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江苏省如皋高级中学2011届高三数学(理科)月考试卷


高三数学 理科) 江苏省如皋高级中学 2011 届高三数学 理科) ( 月考试卷 2010.11
一.填空题(每题 5 分,共 70 分) 填空题( 1.若复数 z1 = 1 ? i , z2 = 2 + 4i ,其中 i 是虚数单位,则复数 z1 z2 的虚部是
2.已知集合 A = (?∞, 0] , B = {1,3, a} ,若 A I B ≠ ? ,则实数 a 的取值范围是 3.若函数 f ( x) =

▲ ▲ 开始

. .

2 + m 为奇函数,则实数 m = 2 +1
x

▲ ▲
.

.

4.函数 y = x ? 2sin x 在(0, 2π )内的单调增区间为
2

S ← 0, n ← 1

5.二次函数 f ( x ) = ax + 2 x + c ( x ∈ R ) 的值域为[0,+ ∞ ),

n ≤12
Y

N 输出 S 结束



a +1 c +1 + 的最小值为 c a

▲ ▲

. .

S ←S+n n←n+2

6.如图是一个算法的流程图,则最后输出的 S =

7.已知直线 l1 : ax + 3 y + 1 = 0 , l2 : 2 x + (a + 1) y + 1 = 0 ,

(第 6 题图) 若 l1 ∥ l2 ,则实数 a 的值是 ▲ .
8.若 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c ,

向量 m = (a + c, b ? a ) , n = ( a ? c, b) ,若 m ⊥ n ,则∠ C 等于 ▲
π 3 π ▲ . 9. 已知 cos(θ ? ) = , θ ∈ ( , π) ,则 cos θ = 4 5 2 10.已知函数 y = f ( x) 及其导函数 y = f ′( x) 的图象如图所示, 则曲线 y = f ( x) 在点 P 处的切线方程是 ▲ .
uuur uuur uuuu r 11. 在△ABC 中,点 M 满足 MA + MB + MC = 0 , uuu uuur r uuuu r 若 AB + AC + m AM = 0 ,则实数 m 的值为
2

y
.

y = f ( x) y = f ′( x)

1 O
P (2, 0)

x

(第 10 题图) ▲ .
2 2

12. 已知方程 f ( x ) = x + ax + 2b 的两个根分别在(0,1)(1,2)内,则 a + (b ? 4) 的 ,

取值范围为





13. 若关于 x 的不等式 (2 x ? 1) 2 ≤ ax 2 的解集中的整数恰有 2 个,则实数 a 的取值范围是





14. 已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 = 1 , a2 = 2 , b1 = 2 ,且对任意的正整数 i , j , k , l ,

当 i + j = k + l 时,都有 ai + b j = ak + bl ,则

1 2010 ∑ (ai + bi ) 的值是 2010 i =1





小题, 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 解答题:
x2 y 2 15. 本小题满分 14 分) ( 已知椭圆 C : 2 + 2 = 1 a > b > 0 ) 其左、 ( , 右焦点分别为 F1 (?c, 0) 、 a b

F2 (c, 0) ,

且 a,b,c 成等比数列. (1)求椭圆的离心率 e 的值; (2)若椭圆 C 的上顶点、右顶点分别为 A、B,求证: ∠F1 AB = 90° .

16.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ⊥ 平面ABCD , AD = CD ,DB

平分 ∠ADC ,
E 为 PC 的中点. (Ⅰ)证明: PA // 平面BDE ;

P (Ⅱ)证明: AC ⊥ 平面PBD . E A D C B

17.(本小题满分 14 分)如图,在直角坐标系 xOy 中,锐角△ABC 内接于圆 x + y = 1. 已
2 2

知 BC 平行于 x 轴,AB 所在直线方程为 y = kx + m( k > 0) ,记角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c。 (1)若 3k =

2ac A+C , 求 cos 2 + sin 2 B 的值; 2 2 2 a +c ?b
2

(2)若 k = 2, 记∠xOA = α (0 < α <

π

2

), ∠xOB = β (π < β <

3π ), 求 sin(α + β ) 的值。 2

18.(本小题满分 16 分)已知数列 {an } 的前五项依次是 0, ? , ? 正数数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n =

