

(Ⅱ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 1 2 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos(2 x ? ) 2 2 2 4

当 2x ?

x ? 2k? (k ? Z ) 时, 4

h( x)取得最大值

2 . 2

? ? ? h( x) 取得最大值时, 对应的 x 的集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? 。 8 ? ?

17.本题主要考察函数、导数等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。 (满分 12 分) 解: (Ⅰ)设隔热层厚度为 xcm ,由题设,每年能源消耗费用为 C ( x) ? 再由 C (0) ? 8 ,得 k ? 40 , 因此 C ( x) ? 而建造费用为 C1 ( x) ? 6 x 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为

k . 3x ? 5

40 . 3x ? 5

f ( x) ? 20C ( x) ? C1 ( x) ? 20 ?

40 800 ? 6x ? ? 6 x(0 ? x ? 10) 3x ? 5 3x ? 5

(Ⅱ) f '( x) ? 6 ?

2400 2400 ,令 f '( x) ? 0 ,即 ?6. 2 (3x ? 5) (3x ? 5) 2

解得 x ? 5 , x ? ?

25 (舍去). 3

当 0 ? x ? 5 时, f '( x) ? 0 , 当 5 ? x ? 10 时, f '( x) ? 0 , 故 x ? 5 是 f ( x) 的最小值点,对应的最小值为 f (5) ? 6 ? 5 ?

800 ? 70 。 15 ? 5

当隔热层修建 5cm 厚时, 总费用达到最小值为 70 万元。

42

第 43 页 共 50 页

18.本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和两面角等基础知识, 同 事考察空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.(满分 12 分)

解法一: (Ⅰ)在平面 OAB 内作 ON ? OA 交 AB 于 N , 又 OA ? OC , ?OA ? 平面ONC 连接 NC 。

? N C 平面 O N C ? ,

?O A ?

N。 C

取 Q 为 AN 的中点,则 PQ ? NC 。

? P Q? O A
在等腰

? AOB 中, ?AOB ? 120? ,

??OAB ? ?OBA ? 30?
? 在 Rt? AON 中, ?OAN ? 30 , ? ON ?

1 AN ? AQ 2

在 ?ONB 中, ?NOB ? 120 ? 90 ? 30 ? ?NBO ,
? ? ?

? N B ? O N ? A. Q

?

AB ?3 AQ

(Ⅱ)

43

第 44 页 共 50 页

连接 PNPO , 由 OC ? OA , OC ? OB 知: OC ? 平面OAB . 又 ON ? OAB , ?OC ? ON 又由 ON ? OA , ON ? 平面AOC 。

? OP 是 NP 在平面 AOC 内的射影。
在等腰 Rt?COA 中, P 为 AC 的中点,? AC ? OP 根据三垂线定理,知: ? AC ? NP

??OPN 为二面角 O ? AC ? B 的平面角
在等腰 Rt?COA 中, OC ? OA ? 1 ,? OP ?

2 2

在 Rt? AON 中, ON ? OA tan 30 ?
?

3 , 3
30 。 6

? 在Rt? PON 中, PN ? OP 2 ? ON 2 ?
2 PO 15 ? cos ?OPN ? ? 2 ? PN 5 30 6

解法二:

44

第 45 页 共 50 页

取 O 为坐标原点,分别以 OA , OC 所在的直线为 x 轴, z 轴,建立空间直角坐标系

O ? xyz (如图所示)
则 A(1, 0, 0), C (0, 0,1), B( ? ,

1 3 , 0) 2 2

1 1 ? P 为 AC 中点,? P( , 0, ) 2 2
设 AQ ? ? AB(? ? (0,1)), ? AB ? ( ?

????

??? ?

??? ?

3 3 , , 0) 。 2 2 3 3 , 0) ?1 ? ? ( ?, 2 2 , 0),

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? O Q ? O A? A Q( 1 , 0 , 0 ? ? ) ?

