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2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第三章 三角函数3.3


§ 3.3

三角函数的图象与性质

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 π 3π 正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),( ,1),(π,0),( ,-1),(2π, 2 2 0). π 3π 余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),( ,0),(π,-1),( ,0),(2π, 2 2 1). 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

定义域

R [-1,1]

R [-1,1]

π {x|x∈R 且 x≠ +kπ, 2 k∈Z}

值域

R π π (- +kπ, + 2 2 kπ)(k∈Z)上递增

单调性

π π [- +2kπ, +2kπ](k∈Z)上递增; [-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递 2 2 增; π 3π [ +2kπ, +2kπ](k∈Z)上递减 [2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减 2 2 π x= +2kπ(k∈Z)时,ymax=1; 2 π x=- +2kπ(k∈Z)时,ymin=-1 2 奇函数 (kπ,0)(k∈Z) x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1; x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1 偶函数 π ( +kπ,0) (k∈Z) 2

最值

奇偶性 对称中心

奇函数 kπ ( ,0)(k∈Z) 2

-1-

对称轴方 程 周期 【思考辨析】

π x= +kπ(k∈Z) 2 2π

x=kπ(k∈Z) 2π π

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)常函数 f(x)=a 是周期函数,它没有最小正周期.( √ π (2)y=sin x 在 x∈[0, ]上是增函数.( √ 2 ) )

(3)y=cos x 在第一、二象限上是减函数.( × ) (4)y=tan x 在整个定义域上是增函数.( × (5)y=ksin x+1(x∈R),则 ymax=k+1.( × ) (6)若 sin x> 2 π ,则 x> .( × ) 2 4 )

π 1.(2014· 陕西)函数 f(x)=cos(2x- )的最小正周期是( 6 π A. 2 C.2π 答案 B 2π 2π 解析 最小正周期为 T= = =π.故选 B. ω 2 B.π D.4π

)

π? ?π π? 2.若函数 f(x)=sin ωx (ω>0)在区间? ?0,3?上单调递增,在区间?3,2?上单调递减,则 ω 等于 ( ) 2 3 A. B. C.2 D.3 3 2 答案 B 解析 ∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点, π π ∴当 0≤ωx≤ ,即 0≤x≤ 时,y=sin ωx 是增函数; 2 2ω π 3π π 3π 当 ≤ωx≤ ,即 ≤x≤ 时,y=sin ωx 是减函数. 2 2 2ω 2ω π? 由 f(x)=sin ωx (ω>0)在? ?0,3?上单调递增, π π? π π 3 在? ?3,2?上单调递减知,2ω=3,∴ω=2.

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3.(2013· 湖北)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R) 的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得 到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( π π π 5π A. B. C. D. 12 6 3 6 答案 B π π 解析 y= 3cos x+sin x=2sin(x+ )向左平移 m 个单位长度后得到 y=2sin(x+ +m), 它关于 3 3 y 轴对称可得 π sin( +m)=± 1, 3 π π ∴ +m=kπ+ ,k∈Z, 3 2 π ∴m=kπ+ ,k∈Z, 6 π ∵m>0,∴m 的最小值为 . 6 π 4.若函数 y=tan ωx(ω∈N*)的一个对称中心是( ,0),则 ω 的最小值是( 6 A.2 C.6 答案 B kπ 解析 由于正切函数 f(x)=tan x 的对称中心坐标为( ,0)(k∈Z),且函数 y=tan ωx(ω∈N*)的 2 π πω kπ 一个对称中心是( ,0),所以 = (k∈Z),因此有 ω=3k(k∈Z),因为 ω∈N*,所以当 k=1 6 6 2 时,ω 取最小值 3,故选 B. B.3 D.9 ) )

题型一 三角函数的定义域和值域 πx π? 例 1 (1)函数 y=2sin? ? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( A.2- 3 B.0 C.-1 D.-1- 3 )

1 (2)函数 y= 的定义域为__________________________________________. tan x-1 π π 答案 (1)A (2){x|x≠ +kπ 且 x≠ +kπ,k∈Z} 4 2 解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值. π π π 7π ∵0≤x≤9,∴- ≤ x- ≤ , 3 6 3 6
-3-

π π? ? 3 ? ∴sin? ?6x-3?∈?- 2 ,1?. ∴y∈[- 3,2],∴ymax+ymin=2- 3. tan x-1≠0, ? ? (2)要使函数有意义,必须有? π ?x≠2+kπ,k∈Z, ?

