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直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系
相交 、_____ 相切 、_____. 相离 (1)三种位置关系:_____

(2)两种研究方法:

相交
相切 相离

相交 相切 相离

2 r 2 ? d2

2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12 (r1>0), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).
方 法
位置关系 外离 外切 相交 几何法:圆心距d与 r1,r2的关系 代数法:两圆方程联 立组成方程组的解的 情况

d >r1+r2 _________
d=r1+r2 _________ |r 1-r2|<d<r1+r2 ________________

无解 ______ 一组实数解 ___________
两组不同的实数解

方 法
位置关系 内切 内含

几何法:圆心距d与 r1,r2的关系 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2| (r1≠r2)

代数法:两圆方程联 立组成方程组的解的 情况

一组实数解 _____________
无解 _____

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分 条件.( )

(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆 外切.( ) )

(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交 .(

(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的 公共弦所在的直线方程.( )

(5)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A, B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.( )

【解析】(1)错误.当k=1时,圆心到直线的距离
d? 1 12 ? ? ?1?
2

2 此时直线与圆相交;若直线与圆相 ? ? 1 ? r, 2
2

交,则

k 12 ? ? ?1?

解得 ? 2 ? k ? 2. 所以,“k=1”是 ?1 ,

“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件,而非必

要不充分条件.
(2)错误.因为除外切外,还可能内切. (3)错误.因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值,否 则可能内切或内含.

(4)错误.只有当两圆相交时,方程才是公共弦所在的直线方程 . (5)正确.由已知可得O,P,A,B四点共圆,其方程为
(x ? x0 2 y x y ) ? (y ? 0 ) 2 ? ( 0 ) 2 ? ( 0 ) 2 , 即x 2 ? y 2 ? x 0 x ? y 0 y ? 0, 2 2 2 2

① ②

又圆O方程:x2+y2=r2,

②-①得:x0x+y0y=r2,而两圆相交于A,B两点,故直线AB的方程 是x0x+y0y=r2.

答案:(1)〓

(2)〓

(3)〓

(4)〓

(5)√

1.圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是(
(A)相切 (C)相交过圆心 (B)相交但直线不过圆心 (D)相离

)

【解析】选B.由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离
d? 2 ?1 ? 2 ? 5 2 ?1
2

? 5 ? 6. 且2〓1+(-2)-5≠0,因此该直线与圆相

交但不过圆心.

2.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+4y=0的位置关系是( (A)外离 (B)外切 (C)相交 (D)内切

)

【解析】选C.因为两圆的方程可化为(x-1)2+y2=1,x2+(y+2)2 =4,所以两圆圆心距 O1O 2 ? ?1 ? 0 ?2 ? ? 0 ? 2 ?2 ? 5, 两圆的半径 之差|r1-r2|=2-1=1,半径之和r1+r2=1+2=3.|r1-r2|<|O1O2|= 5 <r1+r2,故两圆相交.

3.圆x2+y2-4x=0在点 P(1 ,3) 处的切线方程为( (A)x+ 3 y-2=0 (B)x+ 3 y-4=0

)

(C)x- 3 y+4=0

(D)x- 3 y+2=0

【解析】选D.圆的方程可化为(x-2)2+y2=4,圆心坐标为(2,

0),半径为2,点P在圆上,设切线方程为 y ? 3 ? k ? x ? 1? , 即
kx-y-k+ 3 =0,
? 2k ? k ? 3 k2 ?1 ? 2, 解得k ? 3 . 3

?切线方程为x- 3 y+2=0.

4.已知点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r>0)内异于圆心的一点,则直
线x0x+y0y=r2与此圆的位置关系是________.