3 3 ? ( , 2 2

??? ???? ??? ? ? 1 3 3 1 ? P Q? O Q O? ( ? ? , ? ? ) . ? P , 2 2 2 2 ??? ??? ? ? 1 3 1 ? ? P Q? O ,A PQ, OA ? 0 即 ? ? ? 0 , ? ? 。 2 2 3
所以存在点 Q( ,

1 3 AB , 0) 使得 PQ ? OA 且 ? 3。 2 6 AQ

( Ⅱ ) 记 平 面 ABC 的 法 向 量 为 n ? ( n , n , n ) 则 由 n ? C A, n ? AB , 且 1 2 3 ,

? ???

??? ?

??? ? CA ? ( 1, 0 , 1 ) ? ,

?n1 ? n3 ? 0 ? (1, 3,1) 得? 3 , 故可取 n ? 3 n3 ? 0 ?? n2 ? ? 2 2

45

第 46 页 共 50 页

又平面 OAC 的法向量为 e ? (0,1, 0) 。

? cos ? n, e ?

(1, 3,1) ? (0,1, 0) 3 ? . 5 ?1 5

两面角 O ? AC ? B 的平面角是锐角,记为 ? ,则 cos ? ?

15 5

19. 本小题主要考察直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质等基础知识,同事考察推理 运算的能力。 (满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 P( x, y ) 是曲线 C 上任意一点,那么点 P( x, y ) 满足:

( x ? 1) 2 ? y 2 ? x ? 1( x ? 0) 。
化简得 y ? 4 x( x ? 0)
2

(Ⅱ)设过点 M (m,0)(m ? 0) 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 。 设

l 的 方 程 为 x ? ty ? m , 由 ?

y ?x ? t ?
2 ? y ? 4x

得 y ? 4ty ? 4m ? 0 ,
2

m

? ? 16(t 2 ? m) ? 0 .
于是 ?

? y1 ? y2 ? 4t ? y1 y2 ? ?4m
??? ?



又 FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 )

??? ?

??? ??? ? ? FA ? FB ? 0 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2 ? 0
又x ?



y2 ,于是不等式②等价于 4
2 y12 y2 y2 y2 ? ? y1 y2 ? ( 1 ? 2 ) ? 1 ? 0 4 4 4 4

?

( y1 y2 )2 1 ? y1 y2 ? ?( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ? ? 1 ? 0 ? 16 4?



由①式,不等式 ③ 等价于
46

第 47 页 共 50 页

m2 ? 6m ? 1 ? 4t 2
对任意实数 t , 4t 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于
2

m2 ? 6m ? 1 ? 0 ,即 3 ? 2 2 ? m ? 3 ? 2 2 。
由此可知,存在正数 m ,对于过点 M (m, 0) ,且与曲线 C 有两个交点 A, B 的任一直线, 都有 FA ? FB ? 0 ,且 m 的取值范围是 (3 ? 2 2,3 ? 2 2)

??? ??? ? ?

20. 本小题主要考察等差数列、 等比数列等基础知识以及反证法, 同时考查推理论证能力。 (满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知, 1 ? an ?1 ?
2



2 cn ? 1 ? an ,则

2 2 (1 ? an ) 3 2 cn? 2 ? cn 3

又 c1 ? 1 ? a2 ?
2

3 2 3 ,则数列 ?cn ? 是首项为 c1 ? ,公比为 的等比数列,即 4 3 4
n ?1 2 n

3?2? cn ? ? ? 4?3?
又 a1 ?

n ?1

3 2 n ?1 3?2? 2 ,故 1 ? a ? ( ) ? an ? 1 ? ? ? 4 3 4?3?



1 ? 0 , a n an?1 ? 0 2
n ?1

故 an ? (?1)

3 2 1 ? ( ) n ?1 4 3

(Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)知:当 a ?

1 时,有 f ( x) ? ln x( x ? 1) 。 2 1 1 1 令 a ? ,有 f ( x) ? ( x ? ) ? ln x( x ? 1) 2 2 x 1 1 当 x ? 1时, ( x ? ) ? ln x 。 2 x
令x?

k ? 1 1 ? k ?1 k ? 1 k ?1 ? ? ? ? ,有 ln k 2? k k ?1 ? 2 k ?

1 ? ? 1 ) ?(1 ? k ) ?(1 ?k ?1 ? ? ?

即 ln(k ? 1) ? ln k ?

