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北京市东城区2018届高三上学期期末考试数学(文)试题+扫描版含答案


东城区 2017-2018 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)A (2)D (6)D (3)A (7)B (4)C (8)A

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) - 2i (11) - 1 (13) [?4, ??) , (??, ?1) 或 [0,3) (14) ( , (10) y =? 2 x (12) 6 , 6 6

1 7 ) 2 2
2 2

(点 M 的坐标只需满足 x ? y ? 2 , x ? (?1,0) ? (0,1) 或 y ? ? x , x ? (??, ?1) ? (1, ??) ) 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,等比数列 {bn } 的公比为 q . 因为 a3 ? a5 ? 2a4 ? 22 ,所以 a4 ? 11 ? 2 ? 3d . 解得 d ? 3 . 又因为 b2b4 ? b1b5 ? b6 ? qb5 ,所以 q ? b1 ? 2 . 所以 an ? 3n ? 1 , bn ? 2n , n ? N* . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 3n ? 1 , bn ? 2n . 因此 cn ? an ? bn ? 3n ?1 ? 2n 数列 {an } 前 n 项和为 ?????6 分

n(2 ? 3n ? 1) 3n 2 ? n . ? 2 2 2(1 ? 2n ) n?1 =2 ? 2 . 1? 2 3n 2 ? n n ?1 ? 2 ? 2 , n ? N* . 2
???13 分

数列 {bn } 的前 n 项和为

所以,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 (16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,

f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2cos2 x ?1

? 3sin 2x ? cos 2x
? ? 2sin(2 x ? ) . 6
因为

p #x 12

p , 2

所以

p p 7p ? 2x + ? . 3 6 6 p p p = ,即 x = 时, f ( x) 取得最大值 2 , 6 2 6

所以,当 2 x + 当 2x +

p 7p p ,即 x = 时, f ( x ) 取得最小值为 - 1 . = 6 6 2

???6 分

(Ⅱ)因为 f ( x) = 2 3sin ax?cos ax 2cos2 ax - 1(0 < a ? 1) , 所以 f ( x) = 3 sin 2ax + cos 2ax = 2sin(2ax + ) . 因为 f ( x ) 的图象经过点 ( , 2) , 所以 2sin(

p 6

? 3

2a? ? 2a? ? ? ) ? 2 ,即 sin( ? ) ?1. 3 6 3 6

所以

2a? ? ? ? ? +2k ? . 3 6 2 1 (k ? Z) . 2

所以 a ? 3k ?

因为 0 < a ? 1 , 所以 a ?

1 . 2 2π ? 2? . ??13 分 1

所以 f ( x ) 的最小正周期 T= (17) (共 13 分)

解: ( Ⅰ ) 设 城 镇 居 民 收 入 实 际 增 速 大 于 7% 为 事 件 A , 由 图 可 知 , 这 五 年 中 有

2012 , 2013 , 2014 这 三 年 城 镇 居 民 收 入 实 际 增 速 大 于 7% , 所 以

P( A) ?

3 . ??5 分 5

(Ⅱ)设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超 7% 为事件 B ,这五年中任 选 两 年 , 有 (2012, 2013) , (2012, 2014) , (2012, 2015) , (2012, 2016) ,

(2013, 2014) , (2013, 2015) , (2013, 2016) , (2014, 2015) , (2014, 2016) ,

(2015, 2016) 共 10 种情况,其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超
过 7% 的为前 9 种情况,所以 P ( B ) ?

9 . 10

???10 分

(Ⅲ)从 2014 开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大. ???13 分 (18) (共 14 分) 解: (Ⅰ) 因为 AB ? AD , AB ? AP , AD ? AP ? A , 所以 AB ? 平面 PAD . 因为 AB ? 平面 PAB , 所以平面 PAB ? 平面 PAD . (Ⅱ)连接 PE . 因为△ PAD 为等边三角形, E 为 AD 中点, 所以 PE ? AD . 因为 AB ? 平面 PAD , 所以 AB ? PE . 因为 AB ? AD ? A , 所以 PE ? 平面 ABCD . 所以 VP ? ABCD ? ???5 分

1 ?S ? PE . 3 梯形ABCD

在等边△ PAD 中, PE ? PA ? sin 60? ? 3 ,

S梯形ABCD ?