【解析】因为点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r>0)内的一点,所以
x02+y02<r2,圆心到直线x0x+y0y=r2的距离 d
? r2 x 0 2 ? y0 2 r2 ? ? r, r

所以直线与圆相离.
答案:相离

5.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点,则实数 m的取值范围是________. 【解析】将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为(x-1)2+(y+2)2=1,圆心坐标 为(1,-2),半径为1. 若直线与圆无公共点,则有
d? 3 ?1 ? 4 ? ? ?2 ? ? m 32 ? 42 m?5 ? ? 1, 5

?m<0或m>10. 答案:(-≦,0)∪(10,+≦)

考向 1

利用“几何法”研究直线与圆的位置关系

【典例1】(1)(2012·安徽高考)若直线x-y+1=0与圆C:(x-a)2 +y2=2有公共点,则实数a的取值范围是( (A)[-3,-1] (B)[-1,3] (C)[-3,1] (D)(-∞,-3]∪[1,+∞) )

(2)(2012·福建高考)直线x+ 3 y-2=0与圆O:x2+y2=4相交于
A,B两点,则弦AB的长度等于( )
3

?A? 2

5

? B? 2

3

?C?

? D ?1

(3)(2012·天津高考)设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与 圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是(
1 ? 3] ? A[ ? 1 ? 3, ? 1 ? 3, ??) ? B ? (??,1 ? 3][ ? C[ ? 2 ? 2 2, 2 ? 2 2 ] ? 2 ? 2 2, ??) ? D ? (??, 2 ? 2 2][

)

【思路点拨】(1)利用几何法.根据圆心到直线的距离不大于半
径构建不等式求解. (2)利用几何法,根据弦长 l ? 2 r 2 ? d2 求解. (3)先根据圆心到直线的距离等于半径,得到m,n的等量关系, 再利用基本不等式求解.

【规范解答】(1)选C.圆(x-a)2+y2=2的圆心C(a,0)到直线xy+1=0的距离为d, 则 d ? r ? 2, 即 a ? 1 ? 2, ?|a+1|≤2,
2

?-3≤a≤1.
(2)选B.圆x2+y2=4的圆心O(0,0)到直线 x ? 3y ? 2 ? 0 的距离
d? 0? 3?0 ? 2 12 ?

? 3?

2

? 1,

又圆的半径为r=2.
? AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 22 ? 12 ? 2 3.

(3)选D.因为直线与圆相切,所以d=r,
即 m ?1? n ?1? 2

? m ? 1? ? ? n ? 1?
2

2

? 1 ? mn ? m ? n ? 1,

? mn ? (

m?n 2 ) ,? m ? n ? 1 ? 2

?m ? n?
4

2

,

令m+n=t,则t2-4t-4≥0? t ? ??, 2 ? 2 2 ][ ? 2 ? 2 2, ?? .

?

?

【互动探究】过点P(2,4)引本例题(3)中圆的切线,则切线方 程如何?

【解析】当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,此时,圆
心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+42k=0,因为直线与圆相切,所以,圆心到直线的距离等于半 径,即 d ? k ? 1 ? 4 ? 2k ? 3 ? k ? 1, 解得 k ? 4 ,所以所求切线 2 2
k 2 ? ? ?1? k ?1
3

方程为 4 x ? y ? 4 ? 2 ? 4 ? 0, 即4x-3y+4=0.
3 3

所以切线方程为x=2或4x-3y+4=0.

【拓展提升】
1.几何法判断直线与圆的位置关系的流程

【提醒】如果能判断直线过定点,则可由定点到圆心的距离
(即点在圆内、圆上、圆外)判断直线与圆的位置关系.

2.求过一点且与圆相切的切线方程的方法及步骤 (1)方法:待定系数法. (2)步骤:①判断点是否在圆上,若在圆上,则有且只有一条 切线;若在圆外,则有且只有两条切线; ②设切线方程(一般设点斜式方程); ③利用圆心到直线的距离等于半径,求待定系数值; ④得切线方程.

【提醒】若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条,
则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上.

【变式备选】已知直线l:y=kx+1,圆C:(x-1)2+(y+1)2=12.
(1)试证明:不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点. (2)求直线l被圆C截得的最短弦长.

【解析】(1)因为不论k为何实数,直线l总过点A(0,1),而
AC ? 5 ? 2 3 ? R, 所以点A(0,1)在圆C的内部,即不论k为何

实数,直线l总经过圆C内部的定点A.所以不论k为何实数,直
线l和圆C总有两个交点.(2)由平面几何知识知过圆内定点

A(0,1)的弦,只有和AC垂直时才最短,而此时点A(0,1)为弦
的中点,由勾股定理,知弦长为 2 12 ? 5 ? 2 7, 即直线l被圆C 截得的最短弦长为 2 7.