1 3

1 3 2 ,? ,? . 2 5 3

1 n (bn + ) . 2 bn

(1)写出符合条件的数列 {an } 的一个通项公式; (2)求 Sn 的表达式; (3)在(1)(2)的条件下, c1 = 2 ,当 n≥2 时,设 cn = ? 、 项和, 且 Tn > log m (1 ? 2m) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

1 , Tn 是数列 {cn } 的前 n an S n 2

19.(本小题满分 16 分)已知圆 C 过点 P (1,1) ,且与圆 M : ( x + 2) 2 + ( y + 2) 2 = r 2 ( r > 0) 关于直线 x + y + 2 = 0 对称. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求 PQ ? MQ 的最小值; (Ⅲ)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A, B ,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补,

uuu uuuu r r

O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

20.(本小题满分 16 分)设函数 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d 是奇函数,且当 x = ? 3 时,f (x)取 3

得极小值 ? 2 3 . 9 (1)求函数 f (x)的解析式; (2)若函数 g ( x) = mf ( x) + f ′( x) 在 x ∈ [0,2] 上的最大值为 1,求实数 m 的取值范围;
(3)设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) 为 f (x)图像上的两点,且 ?2 < x1 < ?1 < x2 < 0 ,点 C (1,0) ,
试问 ∠ACB = 90°是否成立?证明你的结论.

附加题 附加题
21. 曲 线 x + 4 xy + 2 y = 1 在 二 阶 矩 阵 M = ?
2 2

?1 a ? ? 的作用下变换为曲线 ?b 1 ?

x 2 ? 2 y 2 = 1 ,求实数 a, b 的值;

22.已知点 P ( x, y ) 是圆 x + y = 2 y 上的动点.
2 2

(1)求 2x + y 的取值范围; (2)若 x + y + a ≥ 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

23.用数学归纳法证明不等式:

1 1 1 1 + + + L + 2 > 1( n ∈ N?且n > 1) . n n +1 n + 2 n

24.一位游客欲参观上海世博会中甲、乙、丙这 3 个展览馆,又该游客参观甲、乙、丙这 3 个展览馆的概率分别是 0.4,0.5,0.6,且是否参观哪个展览馆互不影响. 设 ξ 表示该游客离 开上海世博会时参观的展览馆数与没有参观的展览馆数之差的绝对值. (Ⅰ)求 ξ 的概率分布及数学期望; (Ⅱ) 记“函数 f ( x) = x 2 ? 3ξ x + 1 在区间 [ 2, +∞ ) 上单调递增”为事件 A ,求事件 A 的概 率.

高三数学(理科)月考试卷参考答案 高三数学(理科)月考试卷参考答案 数学
一、填空题: 填空题: 1. 2, 2. a ≤ 0 ,
3. ?1 , 4. ? , ? ?3 3 ?

? π 5π ?

5.

4

6. 36

7. ?3 ,

8.

π
3

,

9. ?

2 , 10

10. x ? y ? 2 = 0 ,

11. ?3

12.

? 81 ? ? ,20 ? ?5 ?

13. [ 9 , 25 ) ,
4 9

14. 2012.

二、解答题: 解答题:
15.解: 1)由题设 b 2 = ac 及 b 2 = a 2 ? c 2 ,……( 2′ ) (



c 5 ?1 = .……( 6′ ) a 2

(2)由题设 A(0, b) , B (a,0) ,又 F1 (?c,0) ,……( 8′ )

uuur uuu r 得 AF1 = (?c, ?b) , AB = (a, ?b) ,……( 10′ )

uuur uuu r 于是 AF1 ? AB = ? ac + b 2 = 0 ,……( 13′ )
故 ∠F1 AB = 90° .……( 15′ ) 16. 证明:略 17.解: (1) 变式得: 3 原式 = sin

sin B 2ac 1 , 解得 sin B = , = 2 2 2 cos B a + c ? b 3

………………4 分

2

B 1 ? cos B 9+2 2 + sin 2 B = + 2 sin B cos B = ; …………3 分 2 2 18

(2)解 1Q∠AOB=β—α,作 OD⊥AB 于 D,

∴ ∠xOD = α +

β ?α
2

= 2

α+β
2

,∴ tan

α+β
2

= k OD = ?