?x≠4+kπ,k∈Z, 即? π ?x≠2+kπ,k∈Z.
π π 故函数的定义域为{x|x≠ +kπ 且 x≠ +kπ,k∈Z}. 4 2 思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角

π

函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如 y=asin x+bcos x+k 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最值(值域); ②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数, 可先设 sin x=t, 化为关于 t 的二次函数求值域(最值); ③形如 y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x± cos x,化为关于 t 的二 次函数求值域(最值). (1)函数 y= sin x-cos x的定义域是________. π? ? π? (2)(2013· 天津)函数 f(x)=sin? ?2x-4?在区间?0,2?上的最小值为( A.-1 B.- 2 2 C. 2 D.0 2 )

π 5 答案 (1){x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ π,k∈Z} (2)B 4 4 解析 (1)要使函数有意义,必须有 sin x-cos x≥0, 即 sin x≥cos x,同一坐标系中作出 y=sin x,y=cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示.

结合图象及正、余弦函数的周期是 2π 知, π 5π 函数的定义域为{x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z}. 4 4 π? π? π π 3π π ? ? π 3π? (2)∵x∈? ?0,2?,∴-4≤2x-4≤ 4 ,令 y=2x-4,则 sin?2x-4?=sin y 在 y∈?-4, 4 ?上的

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π? 2 最小值为 sin? ?-4?=- 2 . 题型二 三角函数的单调性、周期性 例 2 写出下列函数的单调区间及周期: π -2x+ ?;(2)y=|tan x|. (1)y=sin? 3? ? π 2x- ?, 解 (1)y=-sin? 3? ? π 2x- ?的减区间, 它的增区间是 y=sin? 3? ? π 2x- ?的增区间. 它的减区间是 y=sin? 3? ? π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π π 3π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π 11π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π 5π kπ- ,kπ+ ?,k∈Z; 故所给函数的减区间为? 12 12? ? 5π 11π kπ+ ,kπ+ ?,k∈Z. 增区间为? 12 12 ? ? 2π 最小正周期 T= =π. 2 π π kπ,kπ+ ?,k∈Z,减区间是?kπ- ,kπ?,k∈Z. (2)观察图象可知,y=|tan x|的增区间是? 2? 2 ? ? ? 最小正周期 T=π.

思维升华 (1)求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中 ω>0)的单调区间时,要视“ωx +φ”为一个整体, 通过解不等式求解. 但如果 ω<0, 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数, 防止把单调性弄错. (2)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同 增异减”. (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图象,结合图象判定.

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π π? ? ? (2014· 北京)求函数 y=sin? 单调区间及最大、 最小值. ?3+4x?+cos?4x-6?的周期、 π ? ?π ? π 解 ∵? ?3+4x?+?6-4x?=2, π? ?π ? ∴cos? ?4x-6?=cos?6-4x? π π ?? ?π ? =cos?2-? ?3+4x? =sin?3+4x?.

?

?

π? 2π π ∴y=2sin? ?4x+3?,周期 T= 4 =2. π π π 当- +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数单调递增, 2 3 2 5π kπ π kπ? ∴函数的递增区间为? ?-24+ 2 ,24+ 2 ? (k∈Z). π π 3π 当 +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数单调递减, 2 3 2 π kπ 7π kπ? ∴函数的递减区间为? ?24+ 2 ,24+ 2 ?(k∈Z). π kπ 当 x= + (k∈Z)时,ymax=2; 24 2 5π kπ 当 x=- + (k∈Z)时,ymin=-2. 24 2 题型三 三角函数的奇偶性和对称性 π? 例 3 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x(x∈R), 函数 y=f(x+φ) ? ?|φ|≤2?的图象关于直线 x=0 对称, 则 φ 的值为________. 4π ? (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? ? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为( π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2 π 答案 (1) (2)A 6 π? 解析 (1)f(x)=2sin? ?x+3?, π ? y=f(x+φ)=2sin? ?x+3+φ?图象关于 x=0 对称, 即 f(x+φ)为偶函数. π π π ∴ +φ= +kπ,k∈Z,即 φ=kπ+ ,k∈Z, 3 2 6 π π 又∵|φ|≤ ,∴φ= . 2 6 4π ? ?2π ? (2)由题意得 3cos? ?2× 3 +φ?=3cos? 3 +φ+2π?
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)

