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3.2不等式一元二次不等式及其解法


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学校:临清二中

学科:数学

编写人:穆守伏

一审:郝富强

二审:马英济

课题:

§3.2

一元二次不等式及其解法(1)
授课类型:新授课

【教学目标】 1.知识与技能: 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法 解一元二次不等式的方法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括 能力和逻辑思维能力; 2.过程与方法: 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象 探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法; 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体 会事物之间普遍联系的辩证思想. 【教学重、难点】

重点:从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法.
难点:理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.

【教学过程】 1.课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型: 课本 P76 互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题,最后得到一元二次不等式模型: x ? 5x ? 0 .
2

2.讲授新课 (1)一元二次不等式的定义 象 x2 ? 5x ? 0 这样, 只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是 2 的不等式, 称为一元二次不等式. (2)探究一元二次不等式的解集 怎样求不等式 x2 ? 5x ? 0 的解集呢? 探究: ①二次方程的根与二次函数的零点的关系

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容易知道:二次方程的有两个实数根: x1 ? 0, x2 ? 5 二次函数有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 5 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点. ②观察图象,获得解集 画出二次函数 y ? x2 ? 5x 的图象,如图,观察函数图象,可知: 当 x ? 0 ,或 x ? 5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时, y ? 0 ,即 x2 ? 5x ? 0 ; 当 0 ? x ? 5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时, y ? 0 ,即 x2 ? 5x ? 0 ; 所以, 不等式 x2 ? 5x ? 0 的解集是 ?x | 0 ? x ? 5? , 从而解决了本节开始时提出的 问题. (3)探究一般的一元二次不等式的解法 任意的一元二次不等式,总可以化为以下两种形式: ax 2 ? bx ? c ? 0 ,或 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) . 一般地, 怎样确定一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 与 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集呢? 组织学生讨论: 从上面的例子出发, 综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解 集,关键要考虑以下两点: ①抛物线与 x 轴的相关位置的情况,也就是一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根 的情况; ②抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的开口方向,也就是 a 的符号. 总结讨论结果: ①抛物线 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的判别式 ? ? b2 ? 4ac 三种取值情况( ? ? 0 , ? ? 0 , ? ? 0 )来确定.因此,要分二种情况讨论. ② a ? 0 可以转化为 a ? 0 分 ? ? 0 , ? ? 0 , ? ? 0 三种情况,得到一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 与 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集.

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2

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设相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b2 ? 4ac , 则不等式的解的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第 77 页的表格) ??0 ??0 ??0

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图象

一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集

有两相异实根 x1 , x2 ( x1 ? x2 )

有两相等实根 b x1 ? x2 ? ? 2a
2

无实根

?x x ? x 或x ? x ?
1

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

?x x

1

? x ? x 2?

?

?

3.范例讲解
(课本第 78 页)求不等式 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解集. 1 解:因为 ? ? 0 ,方程 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解是 x1 ? x2 ? . 2 例1

所以,原不等式的解集是 ? x x ? ? .
?

?

1? 2?

评述:本题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法,一定要保证步骤正确, 计算准确. 变式训练:课本第 80 页第 1 题(1),(4),(6).
例 2 (课本第 78 页)解不等式 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . 解:整理,得 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . 因为 ? ? 0 ,方程 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 无实数解, 所以不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是 ? .

从而,原不等式的解集是 ? . 评述:将 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 转化为 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的过程注意符号的变化,这是解 题关键之处,讲课要放慢速度. 变式训练:课本第 80 页第 1 题(2),(3),(5) (7).

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4.课时小结
解一元二次不等式的步骤: 2 a x b x ?c ? ? 0 (或 ? 0 ) (a ? 0) . ①将二次项系数化为“ ? ” : A? ②计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况: ? ?若A ? 0,则x ? x1或 ? x2 ; ⅰ. ? ? 0 时,求根 x1 ? x2 , ? ? ?若A ? 0,则x1 ? x ? x2 .
?若A ? 0,则x ? x0的一切实数; ? ⅱ. ? ? 0 时,求根, ?若A ? 0,则x ??; ?若A ? 0,则x ? x . 0 ?
?若A ? 0,则x ? R; ⅲ. ? ? 0 时,方程无解, ? ?若A ? 0,则x ??. ③写出解集.