sin(α + β ) =

4 = ? .LLL 3分 α+β 5 1 + tan 2 2

2 tan

α+β

1 1 = ? , LL 4分 2 k

?x 2 + y 2 = 1 2 解2 ? ,5 x + 4mx + m 2 ? 1 = 0 ? y = 2x + m 4m m2 ?1 设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), x1 + x 2 = ? , x1 x 2 = . 5 5 sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β = y1 x 2 + x1 y 2 = (2 x1 + m) x 2 + x1 (2 x 2 + m) 4 = 4 x1 x 2 + m( x1 + x 2 ) = ? LLLL 5分 5 1? n 18.解: (1) an = (n ∈ N? ) . 1+ n 1 n 1 1 (2) 因为 S n = (bn + ) , n > 0 , b 所以 b1 = (b1 + ) , 解得 b1 = 1 , S1 = 1 .当 n≥2 即 2 bn 2 b1 n n 时 , bn = S n ? S n ?1 , 所 以 2 S n = S n ? S n ?1 + . S n + S n ?1 = ,即 S n ? S n ?1 S n ? S n ?1
S n 2 ? S n ?12 = n .
所以, S n ?1 ? S n ? 2 = n ? 1 , S n ? 2 ? S n ?3 = n ? 2 ,…, S 2 ? S1 = 2 ,
2 2 2 2 2 2

累加,得 S n ? S1 = 2 + 3 + 4 + L + n .
2 2

n(n + 1) n(n + 1) ,即 S n = . 2 2 1 2 1 1 (3)在(2)(1)的条件下, c1 = 2 .当 n≥2 时, cn = ? 、 = = 2( ? ). 2 an S n n(n ? 1) n ?1 n 当 n = 1 时, T1 = c1 = 2 ; 1 1 1 1 1 1 1 当 n≥2 时, Tn = c1 + c2 + c3 + L + cn = 2[1 + ( ? ) + ( ? ) + L ( ? )] = 2(2 ? ) . 1 2 2 3 n ?1 n n 因为 Tn > log m (1 ? 2m) 恒成立,即 log m (1 ? 2m) 恒小于 Tn 的最小值.
所以, S n = 1 + 2 + 3 + L + n =
2

显然, Tn 的最小值在 n = 1 时取得,且最小值为 2.

?0 < m < 1 ?m > 1 ? ? 故有 log m (1 ? 2m) < 2 . 所以 ?1 ? 2m > 0 ① 或 ?1 ? 2m > 0 ② ? ? 2 2 ?1 ? 2m > m ?1 ? 2m < m 解①得, 0 < m < 2 ? 1 ,不等式组②无解.故,实数 m的取值范围是 (0, 2 ? 1) .

?a ? 2 b ? 2 ? 2 + 2 +2=0 ? ? ?a = 0 b+2 ? =1 ? b = 0 …………… (3 分) ? a+2 19.设圆心 C (a, b) ,则 ? ,解得 ?
2 2 2 2 则圆 C 的方程为 x + y = r ,将点 P 的坐标代入得 r = 2 , 2 2 故圆 C 的方程为 x + y = 2 ……………………

(5 分)

uuu uuuu r r Q ( x, y ) ,则 x 2 + y 2 = 2 ,且 PQ ? MQ = ( x ? 1, y ? 1) ? ( x + 2, y + 2) … (7 分) (Ⅱ)设 uuu uuuu r r x 2 + y 2 + x + y ? 4 = x + y ? 2 ,所以 PQ ? MQ 的最小值为 ?4 (可由线性规划或三角代换求 =
得)…(10 分) (Ⅲ)由题意知, 直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA : y ? 1 = k ( x ? 1) ,