1 1 1 ( ? ) , k ? 1, 2,3....n 2 k k ?1
47

第 48 页 共 50 页

将上述 n 个不等式一次相加得

ln(n ? 1) ?

1 1 1 1 1 ? ( ? ? ..... ? ) ? 2 2 3 n 2(n ? 1)

整理得

1 1 1 n 1 ? ? ? .... ? ? ln(n ? 1) ? 2 3 n 2(n ? 1)
解法二:用数学归纳法证明 (1) 当 n ? 1 时,左边 ? 1 ,右边 ? ln 2 ?

1 ? 1 ,不等式成立 4

(2) 假设 n ? k 时, 不等式成立, 就是

1?

1 1 1 ? ? . .?. . .? 2 3 k

k ? l?n ( )

k 1) k? 2 ( 1)

那么 1 ?

1 1 1 1 k 1 ? ? ..... ? ? ? ln(k ? 1) ? ? 2 3 k k ?1 2(k ? 1) k ? 1 ? ln(k ? 1) ? k ?2 2(k ? 1)

1 时,有 f ( x) ? ln x( x ? 1) 2 1 1 1 令 a ? ,有 f ( x) ? ( x ? ) ? ln x( x ? 1) 2 2 x k ?2 1 k ? 2 k ?1 k ?2 令x? ,得: ( ? ) ? ln ? ln(k ? 2) ? ln(k ? 1) k ?1 2 k ?1 k ? 2 k ?1
由(Ⅱ)知:当 a ?

? ln(k ? 1) ?

k ?2 k ?1 ? ln(k ? 2) ? 2(k ? 1) 2(k ? 2)

1 1 1 1 k 1 ? ? ? ..... ? ? ? ln(k ? 2) ? 2 3 k k ?1 2(k ? 1)
就是说, 当 n ? k ? 1 时,不等式也成立。 根据(1)和(2) ,可知不等式对任何 n ? N 都成立。

bn ? a

2 n ?1

? 3 ? 2 ? n ? ? 3 ? 2 ? n ?1 ? ? a ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 4 ?3? ? ? 4 ?3? ? ? ? ? ?
2 n

1?2? ? ? 4?3?

n ?1

48

第 49 页 共 50 页

(Ⅱ)用反证法证明 假设数列 ?bn ? 存在三项 br , bs , bt (r ? s ? t ) 按某种顺序成等差数列,由于数 列 ?bn ? 是首项为

1 2 ,公比为 的等比数列,于是有 br ? bs ? bt ,则只有可 4 3

能有 2br ? bs ? bt 成立

1? 2? ?2 ? ? ? 4? 3?

s ?3

1? 2? ? ? ? 4? 3?

r ?2

1? 2? ? ? ? 4? 3?

t ?1

两边同乘 3t t2t-r,化简得 3t-r+22t-r=2*2t-r3t-s 由于 r ? s ? t ,所以上式左边为奇数,右边为偶数,故上上式不可能成立, 导致矛盾。故数列 ?bn ? 中任意三项不可能成等差数列。

21.本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识,同事考察综合运用数学知识 进行推理论证的能力和分类讨论的思想。 (满分 14 分) 解: (Ⅰ) f '( x) ? a ?

? f (l ) ? a ? b ? c ? 0 b ,则有 ? ,解得 x2 ? f '(l ) ? a ? b ? 1

?b ? a ? 1 ? ?c ? l ? 2a

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? ax ?

a ?1 ? 1 ? 2a , x a ?1 令 g ( x) ? f ( x) ? ln x ? ax ? ? 1 ? 2a ? ln x , x ? ?1, ?? ? x
则 g (l ) ? 0 , g '( x) ? a ?

a ? 1 1 ax ? x ? (a ? 1) ? ? ? x2 x x2
2

a( x ? 1)( x ? x2

1? a ) a

(i)当 o ? a ?

1 1? a , ?1 2 a 1? a 若 1? x ? ,则 g '( x) ? 0 , g ( x) 是减函数,所以 g ( x) ? g (l ) ? o a
f ( x) ? ln x ,故 f ( x) ? ln x 在 ?1, ?? ? 上恒不成立。

(ii) a ?

