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§1.3.1(I) 正弦函数的图象和性质导学案 新人教B版必修4


§1.3.1(I) 正弦函数的图象和性质
◆ 课前导学 (一)学习目标 1.会用“五点法”画正弦函数的图象; 2.能叙述出周期性的定义,会判断一个函数是否周期函数; 3.能由图象读出正弦函数的性质,并熟练记忆这些性质; 4.会利用正弦函数的性质解决相关问题. (二)重点难点 重点: “五点法”作图,正弦函数的性质; 难点:利用正弦函数的性质解决相关问题. (三)温故知新 1.三角函数的概念_______________; 2.三角函数线的作法.

◆ 课中导学 (一)问题引入 定义正弦函数 y ? sin x , x ? R ,试作出它的图象(正弦曲线). [问题 1] [问题 2] [问题 3] 用什么方法画正弦函数的图象? 描点的原则是什么? 如何把点 (

?
3

,

3 ) 描得更精确一些? 2

展示正弦函数的图象. [问题 4] 要作出正弦函数 y ? sin x , x ?[0, 2? ] 的简图,起关键作用的是哪些点?

结论:___________、___________、___________、___________、___________ [问题 5] 如何画 y ? sin x , x ?[2? , 4? ] 的图象?

(一) 巩固深化 ◎学习目标一:会用“五点法”画正弦函数的图象.

1

例1 作函数 y ? 1 ? sin x , x ?[0, 2? ] 的简图.

★变式

作函数 y ? 2sin x , x ?[0, 2? ] 的简图.

◎学习目标二:能叙述出周期性的定义,会判断一个函数是否周期函数. 一般地,对于函数 f ( x ) ,如果存在一个非零常数 T,似的定义域内的每一个 x 值,都 满足 _______________ ,那么函数 f ( x ) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的 __________. 在所有的周期中如果存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做它的 _______________.正弦函数的 最小正周期是__________. 例2 作出函数 y ? sin( x ?

?
4

) 的一个周期的简图.

★变式

作出函数 y ? sin 2 x 的一个周期的简图.

2

(二) 深入探究 ◎学习目标三:能由图象读出正弦函数的性质,并熟练记忆这些性质. 观察正弦函数的图象,总结正弦函数的性质. 1. 定义域___________,值域___________; 2. 最值: 当 x ? ______________时, 正弦函数取得最大值________, 当 x ? ______________ 时,正弦函数取得最大值________; 3. 周期性:正弦函数的周期是________, 4. 奇偶性 :正弦函数是______函数; 5. 单调性:单增区间是________________________________, 单减区间是________________________________. 6. 对称性:对称轴是________________,对称中心是________________. ◎学习目标四:会利用正弦函数的性质解决相关问题. 例3 设 sin x ? t ? 3, x ? R ,求实数 t 的取值范围.

例4

不求值比较大小.

(1) sin( ?

?
18

) ________ sin(?

?
10

); (2) sin(?

23? 17? ) ________ sin(? ) 5 4

例5

求出满足下列条件的 x 的集合: (2) sin x ?

(1) sin x ? 0 ;

3 . 2

3

★变式 求下列函数的定义域: (1) y ?

1 sin x ? 1 2



(2) y ?

1 ? sin x 2

例6

求下列函数的值域.

(1) y ? sin x, x ? ?

? ? 7? ? (2) y ? sin 2 x ; (3) y ? 2 ? 3sin x ; , ?; ?3 6 ? ? ? 2? ? ; (5) y ? a ? b sin x (b ? 0) ; , ? 2 3 ? ?
1 . 4

(4) y ? 2 ? 3sin x , x ? ??

2 (6) y ? (sin x ?1)2 ? 2 ; (7) y ? cos x ? 3 sin x ?

4

◆ 课后导学 一、选择题 1.在 [0, 2? ] 上满足 sin x ? A. [0,

?
6

]

1 的 x 的取值是( 2 ? 5? ? 2 ] B. [ , C. [ , ? ] 6 6 6 3


) D. [

5? ,? ] 6

2.函数 y ? sin x 的一个单调增区间是( A. ( ?

? ?

, ) 4 4

B. (

? 3?
4 , 4

)

C. (? ,

3. y ?

2 sin( x ? ) ,当函数取得最大值时, tan x ? ( 4
B. ?1 C.

?

3? ) 2

D. (

3? , 2? ) 2


A.1 4.函数 y ? A.

2 2


D. ?

2 2

5 3

2 ? sin x 的最大值是( 2 ? sin x 5 B. C.3 2

D.5 ) D. [?1,5]

5.函数 y ? 2sin 2 x ? 2sin x ? 1 的值域是( A. [1,5] B. [ ,5]

1 2

C. [ , ??) )

1 2

6.下列函数中是偶函数的是( A. y ? sin 2 x B. y ? ? sin x )

C. y ? sin x

D. y ? 1 ? sin x

7.下列命题中,正确的是( A. f ( x) ? sin(? x) 没有正周期

B. h( x) ? 2 为周期函数

C. u( x) ? sin 2 x 的最小正周期为 2? ,是周期函数 D. g ( x) ? x ? sin x 是周期函数 二、填空题 8 . 若 f ( x ) 是 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x)?
2

, x? s i n x 则 当 x?0 时 ,

f ( x) ? ___________________.
9.若 sin x ?

2m ? 1 且 x ? R ,则 m 的取值范围为__________________. 3m ? 2

10. sin1 , sin 2 , sin 3 的大小关系为___________________________.

5

三、解答题 11.若函数 y ? a ? b sin x 的最大值为 小正周期.

3 1 ,最小值为 ? ,求函数 y ? 4a sin bx 的最值和最 2 2

12.已知函数 f ( x) ? 2a sin(2 x ?

?

) ? b 的定义域为 [0, ] ,函数的最大值为 1,最小值为 3 2

?

?5 ,求 a 和 b 的值.

6


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