2π 2π π ? =3cos? ? 3 +φ?=0,∴ 3 +φ=kπ+2,k∈Z, π π ∴φ=kπ- ,k∈Z,取 k=0,得|φ|的最小值为 . 6 6 思维升华 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得最大值或最小值. 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. π 如果求 f(x)的对称轴,只需令 ωx+φ= +kπ (k∈Z),求 x. 2 如果求 f(x)的对称中心的横坐标,只需令 ωx+φ=kπ (k∈Z)即可. (1)若函数 f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小正周期为 1,则它的图象的一个对称中 心为( ) B.(0,0) 1 D.( ,0) 8

π A.(- ,0) 8 1 C.(- ,0) 8

π π π (2)设函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(- , ))的最小正周期为 π,且其图象关于直线 x= 对称, 2 2 12 π π π 则在下面四个结论:①图象关于点( ,0)对称;②图象关于点( ,0)对称;③在[0, ]上是增 4 3 6 π 函数;④在[- ,0]上是增函数中,所有正确结论的编号为________. 6 答案 (1)C (2)②④ π 解析 (1)由条件得 f(x)= 2sin(ax+ ), 4 2π 又函数的最小正周期为 1,故 =1,∴a=2π, a π 故 f(x)= 2sin(2πx+ ). 4 1 将 x=- 代入得函数值为 0. 8 (2)∵T=π,∴ω=2. π π π 又 2× +φ=kπ+ (k∈Z),∴φ=kπ+ (k∈Z). 12 2 3 π π π π ∵φ∈(- , ),∴φ= ,∴y=sin(2x+ ), 2 2 3 3 由图象及性质可知②④正确.

三角函数的单调性、对称性、周期性

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π π 典例:(1)已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+ )在( ,π)上单调递减,则 ω 的取值范围是( 4 2 1 5 1 3 1 A.[ , ] B.[ , ] C.(0, ] D.(0,2] 2 4 2 4 2

)

π π (2)已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 对任意实数 x 有 f(x+ )=f(-x)成立,且 f( )=1,则实数 b 4 8 的值为( )

A.-1 B.3 C.-1 或 3 D.-3 π π? (3)(2014· 北京)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x)在区间? ?6,2?上 π? ?2π? ?π? 具有单调性,且 f? ?2?=f? 3 ?=-f?6?,则 f(x)的最小正周期为________. π π 思维点拨 (1)( ,π)为函数 f(x)某个单调减区间的子集;(2)由 f(x+ )=f(-x)可得函数的对称 2 4 轴,应用函数在对称轴处的性质求解即可;(3)利用正弦型函数图象的对称性求周期. π π π π π 解析 (1)由 <x<π 得 ω+ <ωx+ <πω+ , 2 2 4 4 4 π π π π 3π 由题意知( ω+ ,πω+ )?[ , ], 2 4 4 2 2

?2ω+4≥2, ∴? π 3π ?πω+4≤ 2 ,

π

π π

1 5 ∴ ≤ω≤ ,故选 A. 2 4

π π (2)由 f(x+ )=f(-x)可知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 关于直线 x= 对称,又函数 f(x)在对称轴 4 8 处取得最值,故± 2+b=1,∴b=-1 或 b=3. π π? (3)∵f(x)在? ?6,2?上具有单调性, T π π ∴ ≥ - , 2 2 6 2π ∴T ≥ . 3 π? ?2π? ∵f? ?2?=f? 3 ?, π 2π + 2 3 7π ∴f(x)的一条对称轴为 x= = . 2 12 π? ?π? 又∵f? ?2?=-f?6?, π π + 2 6 π ∴f(x)的一个对称中心的横坐标为 = . 2 3

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1 7π π π ∴ T= - = ,∴T=π. 4 12 3 4 答案 (1)A (2)C (3)π 温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω 的范围的问题:首先,明确已 知的单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它 们之间的关系可求解. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的图象与其对称轴的交点是最值点.

方法与技巧 1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式. 2π 2.函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 |ω| π . |ω| 3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 t=ωx +φ,将其转化为研究 y=sin t 的性质. 失误与防范 1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨 论参数对最值的影响. 2.要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时 ω 的符号,尽量化成 ω>0 时的情况. 3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得,直接将两个端点处的函数值作为最值 是错误的.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.函数 f(x)=lg|sin x|是( )

