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黑龙江省绥棱一中2011-2012学年高二3月月考数学(理)试题

绥棱一中 2011-2012 学年下学期 3 月考

高二数学(理)试题
(时间:90 分钟,总分:120 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. ( 抛 ) 1 A. (0, ) 2 物 线

y2 ? 2x













1 B. (0, ? ) 2

1 C. (? , 0) 2

1 D. ( , 0) 2

x2 y2 ? ? 1 的离心率为是 2.双曲线 4 2


20 4



A.

6 2

B.

2 2

C.

2

D.

3.已知点 M(0,1,-2) ,平面 ? 过原点,且垂直于向量 n ? (1, ?2, 2) ,则点 M 到平面 ? 的的距 离为 A. 3 B. 2 C. 6 D. 6 ) ( )

4.若方程 Ax2 ? By 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 A、B 满足的条件是( A. B ? A C. B ? A ? 0, B. A ? B ? 0 D. A ? B ,且 A ? 0, B ? 0

5.下面说法正确的有 ( ) (1)演绎推理是由一般到特殊的推理; (2)演绎推理得到的 结论一定是正确的; (3)演绎 推理一般模式是“三段论”形式; (4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形 有关 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 6.给出下面四个类比结论 ( ) ①实数 a, b, 若 ab ? 0 则 a ? 0 或 b ? 0 ;类比向量 a, b, 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ②实数 a, b, 有 (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ; 类比向量 a, b, 有 (a ? b) 2 ? a ? 2a ? b ? b ③向量 a ,有 a ? a ;类比复数 z ,有 z ? z 2
2 ④实数 a , b 有 a 2 ? b 2 ? 0 ,则 a ? b ? 0 ;类比复数 z 1 , z 2 有 z12 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 ? 0 其中类比结论正确的命题个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2 2
[来源:Zxxk.Com]

2

2

2

7.函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1 在 x ? 1 处的导数等于 A.2 B.3 C.4 D.5





x2 y 2 8.若椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被抛物线 y 2 ? 2bx a b

的焦点分成 5:3 两段,则此椭圆的离心率为 A.
16 17

( D.
2 5 5



B.

4 17 17

C.

4 5

9. 若平面 ? 的法向量为 n1 ? (3, 2,1) ,平面 ? 的法向量为 n2 ? (2,0, ?1) ,则平面 ? 与 ? 夹角的余 弦是( A.
70 14

) B.
70 10

C. ?

70 14

D. -

70 10

3 c 10. 函 数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图像如图 ,则函数 y ? ax 2 ? bx ? 的单调递 增 区间是 2 3 ( )

A. (??, ?2]

?1 ? B. ? , ?? ? ?2 ? ?9 ? D. ? , ?? ? ?8 ?

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

C. [?2,3]

1 1 11.若 f ( x) ? ? ( x ? 2) 2 ? ln x 在 (1, ??) 上是减函数,则 m 的取值范围是( 2 m



A. (?1, 0)

B. (0, ??)

C. [?1, 0)

D. (0,1]

12.过椭圆的一个焦点 F2 作垂直于长轴的弦 PQ , F1 是另一焦点, 若∠ PF1Q ? 离心率 e 等于 A. ( B.
2 2

?
2

,则椭圆的



2 ?1

C. 2 ? 2

D.

2 ?1

二、填空题(本大题共 4 小题,每 小题 5 分,共 20 分) 13.椭圆
x2 y 2 那么点 P 到另一个焦点的距离等于 ? ? 1 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 3, 25 9

. 14.如图所示,函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交 形成一个闭合图形(图中的阴影部分), 则该闭合图形的面积是

[来源:学科网]



15.若直线 y=k(x+ 2)+1 与抛物线 y 2 ? 4x 只有一个公共点,则 k 的值是 16. 已 知 f ( x) , g ( x 都 ) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , g ( x )? 0, 若 f ' ( x ) g ( x? )
x f ( x)? a ? g( x )(a ? 且 0 a ? 1 )及

。 且 f (x )g ', (x ) 。

f (1) f (?1) 10 ? ? ,则 a 的值为 g (1) g (?1) 3

三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (本题满分 8 分)抛物线的顶点在原 点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135°的直线被抛物线所截得的弦长为 8,试求抛物线方程.

18.(本题满分 10 分)已知点 P(3,4)是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,F1、F2 是椭圆的两焦 点,若 PF1⊥PF2,试求: (1)椭圆方程; (2)△PF1F2 的面积.

x2 y2 a b

19.(本题满分 11 分)如图所示,已知直四棱柱 ABCD ? A 1B1C 1D 1 中, AD ? DC , AB / / DC ,且 满足
DC ? DD 1? 2 AD ? 2 AB ? 2 .w_w _w.k*s5*u.c o*m

(Ⅰ)求证: DB ? 平面 B 1 BCC 1 ; (Ⅱ)求二面角 A 1? BD ? C 1 的余弦值.
A1

D1 B1

C1

C

D A B

C

20.(本题满分 11 分)已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值;

(Ⅱ)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题:

题号 答案

1 D

2 A

3 B

4 C

5 C

6 B

7 C

8 D

9 A

10 D

11 C

12 D

二、填空题: 4 1 3. 7 14. 3 三、解答题: 17.解析

15. 0,

1 ,-1. 2

16.