【作业布置】 课本第 80 页习题 3.2[A]组第 1 题 【板书设计】
一元二次不等式的定义 探究一元二次不等式 x 2 ? 5 x ? 0 的解集 一元二次不等式的解的各种 情况列表 范例讲解 例1 练习

例2 练习

【教学后记】

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学校:临清二中

学科:数学

编写人:穆守伏

一审:郝富强

二审:马英济

课题:

§3.2

一元二次不等式及其解法(1)

课前预习学案
【知识准备】 1.我们把

,并且

不等式,称为一元二次不等式.

2.不等式 ax ? 3 ? 0 的解集是




3.若将不等式 ? x 2 ? bx ? c ? 0 的二次项系数化为正数,则不等式化为 【预习内容】 课本第 76-78 页. 1.尝试写出课本 P76 三个实例对应的不等式. 2.探究方程的根与二次函数的零点的关系.

3.探究不等式 x 2 ? 5x ? 0 的解集.

【提出疑惑】 1.不等式 x 2 ? 5x ? 0 与 x 2 ? 5 x ? 0 的解集之间有什么关系?规律是什么?

2. 如何将不等式与二次函数的零点的关系?以不等式 x 2 ? 5x ? 0 与二次函数 y ? x 2 ? 5x 的零点为例进行探究.

3.如何将不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 进行转化?

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课内探究学案

【学习目标】 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一元二次不 等式的方法; 2.熟练准确地解节简单的一元二次不等式. 【提出问题】 1.如何解一般的一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 与 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? 2.如何解一般的一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? 【合作探究】 1.探究不等式 x 2 ? 5x ? 0 与二次函数 y ? x 2 ? 5x 的零点之间的关系.

2.总结其中的规律,并尝试完成课本第 77 页的表格 ??0 ??0

??0

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图象

一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集

无实根
? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

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?

2.尝试用框图将求解一般一元二次方程的过程表示出来.

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3.试运用上面的规律解答例题,修正已有的观念,并做对应练习进行巩固. 例 1 (课本第 78 页)求不等式 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解集.

变式训练:课本第 80 页第 1 题(1),(4),(6).

例 2 (课本第 78 页)解不等式 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 .

变式训练:课本第 80 页第 1 题(2),(3),(5) (7).

【反思总结】 解一元二次不等式的步骤: 2 a x b x ?c ? ? 0 (或 ? 0 ) (a ? 0) . ①将二次项系数化为“ ? ” : A? ②计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况: ? ?若A ? 0,则x ? x1或 ? x2 ; ⅰ. ? ? 0 时,求根 x1 ? x2 , ? ? ?若A ? 0,则x1 ? x ? x2 .
?若A ? 0,则x ? x0的一切实数; ? ⅱ. ? ? 0 时,求根 x1 ? x2 ? x0 , ?若A ? 0,则x ??; ?若A ? 0,则x ? x . 0 ?
?若A ? 0,则x ? R; ⅲ. ? ? 0 时,方程无解, ? ?若A ? 0,则x ??. ③写出解集.

【完成作业】 课本第 80 页习题 3.2[A]组第 1 题
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课后练习与提高
1.与不等式 ( x ? 3)( x ? 5) ? 0 的解集相同的是(
?x ? 3 ? 0 A. ? ?x ? 5 ? 0 ?x ? 3 ? 0 B. ? ?x ? 5 ? 0



?x ? 3 ? 0 D. ? ?x ? 5 ? 0 ax ? b 2.关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 ?x x ? 2? ,则关于 x 的不等式 2 ? 0 的解 x ? 2x ? 3 集为( ) A. {x | ?2 ? x ? ?1或x ? 3} B. {x | ?3 ? x ? ?2或x ? 1}

?x ? 5 ? 0 C. ? ?x ? 3 ? 0

C. {x | ?1 ? x ? 2或x ? 3}

3.集合 A ? x x ? 5x ? 4 ? 0 , B ? x x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,则 A ? B ? (
2

?