(1 ? 2) ? 2 ? 3, 2 1 1 ? S梯形ABCD ? PE ? ? 3 ? 3 ? 3 . 3 3
???9 分

所以 VP ? ABCD ?

(Ⅲ)棱 PB 上存在点 M ,使得 EM ∥平面 PCD ,此时点 M 为 PB 中点. P 取 BC 中点 F ,连接 MF , ME, EF . 因为 E 为 AD 中点, 所以 EF ∥ CD . 因为 EF ? 平面 PCD , 所以 EF ∥平面 PCD . 因为 M 为 PB 中点, 所以 MF ∥ PC . 因为 MF ? 平面 PCD , 所以 MF ∥平面 PCD .
B A F E D M

C

因为 MF ? EF ? F , 所以平面 MEF ∥平面 PCD . 因为 ME ? 平面 MEF , 所以 ME ∥平面 PCD . (19) (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为函数 f ( x) ? x ln x , 所以 f '( x) ? ln x ? x ? ???14 分

1 ? ln x ? 1 , x

f '(1) ? ln1 ? 1 ? 1 .
又因为 f (1) ? 0 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 . ???4 分 (Ⅱ)函数 f ( x) ? x ln x 定义域为 (0, ??) , 由(Ⅰ)可知, f '( x) ? ln x ? 1 . 令 f '( x) ? 0 解得 x ?

1 . e

f ( x) 与 f '( x) 在区间 (0, ??) 上的情况如下:

x
f '( x) f ( x)

1 (0, ) e

1 e

1 ( , +?) e

?
?

0
极小值

?
?

+?) ; 所以, f ( x ) 的单调递增区间是 ( , 1 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) . e
(Ⅲ)当 ???9 分

1 e

1 1 ? x ? e 时, “ f ( x) ? ax ? 1 ”等价于“ a ? ln x ? ”. e x 1 1 , x ? [ , e] , x e

令 g ( x) ? ln x ?

g '( x) ?

1 1 x ?1 1 ? 2 ? 2 , x ? [ , e] . x x x e 1 e

当 x ? ( ,1) 时, g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 ( ,1) 单调递减. 当 x ? (1, e) 时, g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 (1, e) 单调递增.

1 e

而 g ( ) ? ln e ? e ? e ? 1 ? 1.5 ,

1 e

g (e) ? ln e ?

1 1 ? 1 ? ? 1.5 . e e 1 e 1 e

所以 g ( x) 在区间 [ , e] 上的最大值为 g ( ) ? e ? 1 . 所以当 a ? e ? 1 时,对于任意 x ? [ , e] ,都有 f ( x) ? ax ? 1 . (20) (共 13 分)

1 e

???14 分

?b ? 1, ? 解: (Ⅰ)由题意,得 ?c ? 1, ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ?
解得 a ?

2.
x2 + y 2 = 1. 2
2 x0 2 + y0 = 1. 2

所以椭圆 C 的方程为

???4 分

(Ⅱ)设 Q( x0 , y0 ) , P(m, 2) ,则

① 当 m = 0 时,点 P(0, 2) , Q 点坐标为 (? 2,0) 或 ( 2,0) ,

1 S ? ? 2?2 ? 2 . 2
② 当m?

0 时,直线 OP 的方程为 y =

2 x .即 2 x - my = 0 , m

直线 QF 的方程为 y = -

m ( x - 1) . 2

点 Q( x0 , y0 ) 到直线 OP 的距离为

d=

| 2 x0 - my0 | 2 + (- m)
2 2

, | OP |= 2 2 + ( - m) 2 .

所以, S ? 又 y0 = -

1 1 m ? | OP | ?d ? ? | 2 x0 ? my0 |?| x0 ? y0 | . 2 2 2

m ( x0 - 1) , 2

x0 2 ) y0 1 x0 2 ? 2 x0 ? 2 所以 2 S ?| x0 ? |?| x0 ? |? ? | | x0 ? 1 x0 ? 1 2 x0 ? 1
2

(1 ?

1 1 1 1 ? ? | x0 ? 1 ? |? (| x0 ? 1| ? ) 2 x0 ? 1 2 | x0 ? 1|

? 1( 2?x0 ?
当且仅当 | x0 综上,当 x0

且 x0 ? 1) , 2

- 1|=

1 ,即 x0 = 0 时等号成立, | x0 - 1|
???13 分

= 0 时, S 取得最小值 1.


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