考向 2

利用“代数法”研究直线与圆的位置关系

【典例2】(2013·贵阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆

x2+y2-12x+32=0的圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线与
圆Q相交于不同的两点A,B.

(1)求k的取值范围.
(2)以OA,OB为邻边作平行四边形OADB,是否存在常数k,使得

直线OD与PQ平行?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理
由.

【思路点拨】(1)将过点P(0,2)的直线方程与圆Q的方程联立
消去y,得关于x的一元二次方程,利用其判别式大于 0构建关 于k的不等式求解. (2)假设存在,利用 OD ? OA ? OB与PQ 共线,构建关于k的方程 求解.但需验证k的值是否在(1)中范围内.
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

【规范解答】(1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,所以圆心为Q(6, 0),过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y=kx+2, 代入圆方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0, 整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0. 直线与圆交于两个不同的点A,B等价于 Δ=[4(k-3)]2-4〓36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0, 解得 ? ? k ? 0, 即k的取值范围为 (? 3 , 0).
4 3 4



(2)假设存在常数k,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
??? ? ???? ??? ? OD ? OA ? OB ? (x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ),

由方程①,得
x1 ? x 2 ? ? 4 ? k ? 3? 1? k
2

.

② ③
??? ?

又y1+y2=k(x1+x2)+4. 而P(0,2),Q(6,0),PQ =(6,-2),

因为 OD ∥ PQ ,
所以 OA ? OB与PQ共线等价于 -2(x1+x2)=6(y1+y2), 即-(x1+x2)=3(y1+y2), 将②③代入上式,解得 k ? ? 3 . 由(1)知 k ? ( ? 3 ,0), 故不存在符合题意的常数k.
4
4

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

【拓展提升】
⒈代数法判断直线与圆的位置关系的三个步骤 (1)将直线方程与圆的方程联立,消去x(或y)得到关于y(或x) 的一元二次方程. (2)求上述方程的判别式,并判断其符号. (3)得出结论.

2.代数法求直线被圆截得的弦长
直线方程与圆的方程联立,消元转化为关于x的一元二次方 程,由根与系数的关系即可求得弦长 AB ? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |
? 1? k2

? x1 ? x 2 ?

2

? 4x1x 2 .

【变式训练】已知圆O:x2+y2=4内一点P(0,1),过点P的直线l
交圆O于A,B两点,且满足 AP ? ?PB (λ 为参数). (1)若|AB|= 14, 求直线l的方程. (2)若λ =2,求直线l的方程. (3)求实数λ 的取值范围.
??? ? ???

【解析】(1)当直线l的斜率不存在时,|AB|=4,不满足,故可 设所求直线l的方程为y=k1x+1, 代入圆的方程,整理得(1+k12)x2+2k1x-3=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1 ? x 2 ? ? 2k1 3 , x x ? ? , 1 2 2 2 1 ? k1 1 ? k1

又 AB ? 14,

利用弦长公式 1 ? k12 (? 2k1 )2 ? 4(? 2
1 ? k1

k1=〒1,故直线方程为y=x+1或y=-x+1.

3 ) ? 14 可求得 2 1 ? k1

??? ? ??? ??? ? 1 ??? (2)当直线l的斜率不存在时, AP ? 3PB或 AP ? PB ,不满足,故 3

可设所求直线l的方程为y=k2x+1. 代入圆的方程,整理得(1+k22)x2+2k2x-3=0,(*) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2为方程(*)的两根, 由 AP ? 2PB 可得x1=-2x2,
2k 2 ? x ? x ? ? x ? ? , 2 2 2 ? 1 1? k2 则有? ? ? x x ? ?2x 2 ? ? 3 , 1 2 2 2 ? 1 ? k 2 ? ① ②
??? ? ???

4k 2 2 1 15 ? , 解得 k ? ? . 2 2 2 3 ?1 ? k 2 ? 5 15 所以直线l的方程为 y ? ? x ? 1. 5

①2〔②得

(3)当直线l的斜率不存在时,
??? ? ??? ??? ? 1 ??? 1 AP ? 3PB或AP ? PB ,? ? 3或? ? , 3 3

当直线l的斜率存在时,可设所求直线l的方程为
y=k3x+1,

代入圆的方程,整理得(1+k32)x2+2k3x-3=0, (*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2为方程(*)的两根,

由 AP ? ?PB 可得x1=-λx2,

??? ?