? y ? 1 = k ( x ? 1) ? 2 2 PB : y ? 1 = ? k ( x ? 1) ,由 ? x + y = 2 ,得 (1 + k 2 ) x 2 + 2k (1 ? k ) x + (1 ? k ) 2 ? 2 = 0
因为点 P 的横坐标 x = 1 一定是该方程的解,故可得

xA =

k 2 ? 2k ? 1 1+ k 2

k 2 + 2k ? 1 xB = 1+ k 2 , 同理,

k AB =
所以

yB ? y A ? k ( xB ? 1) ? k ( x A ? 1) 2k ? k ( xB + x A ) = = =1 k xB ? x A xB ? x A xB ? x A = OP

所以,直线 AB 和 OP 一定平行 20.解: (1) f ( x ) 为奇函数 ? f ( ? x ) = ? f ( x) 即 ? ax + bx ? cx + d = ? ax ? bx ? cx ? d 对于 x ∈ R 恒成立,
3 2 3 2

∴b = d = 0

? 3 ? f ′(? ) = 0 ? a = ?1 ? 3 又Q ? ?? ? f ( x) = ? x3 + x c =1 ? ? f ( 3) = ? 2 3 ? 3 9 ?
(2)由题意得 g ( x) = ? mx ? 3 x + mx + 1 ;Q g ( x) max = 1
3 2

∴ ?x ∈ [0, 2] g ( x) ≤ 1 恒成立,即 m( x ? x3 ) ≤ 3 x 2 恒成立 ( x ∈ [0, 2])
法一:当 x = 0或1 时, 0 ≤ 0 成立,所以 m ∈ R 当 x ∈ (0,1) 时, m ≤

3x 2 3 恒成立 ? m ≤ 恒成立, 3 1 x?x ?x x

x ∈ (0,1) ?

1 3 ? x ∈ (0, +∞) ? 的值域为 (0, +∞ ) ,∴ m ≤ 0 1 x ?x x 3x 2 3 恒成立 ? m ≥ 恒成立, 3 1 x?x ?x x 1 3 3 ? x ∈ [? , 0) ? 的值域为 [ ?2, +∞ ) ,∴ m ≥ ?2 1 x 2 ?x x

当 x ∈ (1, 2] 时, m ≥

x ∈ (1, 2] ?

综上所述即 m ∈ [ ?2, 0] 法二:当 x = 0 时, 0 ≤ 0 成立,所以 m ∈ R 当 x ∈ (0, 2] 时 m( x ? x 3 ) ≤ 3 x 2 恒成立 ? m( ? x ) ≤ 3 恒成立,

∴ m ∈? ;

m = 0 时, 0 ≤ 3 合题意; 3 1 3 1 1 3 m > 0 时 , ≥ ( ? x) 恒 成 立 , ≥ ( ? x) max , Q ( ? x) ∈ [? , +∞) , m x m x x 2 m<0 时, 3 1 3 1 1 3 ≤ ( ? x) 恒 成 立 , ≤ ( ? x)min , Q ( ? x) ∈ [? , +∞) , m x m x x 2

1 x



3 3 ≤ ? ∴?2 ≤ m < 0 m 2
综上所述即 m ∈ [ ?2, 0] (3) ∠ACB = 90 不成立
0

假设 ∠ACB = 90 成立 ? CA ? CB = 0 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) + y1 y2 = 0
0

uuu uuu r r

又Q y1 = ? x1 + x1 , y2 = ? x2 + x2 ,∴ ( x1 ? 1)( x2 ? 1) + ( ? x1 + x1 )( ? x2 + x2 ) = 0
3 3 3 3 2 ∴ ( x1 ? 1)( x2 ? 1) + x1 x2 ( x12 ? 1)( x2 ? 1) = 0

? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) + x1 x2 ( x1 ? 1)( x1 + 1)( x2 ? 1)( x2 + 1) = 0

? ( x1 ? 1)( x2 ? 1)[1 + x1 x2 ( x1 + 1)( x2 + 1)] = 0 ? ? ? 1 + x1 x2 ( x1 + 1)( x2 + 1) = 0 Q ?2 < x1 < ?1 < x2 < 0 ?
? ( x1 + 1)( x2 + 1) = ?
1 1 ? x1 x2 + x1 + x2 + 1 = ? x1 x2 x1 x2 1 ) (*) x1 x2