?

?

D. {x |? ?1或x ? 3}

?



A. {x |1 ? x ? 2或3 ? x ? 4} C. {1, 2, 3, 4}

B. {x |1 ? x ? 2且3 ? x ? 4}

4.已知集合 U ? x x ? 3x ? 2 ? 0 , A ? ?x x ? 3或x ? 1? ,则 CU A ?
2

?

?

D. {x | ?4 ? x ? ?1或2 ? x ? 3} .

5.不等式 2 ? x2 ? 2 x ? 8 的正整数解集为 6.解下列不等式 ① ( x ? 1)(3 ? x) ? 5 ? 2 x ; ② 2 x( x ? 11) ? 3( x ? 1)2 ); ③ (2x ? 1)( x ? 3)>3( x2 ? 2)



答案: 1.A

4. {x | 2 ? x ? 3或x ? 1} 3 6.① {x | x ? 2或x ? 4} ;② {x |1 ? x ? } ;③ ? 2 2.C 3.A

5. {3}

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学校:临清二中

学科:数学

编写人:穆守伏

一审:郝富强

二审:马英济

课题:

§3.2

一元二次不等式及其解法(2)
授课类型:新授课

【教学目标】 1.知识与技能:巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系, 进一步熟练解一元二次不等式的解法; 2.过程与方法:培养数形结合的能力,一题多解的能力,培养抽象概括能 力和逻辑思维能力; 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精 神,同时体会从不同侧面观察同一事物思想.
【教学重、难点】

重点:熟练掌握一元二次不等式的解法 难点:理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 【教学过程】 1.课题导入 (1)一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 (2)一元二次不等式的解法步骤——课本第 77 页的表格 2.范例讲解 例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h
1 1 2 x? x . 20 180

有如下的关系: s ?

在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆汽车刹车 前的速度是多少?(精确到 0.01km/h) 解:设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h,根据题意,我们得到
1 1 2 x? x ? 39.5 20 180

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移项整理得: x ? 9 x ? 7110 ? 0
2

显然 △ ? 0 , 方程 x2 ? 9 x ? 7110 ? 0 有两个实数 根,即 x1 ? ?88.94, x2 ? 79.94 . 所以不等式的解集为

?x | x ? ?88.94, 或x ? 79.94? .
在这个实际问题中, x ? 0 ,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h. 评述:注意体会三个“二次”之间的关系. 变式训练:课本第 80 页练习 2 例 4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产 的摩托车数量 x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的关系:
y ? ?2x2 ? 220x

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上,那么它在 一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 解:设在一个星期内大约应该生产 x 辆摩托车,根据题意,我们得到
?2 x 2 ? 220 x ? 6000

移项整理,得
x2 ? 110 x ? 3000 ? 0

因为 △ ? 100 ? 0 ,所以方程 x2 ? 110 x ? 3000 ? 0 有两 个实数根 x1 ? 50, x2 ? 60 . 由二次函数的图象, 得不等式的解为:50 ? x ? 60 . 因为 x 只能取正整数,所以,当这条摩托车整车 装配流水线在一周内生产的摩托车数量在 51-59 辆之 间时,这家工厂能够获得 6000 元以上的收益. 评述:教师板书图象的绘制过程,以起到示范作用. 变式训练:课本第 80 页习题 3.2 A 组第 5 题.
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3.补充例题
例 5 围. 设 A ? {x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | x2 ? 2x ? a ? 8 ? 0} ,且 A ? B ,求 a 的取值范

解:令 f ( x) ? x2 ? 2x ? a ? 8 由 A ? B ,及二次函数图象的性质可得
? f (1) ? 0 ?1 ? 2 ? a ? 8 ? 0 ,即 ? ,解之得 ?9 ? a ? 5 . ? ? f (3) ? 0 ?9 ? 6 ? a ? 8 ? 0