???

2k 3 ? x ? x ? 1 ? ? x ? ? , ? ? 2 2 2 ? 1 1 ? k3 则有 ? ? ? x x ? ??x 2 ? ? 3 , 1 2 2 ? 1 ? k 32 ?

③ ④

4k 32 ? , 2 ? 3 ?1 ? k 3 ? 4k 32 4 4 4 而 ? ? ? [0, ), 2 2 3 3 3 1 ? k3 3 1 ? k3 2 1 ? ? ? ? 4 可解得 1 ? ? ? 3, 由 0? ? 3 ? 3 所以实数λ的取值范围为 1 ? ? ? 3. 3

③2〔④得

?1 ? ? ?

2

?

?

?

?

考向 3

圆与圆的位置关系

【典例3】(1)(2012·山东高考)圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2

+(y-1)2=9的位置关系为(
(A)内切 (B)相交

)
(C)外切 (D)外离

(2)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 3,
则a=______.

(3)已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:x2+y2+2x-2my+m23=0,若圆C1与圆C2相外切,则实数m=______.

【思路点拨】(1)利用几何法来判断,即判断两圆的圆心距与
两半径和、差的绝对值的关系. (2)两圆方程相减得公共弦所在的直线方程,再利用半径、弦 长的一半及弦心距构成的直角三角形求解 . (3)利用两圆外切得两圆圆心距等于两圆半径之和求解 .

【规范解答】(1)选B.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的圆 心距 d ? (?2 ? 2)2 ? (0 ? 1)2 ? 17,两圆半径和为5、差的绝对值 为1,所以 1 ? 17 ? 5,所以两圆相交. (2)两圆的方程相减,得公共弦所在的直线方程为 (x2+y2+2ay6)-(x2+y2)=0-4? y ? , 又a>0,结合图象,再利用半径、弦长 的一半及弦心距所构成的直角三角形,可知
1 ? 22 ? a
1 a

? 3?

2

? 1 ? a ? 1.

答案:1

(3)两圆的标准方程为(x-m)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-m)2=4,圆心
分别为C1(m,-2),C2(-1,m),半径分别为3,2. ≧圆C1与圆C2外切,?|C1C2|=3+2=5, 即: (m ? 1)2 ? (?2 ? m) 2 ? 5, 解得m=-5或2. 答案:-5或2

【拓展提升】 1.判断两圆位置关系的方法 常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关 系,一般不用代数法. 2.两圆公切线的条数

【变式训练】(2013·昆明模拟)两个圆:C1:x2+y2+2x+2y-2=0
与C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有( (A)1条 (B)2条 (C)3条 ) (D)4条

【解析】选B.由题知C1:(x+1)2+(y+1)2=4,则圆心C1(-1,-1),
C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心C2(2,1),两圆半径均为2,又
| C1C2 |? (2 ? 1) 2 ? (1 ? 1) 2 ? 13 ? 4, 则两圆相交?只有两条公切线.

【创新体验】直线与圆、圆与圆位置关系的创新命题 【典例】(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方 程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以 该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值为 _______.

【思路点拨】

【规范解答】圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,如图,直线y=kx2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有 公共点,只需保证圆心C到y=kx-2的距离不大于2即可.

圆心C(4,0)到直线y=kx-2的距离 d ?
1? k 解得 0 ? k ? 4 , 故k max ? 4 . 3 3 4 答案: 3

4k ? 2 (?1) ? k
2 2

?

4k ? 2 1? k
2

,

由题意知 4k ? 2 ? 2, 整理得3k2-4k≤0, 2

【思考点评】 1.方法感悟:本题充分体现了数形结合思想、转化与化归思想 在解题中的应用,即通过数形结合将问题转化为圆心 C到直线

的距离问题,进而得到关于k的不等式,从而确定出k的范围,
得出k的最大值,这种以“以形助解”探究解题思路的思想方

法值得我们仔细体会.