1 3

1 如图所示,依题意,设抛物线方程为 y2=2px,则直线方程为 y=-x+ p.设直线交抛物 2 线于 A(x1 ,y1)、B(x2,y2)两点,过 A、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C、D. 则由抛物线定义得 |AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| =x1+ +x2+ ,??????4 分 2 2 即 x2+ +x2+ =8.① 2 2 又 A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,

p

p

p

p

?y=-x+1 p 2 由? ?y =2px
2 2

消去 y,得 x -3px+ =0, 4

2

p2

Δ =9p -4× =8p2>0. 4 所以 x1+x2=3p. 将其代入①得 p=2, 所以所求抛物线方程为 y2 =4x. 当抛物线方程设为 y2=-2px(p>0)时, 同理可求得抛物线方程为 y2=-4x. 故所求抛物线方程为 y2=4x 或 y2=-4x.??????8 分 18.解:(1)法一:令 F1(-c,0),F2(c,0), ∵PF1⊥PF2,∴kPF1 ·kPF2=-1,??????3 分 4 4 即 · =-1,解得 c=5, 3+c 3-c ∴椭圆方程为 2+

p2

x2 y2 =1. a a2-25

∵点 P(3,4)在椭圆上, 9 16 ∴ 2+ 2 =1, a a -25 解得 a2=45 或 a2=5,

又 a>c,∴a =5 舍去, 故所求椭圆方程为 + =1.??????5 分 45 20 法二:∵PF1⊥PF2, ∴△PF1F2 为直角三角形, 1 ∴|OP|= |F1F2|=c. 2 又|OP| = 32+42=5,∴c=5,

2

x2

y2

x2 y2 ∴椭圆方程为 2+ 2 =1(以下同法一).??? ???5 分 a a -25 (2)法一:P 点纵坐标的值即为 F1F2 边上的高,
1 1 ∴S△PF1F2= |F1F2|×4= ×10×4=20.??????10 分 2 2 法二:由椭圆定义知:|PF1|+|PF2|=6 5① 又|P F1|2+|PF2|2=|F1F2|2② ①2-②得 2|PF1|·|PF2|=80,[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 1 ∴S△PF1F2= |PF1|·|PF2|=20.??????10 分 2 19.解: (I)以 D 为原点, DA, DC, DD1 所在直线分别 为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 w_w w. k#s5_u.c o*m
D(0,0,0), B(1,1,0), C1 (0, 2, 2), A1 (1,0, 2), B1 (1,1, 2), C(0, 2,0) ????? 2 分
A1

z
D1 B1

C1

C

D

DB ? (1,1,0), BC ? (?1,1,0), BB1 ? (0,0, 2) ??3分 BD ? BC ? ?1 ? 1 ? 0 ? BD ? BC ???4分
A x B

C

y

BD ? BB1 ? 0 ? BD ? BB1 ?????5分

又因为 B1 B BC ? B 所以, DB ? 平面 B1 BCC1 ????? 6 分 (Ⅱ)设 n( x, y, z ) 为平面 A1 BD 的一个法向量。w_w w. k#s5_u.c o*m
由n ? DA1 , n ? DB, DA1 ? (1,0,2), DB ? (1,1,0),
?x ? 2z ? 0 ?x ? y ? 0

得?

取 z ? 1 ,则 n ? (?2, 2,1),

?????? 8 分

又 DC1 ? (0,2,2), DB ? (1,1,0) , 设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 C1 BD 的一个法向量,由 m ? DC1 , m ? DB , 得?
? 2 y1 ? 2 z1 ? 0 ? x1 ? y1 ? 0

取 z1 ? 1, 取 m ? (1, ?1,1)

???????8 分

设 m 与 n 的夹角为 ? ,二面角 A1 ? BD ? C1 为 ? ,显然 ? 为锐角,
? cos ? ?| cos ? |? | m?n| 3 3 ? ? ,即为所求 | m || n | 3 ? 3 3

????? ?? 11 分

20 解: f ( x) 的定义域为(0,+?), ????1 分 f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x . ??????3 分 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . e e ? 1? ?1 ? 从而 f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增. ??????4 分[来源:学_科_网] ? e? ?e ? 1 1 所以,当 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . ?????????? 5 分 e e (Ⅱ)解法一:令 g ( x) ? f ( x) ? (ax ? 1) ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? a ? 1 ? a ? ln x , ????????7 分 ① 若 a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 1 ? a ? ln x ? 1 ? a ? 0 , 故 g ( x) 在 (1,+?) 上为增函数, 所以, x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 f ( x) ? ax ? 1 .???????? 8 分 ② 若 a ? 1 ,方程 g ?( x) ? 0 的根为 x0 ? ea?1 , 此时,若 x ? (1,x0 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数. 所以 x ? (1,x0 ) 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 , 即 f ( x) ? ax ? 1 ,与题设 f ( x) ? ax ? 1 相矛盾. 1] . ??????????????10 分 综上,满足条件的 a 的取值范围是 (??, ? ?) 上恒成立, 解法二:依题意,得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1, 1 ? ?) 恒成立 . 即不等式 a ? ln x ? 对于 x ? [1, ????????7 分 x 1 1 1 1? 1? 令 g ( x) ? ln x ? , 则 g ?( x) ? ? 2 ? ?1 ? ? . ????????9 分 x x x x? x? 1? 1? 当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ? ?1 ? ? ? 0 , x? x? ? ?) 上的增函数, 故 g ( x) 是 (1, 所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 , 1] . 所以 a 的取值范围是 (??, ????????????????11 分


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