? x1 + x2 + 1 = ?( x1 x2 +

?2 < x1 < ?1 < x2 < 0 ? x1 + x2 + 1 > ?2 ,且 ?( x1 x2 +
0

1 1 ) ≤ ?2 x1 x2 = ?2 x1 x2 x1 x2

( * )式的左右两边不可能相等,所以 ∠ACB ≠ 90 ……( 16′ )

附加题
21.设 P ( x, y ) 为曲线 x 2 ? 2 y 2 = 1 上任意一点,P ' ( x ' , y ' ) 为曲线 x 2 + 4 xy + 2 y 2 = 1 上与 P 对应的点,

? x = x ' + ay ' ?1 a ? ? x ' ? ? x ? 则? ? ? ' ? = ? ? ,即 ? ' ' ?b 1 ? ? y ? ? y ? ? y = bx + y
代入的 ( x ' + ay ' ) 2 ? 2(bx ' + y ' ) 2 = 1 得 (1 ? 2b2 ) x′2 + ( 2a ? 4b ) x′y ′ + ( a 2 ? 2 ) y ′2 = 1 ,
?1 ? 2b 2 = 1 ? 及方程 x 2 + 4 xy + 2 y 2 = 1 ,从而 ? 2a ? 4b = 4 ,解得 a = 2, b = 0 , ? 2 ?a ? 2 = 2 22.解: 1)由 x + y = 2 y 可得 x + ( y ? 1) = 1 (
2 2

2

2

设 x = cos θ , y = 1 + sin θ , θ ∈ R ,则 2x + y = 2 cos θ + 1 + sin θ
= 5 sin(θ + ? ) + 1 ∈ ?1 ? 5,1 + 5 ?

?

?
2

(2)由 x 2 + y 2 = 2 y 可得 x + ( y ? 1) = 1
2

设 x = cos θ , y = 1 + sin θ , θ ∈ R , x + y + a ≥ 0 恒成立

即 a ≥ ? ( x + y ) 恒成立,而 ? ( x + y ) = ? ( sin θ + cos θ + 1) ≤

2 ? 1 ,∴ a ≥ 2 ? 1 。

1 1 1 13 + + = >1 23.证明: (1)当 n = 2 时,左边= 2 3 4 12 ,∴ n = 2 时成立;
1 1 1 1 + + +L + 2 >1 n = k ( k ≥ 2) 时成立,即 k k + 1 k + 2 k (2)假设当 ,
= 1 1 1 1 +L + 2 + ( 2 +L + ) k +1 k k +1 (k + 1)2

那么当 n = k + 1 时,左边

=

1 1 1 1 1 1 + +L+ 2 + ( 2 +L + )? 2 k k +1 k k +1 (k + 1) k 1 1 k 2 ? k ?1 ? =1+ >1 k2 +1 k k (k 2 + 1) ,

> 1 + (2k + 1) ?

∴ n = k + 1 时也成立,
根据(1) (2)可得不等式对所有的 n > 1 都成立. 24.解:(I)分别记“客人参观甲展览馆”,“客人参观乙展览馆”,“客人参观丙展览馆”为事件 A1,A2,A3. 由已知 A1,A2,A3 相互独立,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6. 客人参观的展览馆数的可能取值为 0,1,2,3. 相应地, 客人没有参观的展览馆数的可能取值为 3,2,1,0,所以 ξ 的可能取值为 1,3. P ξ =3) (A1·A2·A3) P A1 ? A2 ? A3 ) P 1) (A2) (A3) ( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ) ( =P + ( = (A P P +P =2×0.4×0.5×0.6=0.24,P( ξ =1)=1-0.24=0.76, 所以 ξ 的概率分布表为

ξ
P

1 0.76

3 0.24

∴ E ξ =1×0.76+3×0.24=1.48 (Ⅱ) 因为 f ( x ) = ( x ? 上单调递增, 要使 f ( x)在[2,+∞) 上单调递增,当且仅当 ξ ≤ 2, 即ξ ≤ 从而 P ( A) = P (ξ ≤

3 3 2 9 ξ ) + 1 ? ξ 2 , 所以函数 f ( x) = x 2 ? 3ξ x + 1 在区间 [ ξ , +∞) 2 4 2 3 2 4 . 3

4 ) = P (ξ = 1) = 0.76 3


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