1 1? a 时, ?l 2 a
49

第 50 页 共 50 页

若 f ( x) ? ln x ,故当 x ? 1时, f ( x) ? ln x 综上所述,所求 a 的取值范围为 ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

50


更多相关文档:

2013年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版).doc

2013年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)_高考_高中教育_教育专区。2013年高考湖北理科数学试题及答案解析,公式全部mathtype编辑,格式工整。 ...

2013湖北高考(理)数)学试题及答案(完整版)_图文.doc

2013湖北高考(理)数)学试题及答案(完整版) - 2013 年湖北高考理科数学试题 数学:史上最难高考题 昨日下午数学科目考完, 考生的脸色 “多云转阴” ...

2013湖北高考(理科)数学试题及答案(完整版)_图文.doc

2013湖北高考(理科)数学试题及答案(完整版) - 第 1 页共 50 页 2

2013湖北高考数学试题(理)及答案(完整版).doc

2013湖北高考数学试题(理)及答案(完整版) - 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理科) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 ...

2013年湖北高考理科数学答案解析(完整版)_图文.doc

2013年湖北高考理科数学答案解析(完整版) - 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工类)试题参考答案 一、选择题 1、在复平面内,复数 z ? A....

2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析_图文.doc

2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析 - 2013 年湖北省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四...

2013年湖北高考理科数学试题及答案.doc

2013年湖北高考理科数学试题及答案 - 绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数 注意事项: 学(理工类) 本试题卷共 6 页,22 题,其中第 ...

2013年湖北省高考理科数学试卷及答案(word版).doc

2013年湖北省高考理科数学试卷及答案(word版) - 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工类) 2i ( i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 1?...

2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析.doc

2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析 - 2013 年湖北省高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分...

2013年湖北省高考数学(理科)真题答案.doc

2013年湖北省高考数学(理科)真题答案_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2013年湖北省高考数学(理科)真题答案_高考_高中教育_教育专区。 ...

2013年湖北高考理科数学试题及答案.doc

2013年湖北高考理科数学试题及答案 - 绝密★启用前 8.一个几何体的三视图如

2013年湖北高考数学(理科)试题及答案(word版).doc

2013年湖北高考数学(理科)试题及答案(word版) - 阳光高考门户 www.yggk.net 考后首发 2013 年高考试卷 绝密 ★ 启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一...

2013年湖北高考数学试题和答案 理科 Word解析版.doc

2013年湖北高考数学试题答案 理科 Word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013年湖北高考数学试题答案理科Word解析版 2013 年湖北省理科数学高考试题 WORD 解析版...

2013湖北数学高考试题及答案完整版.doc

2013湖北数学高考试题及答案完整版 - 绝密 ★ 启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数称,则 m 的最小值是 A. 学(理科) 4.将函数 y ? ...

2013年湖北高考数学试题和答案_理科.doc

2013年湖北高考数学试题答案_理科 - 2013 年湖北省(理科)数学高考试题 详细解答 一、选择题 1、在复平面内,复数 z ? A. 第一象限 【解析与答案】 z ? ...

2013年高考湖北数学理科试题及答案(全word版).doc

2013年高考湖北数学理科试题及答案(全word版) - 2013 年湖北省理科数学高考试题 一.选择题 1.在复平面内,复数 z ? A. 第一象限 2i ( i 为虚数单位)的...

2013年湖北高考理科数学试卷答案解析.doc

2013年湖北高考理科数学试卷答案解析 - www.xkb1.com 新课标第一网不用注册,免费下载! 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工类) 2i ( i ...

2013湖北高考理科数学(含答案).doc

2013湖北高考理科数学(答案)_高考_高中教育_教育专区。2013年高考湖北理科数学试卷,含答案,word版 绝密★启用前 2013 年普通等学校招生全国统一考试(湖北卷) ...

2013年重庆高考理科数学试题卷(含答案).doc

2013年重庆高考理科数学试题卷(含答案) - 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷(理工农医类) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 ...

2013年成人高考数学试题与答案(理科)_图文.doc

2013年成人高考数学试题答案(理科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 2013年成人高考数学试题答案(理科)_高三数学_...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com