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琴生不等式

常用不等式
琴生不等式: 设 f ( x) 是 ( a, b ) 内的凸函数, 则对于 ( a, b ) 内任意的几个实数 x1 , x2 ,?, xn 有

f(

x1 ? x2 ? ? ? xn 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn )] , n n

等号当且仅当 x1 ? x2 ? ? ? xn 时取得。 加权的琴生不等式: f (q1x1 ? q2 x2 ? ... ? qn xn ) ? q1 f ( x1 ) ? q2 f ( x2 ) ?

? qn f ( xn ) ,其中

(q1 , q2 ,..., qn ? 0, 且? qi ? 1) 。
i ?1

n

例 1、利用琴生不等式证明均值不等式。

例 2、(1)在△ABC 中,求 sinA+sinB+sinC 和 cosA+cosB+cosC 的最大值。 (2)若 a1 , a2 ,..., an 是一组实数, 且 a1 ? a2 ? ... ? an ? k(k 为定值) , 试求 a1 ? a2 ? ... ? an
2 2 2

的最小值。

1

柯 西 不 等 式 : 设 ai , bi ? R(i ? 1, 2,.., n) , 则 (

( bi2 , ) 当数组 ? ai bi )2 ? (? ai2 ) ?
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

不全为零时,当且仅当 a1 , a 2 , . .a .n, b 1;b 2 , b,n . .., bi ? ?ai (1 ? i ? n) 时等号成立。 推论 1:对 n 个正数 a1 , a2 ,..., an ,有 ( 推论 1: 对 n 个正数 a1 , a2 ,..., an , 有( 例 3、
2 2 2 2 2 ⑴已知实数 a,b,c,d,t 满足 a ? b ? c ? d ? t ? 8 , a ? b ? c ? d ? t ? 16 , 求 t 的最大值。

? a )( ? a)
i i i i

1

? n2 ,当且仅当 a1 ? ... ? an 时取等号。

?a )
i i

2

当且仅当 a1 ? ... ? an 时取等号。 ? n(? ai 2 ) ,
i

⑵若正数 a,b,c,满足 a ? b ? c ? 1 ,求 (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) 的最小值。
2 2 2

1 a

1 b

1 c

例 4、设 p1 , p2 ,..., pn (n ? 2) ,是 1,2,…,n 的任意一个排列,求证:

1 1 1 1 n ?1 ? ? ... ? ? ? p1 ? p2 p2 ? p3 pn?2 ? pn?1 pn?1 ? pn n ? 2

2

排序不等式:设有两个数组: a1 ? a2 ? .... ? an ; b1 ? b2 ? .... ? bn ,令 S= a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn , S1 ? a1bi1 ? a2bi 2 ? ... ? anbin , S2 ? a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 , 则有 S ? S1 ? S2 ,当且仅当 a1 ? a2 ? .... ? an ; b1 ? b2 ? .... ? bn 时取等号。

例 5、证明

a12 b12 c12 ? ? ? a10 ? b10 ? c10 , a, b, c ? R ? bc ca ab

例 6、有 10 个人各拿一只水桶到水龙头前打水,他们所花的时间分别是 1 分钟,2 分钟, 3 分钟,…..,10 分钟,因为只有一个水龙头,所以他们得排队打水。问:怎样适当安排 他们的打水顺序,才能使这个排队等候打水的时间总和最小?最小多少?

3

例 7、设 a, b, c, d 都是正实数,证明不等式:

a b c d 2 ? ? ? ? b ? 2c ? 3d c ? 2d ? 3a d ? 2a ? 3b a ? 2b ? 3c 3

P? 例 8、 △ABC 三内角度数分别为 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c, 证明:

aA ? bB ? cC ? ? a?b?c 3

4


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