A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 2π 的偶函数 答案 C 解析 f(x+π)=lg|sin(x+π)|=lg|sin x|, 所以周期为 π, 对 f(-x)=lg|sin(-x)|=lg|-sin x|=lg|sin
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x|,所以为偶函数,故选 C. π 2.已知函数 f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若 f( )=-2,则 f(x)的一个单调递减区间是( 8 π 3π A.[- , ] 8 8 3π π C.[- , ] 8 8 答案 C π 解析 由 f( )=-2 得 8 π π f( )=-2sin(2× +φ) 8 8 π =-2sin( +φ)=-2, 4 π 所以 sin( +φ)=1. 4 π 因为|φ|<π,所以 φ= . 4 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 3π π 解得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8 3π π 当 k=1 时,- ≤x≤ ,故选 C. 8 8 3π ? π 3.将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图象向右平移 个单位长度,所得图象经过点? ? 4 ,0?,则 4 ω 的最小值是( ) π 9π B.[ , ] 8 8 π 5π D.[ , ] 8 8 )

1 5 A. B.1 C. D.2 3 3 答案 D 解析 根据题意平移后函数的解析式为 π x- ?, y=sin ω? 4 ? ? 3π ? ωπ ,0 代入得 sin 将? =0,则 ω=2k,k∈Z,且 ω>0, 4 ? ? 2 故 ω 的最小值为 2. π 4.(2013· 浙江)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0,φ∈R), 则“f(x)是奇函数”是“φ= ” 2 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

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答案 B π? π π 解析 φ= ?f(x)=Acos? ∴“f(x)是奇函数”是“φ= ”的必要 ?ωx+2?=-Asin ωx 为奇函数, 2 2 条件. π 又 f(x)=Acos(ωx+φ)是奇函数?f(0)=0?φ= +kπ(k∈Z) 2 π ∴“f(x)是奇函数”不是“φ= ”的充分条件. 2 5.函数 y=cos 2x+sin2x,x∈R 的值域是( A.[0,1] C.[-1,2] 答案 A 1-cos 2x 1+cos 2x 解析 y=cos 2x+sin2x=cos 2x+ = . 2 2 ∵cos 2x∈[-1,1],∴y∈[0,1]. π 6.函数 y=cos( -2x)的单调减区间为________. 4 π 5π 答案 [kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 8 8 π π 解析 由 y=cos( -2x)=cos(2x- )得 4 4 π 2kπ≤2x- ≤2kπ+π(k∈Z), 4 π 5π 故 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 8 π 5π 所以函数的单调减区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 8 8 π π 7.设函数 f(x)=3sin( x+ ),若存在这样的实数 x1,x2,对任意的 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2) 2 4 成立,则|x1-x2|的最小值为________. 答案 2 π π 2 解析 f(x)=3sin( x+ )的周期 T=2π× =4, 2 4 π f(x1),f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值和最大值, T 故|x1-x2|的最小值为 =2. 2 π π 8.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0, |φ|< ), y=f(x)的部分图象如图, 则 f( ) 2 24 =________. 1 B.[ ,1] 2 D.[0,2] ) π φ= . 2

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答案

3

3π π π π 解析 由题中图象可知,此正切函数的半周期等于 - = ,即最小正周期为 , 8 8 4 2 3π 所以 ω=2.由题意可知,图象过定点( ,0), 8 3π 所以 0=Atan(2× +φ), 8 3π 即 +φ=kπ(k∈Z), 4 3π 所以 φ=kπ- (k∈Z), 4 π π 又|φ|< ,所以 φ= . 2 4 又图象过定点(0,1),所以 A=1. π 综上可知,f(x)=tan(2x+ ), 4 π π π π 故有 f( )=tan(2× + )=tan = 3. 24 24 4 3 π 9.设函数 f(x)=sin(2x+φ) (-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. π π 解 (1)令 2× +φ=kπ+ ,k∈Z, 8 2 π ∴φ=kπ+ ,k∈Z, 4 3π 又-π<φ<0,则 φ=- . 4 3π 2x - ? , (2)由(1)得:f(x)=sin? 4? ? π 3π π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 4 2 π 5π 可解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 8 8 π 5π +kπ, +kπ?,k∈Z. 因此 y=f(x)的单调增区间为? 8 ?8 ? πx π πx 10.设函数 f(x)=sin( - )-2cos2 +1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. 4 (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求当 x∈[0, ]时,y=g(x)的最大值. 3