因此 a 的取值范围是 ?9 ? a ? 5 . 评述:留足思考时间,弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系. 变式训练:课本第 80 页习题 3.2 A 组第 3 题. 4.课时小结 进一步熟练掌握一元二次不等式的解法; 一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系. 【板书设计】
一元二次不等式的解 法步 骤 范例讲解 例3 练习 一元二次方程、一元二次不 等式与二次函数的关系 例4 练习 补充例题 例5 练习

【作业布置】新 课 标



一 网

课本第 80 页习题 3.2[A]组第 4,6 题 【教学后记】

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学科:数学

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课题:

§3.2

一元二次不等式及其解法(2)

课前预习学案
w w w .x k b 1.c o m 【知识准备】 1.回顾一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.

2.重新复述一元二次不等式的解法步骤——课本第 77 页的表格.
3.如何将不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 进行转化?

【预习内容】 课本第 78-79 页. 1.尝试解答课本 P78-79 两个例题.

2.进一步巩固一元二次不等式的解法步骤. 3.探究下面题目的解法 例 5 设 A ? {x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | x2 ? 2x ? a ? 8 ? 0} ,且 A ? B ,求 a 的取值 范围.不等式 x 2 ? 5x ? 0 的解集.

【提出疑惑】 1.为什么遇到有关应用的题目就“头疼” ,如何审题?

2.解答应用题需要注意些什么?

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课内探究学案

【学习目标】 1.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,进一步熟练解一元二次不 等式的解法; 2.激发自己学习数学的热情,培养不怕困难、勇于探索的精神. 【提出问题】 1.有关应用的题目如何审题?怎样才能顺利入手解题?需要注意点有哪些问题?

2 .一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 与 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集具有什么关 系?

【合作探究】

1. 例3

某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h
1 1 2 x? x . 20 180

有如下的关系: s ?

在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆汽车刹车 前的速度是多少?(精确到 0.01km/h)www.xkb1.com
探究不等式 x 2 ? 5x ? 0 与二次函数 y ? x 2 ? 5x 的零点之间的关系.

变式训练:课本第 80 页练习 2

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2.例 4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线 生产的摩托车数量 x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的关系:
y ? ?2x2 ? 220x

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上,那么它在 一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?

变式训练:课本第 80 页习题 3.2 A 组第 5 题.

3.补充例 5 设 A ? {x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | x2 ? 2x ? a ? 8 ? 0} ,且 A ? B ,求 a 的 取值范围.

变式训练:课本第 80 页习题 3.2 A 组第 3 题.
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【反思总结】

1.熟练掌握一元二次不等式的解法;

2.一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系.

【完成作业】 课本第 80 页习题 3.2[A]组第 4,6 题

课后练习与提高
1.若不等式 ax 2 ? x ? a ? 0 ( a ? 0 )无解,则实数 a 的取值范围是( ) 1 1 1 1 1 1 A. a ? ? 或a ? B. a ? C. ? ? a ? D. a ? 2 2 2 2 2 2 2.关于 x 的不等式 mx2 ? mx ? m ? 1 的解集为 R ,则实数 m 的取值范围是( 4 A. (??, 0) B. (??, 0) ? ( , ? ?) 3 4 C. (??, 0] D. (??, 0] ? ( , ? ?) 3



3.(1998 年上海高考题)设全集 U ? R , A ? {x | x2 ? 5x ? 6 ? 0} , B ? {x| | x ? 5 | <a} ( a 是常数),且 11∈B,则( A. (CU A) ? B ? R C. (CU A) ? (CU B) ? R
2

) B. A ? (CU B) ? R D. A ? B ? R .

4.若 f ( x) ? ax2 ? ax ? 4 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是

1 ? x ? 2} ,则 a ? ________, b ? ________. 5.若 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 {x | -

6.已知 f ( x) ? 4 x2 ? 4ax ? a2 ? 2a ? 2 在区间 [0, 2] 上的最小值是 3,求 a 的值.

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