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解 (1)f(x)=sin =

πx π πx π πx cos -cos sin -cos 4 6 4 6 4

3 πx 3 πx πx π sin - cos = 3sin( - ), 2 4 2 4 4 3

2π 故 f(x)的最小正周期为 T= =8. π 4 (2)方法一 在 y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)), 它关于 x=1 的对称点(2-x,g(x)). 由题设条件,知点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图象上, π π 从而 g(x)=f(2-x)= 3sin[ (2-x)- ] 4 3 π πx π πx π = 3sin[ - - ]= 3cos( + ). 2 4 3 4 3 4 π πx π 2π 当 0≤x≤ 时, ≤ + ≤ , 3 3 4 3 3 4 因此 y=g(x)在区间[0, ]上的最大值为 3 π 3 g(x)max= 3cos = . 3 2 4 2 方法二 区间[0, ]关于 x=1 的对称区间为[ ,2], 3 3 且 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 4 故 y=g(x)在[0, ]上的最大值为 3 2 y=f(x)在[ ,2]上的最大值. 3 πx π 由(1)知 f(x)= 3sin( - ), 4 3 2 π πx π π 当 ≤x≤2 时,- ≤ - ≤ . 3 6 4 3 6 4 因此 y=g(x)在[0, ]上的最大值为 3 g(x)max= 3sin π 3 = . 6 2 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) π π 2π 11.函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0 且|φ|< )在区间[ , ]上单调递减,且函数值从 1 减小到-1,那 2 6 3 么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为( )

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6+ 2 1 2 3 A. B. C. D. 2 2 2 4 答案 A π 2π 解析 函数 y=sin(ωx+φ)的最大值为 1,最小值为-1,由该函数在区间[ , ]上单调递减, 6 3 2π π π 2π 2π 且函数值从 1 减小到-1,可知 - = 为半周期,则周期为 π,ω= = =2,此时原函数 3 6 2 T π π π π 式为 y=sin(2x+φ),又由函数 y=sin(ωx+φ)的图象过点( ,1),且|φ|< .代入可得 φ= ,因此 6 2 6 π 1 函数为 y=sin(2x+ ),令 x=0,可得 y= . 6 2 π n 12.已知函数 f(x)=2msin x-ncos x,直线 x= 是函数 f(x)图象的一条对称轴,则 等于( 3 m 3 3 A. 2 2 3 C.- 3 答案 C π 解析 由 x= 是函数 f(x)图象的对称轴易得 3 2π f(0)=f( ), 3 2π 2π ∴-n=2msin -ncos , 3 3 n ∴-n= 3m+ , 2 3 ∴ 3m=- n, 2 n 2 3 ∴ =- . m 3 π 13.函数 y=tan(2x+ )的图象与 x 轴交点的坐标是___________________________. 4 kπ π 答案 ( - ,0)(k∈Z) 2 8 π 解析 由 2x+ =kπ(k∈Z)得, 4 kπ π x= - (k∈Z). 2 8 π kπ π ∴函数 y=tan(2x+ )的图象与 x 轴交点的坐标是( - ,0)(k∈Z). 4 2 8 14.给出下列命题: B. 3 D. 3 3 )

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π 5π ①函数 f(x)=4cos(2x+ )的一个对称中心为(- ,0); 3 12 ②已知函数 f(x)=min{sin x,cos x},则 f(x)的值域为[-1, ③若 α、β 均为第一象限角,且 α>β,则 sin α>sin β. 其中所有真命题的序号是________. 答案 ①② 5 π 5 π π 5 5 解析 对于①,令 x=- π,则 2x+ =- π+ =- ,有 f(- π)=0,因此(- π,0)为 f(x) 12 3 6 3 2 12 12 的一个对称中心,①为真命题;对于②,结合图象知 f(x)的值域为[-1, 2 ],②为真命题; 2 2 ]; 2

1 3 对于③,令 α=390° ,β=60° ,有 390° >60° ,但 sin 390° = <sin 60° = ,故③为假命题,所 2 2 以真命题为①②. π? ? π? 15.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin? ?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; π? (2)设 g(x)=f? ?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. π? π ?π 7π? 解 (1)∵x∈? ?0,2?,∴2x+6∈?6, 6 ?. π? ? 1 ? ∴sin? ?2x+6?∈?-2,1?, π? ∴-2asin? ?2x+6?∈[-2a,a]. ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. π? (2)由(1)得,f(x)=-4sin? ?2x+6?-1, π? 7π? ? g(x)=f? ?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1 π? =4sin? ?2x+6?-1, 又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, π π 1 2x+ ?-1>1,∴sin?2x+ ?> , ∴4sin? 6? 6? 2 ? ? π π 5π ∴2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z, 6 6 6 π π π 其中当 2kπ+ <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 时, 6 6 2

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π g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+ ,k∈Z, 6 π? ∴g(x)的单调增区间为? ?kπ,kπ+6?,k∈Z. π π 5π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时, 2 6 6 π π g(x)单调递减,即 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 6 3 π π? ∴g(x)的单调减区间为? ?kπ+6,kπ+3?,k∈Z.

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