2.技巧提升:对于直线与圆、圆与圆位置关系的创新问题,解
题的关键是作出符合要求的示意图,通过数形结合将创新信息 转化为常规的直线与圆、圆与圆的位置关系,再利用处理直线 与圆、圆与圆的位置关系的方法来解决.

1.(2013·枣庄模拟)已知直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交 于M,N两点,若|MN|≥ 2 3, 则k的取值范围为( (A)[ ? , 0] (C)[ 2 ,2]
3 4 3 4 1] (D)[ ? 3 , 4 2

)

(B)[ ? , 1]

【解析】选A.|MN|≥2 3,半径为r=2,

圆心到直线的距离为d,
由d2+(
3k ? 1 MN 2 2 2 ? 1, 2+1, ) =r 且|MN|≥ 2 3 可知d≤1,即?9k +6k+1≤k 2 k2 ?1

8k2+6k≤0, ? ? ≤k≤0,故选A.
3 4

2.(2012·陕西高考)已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的 直线,则( (A)l与C相交 (C)l与C相离 ) (B)l与C相切 (D)以上三个选项均有可能

【解析】选A.方法一:圆C的方程是(x-2)2+y2=4, ?点P到圆心C(2,0)的距离d=1<2,?点P在圆C内部,?直线l 与圆C相交.

方法二:将点P的坐标代入圆的方程,得:32+02-4〓3=9-12= -3<0, ?点P(3,0)在圆内.?过点P的直线l与圆C相交.

3.(2013·平顶山模拟)若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q 两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为( )
2

?A? ?

3或 3

? B?

3

?C? ?

2或 2

? D?

【解析】选A. PQ ? 12 ? 12 ? 2 ?1?1? cos 120? ? 3, ?圆心到直线距离 d ? 12 ? ( 3 ) 2 ? 1 ,
2 2
? 0 ? 0 ?1 1? k2 1 ? , 得k ? ? 3. 2

4.(2012·江西高考)过直线x+y- 2 2 =0上点P作圆x2+y2=1的两 条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是______. 【解析】设P(x,y),则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角 为30°,则|PO|=2,
? ? x 2 ? y 2 ? 4, ? ? x ? 2, 由? 可得 ? ? ? y ? 2. ?x ? y ? 2 2 ?

答案: ( 2, 2)

5.(2012·天津高考)设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交

于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,
O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为______.

【解析】如图所示,在Rt△A′OB′中,
OA′=2,A′B′=1,

在Rt△A′OB′中,A′O2=A′B′2
+B′O2,

即 4 ? 1? (

1

m2 ? n 2 1 1 ? m 2 ? n 2 ? ? 2 mn , ? ? 6, ?S ? 3. 3 mn

)2,

答案:3

1.集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2},其中 r>0,若A∩B中有且仅有一个元素,则r的取值集合为( (A){3} (B){7} (C){3 ,7} (D){2,7} )

【解析】选C.由已知得圆O:x2+y2=4与圆C:(x-3)2+(y-4)2 =r2(r>0)相切,而 OC ? 32 ? 42 ? 5, ?当圆O与圆C外切时,|OC|=r+2=5,得r=3. 当圆O与圆C内切时,|OC|=r-2=5,得r=7. 综上r=3或7.

2.已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且 与直线4x+3y-29=0相切. (1)求圆的方程. (2)设直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取 值范围. (3)在(2)的条件下,是否存在实数a, 使得弦AB的垂直平分线l 过点P(-2,4),若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明

理由.

【解析】(1)设圆心为M(m,0)(m∈Z).

由于圆与直线4x+3y-29=0相切,且半径为5,所以
即|4m-29|=25.

4m ? 29 ? 5, 5

因为m为整数,故m=1.
故所求圆的方程为(x-1)2+y2=25.

(2)把直线ax-y+5=0,即y=ax+5代入圆的方程,消去y整理,得 (a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0. 由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,故Δ=4(5a-1)24(a2+1)>0. 即12a2-5a>0,由于a>0,解得 a ?
12 5 . 12

所以实数a的取值范围是 ( 5 , ? ?).

(3)设符合条件的实数a存在,由于直线l为弦AB的垂直平分 线,且直线AB斜率为a,则直线l的斜率为 ? . l的方程为 y ? ? ? x ? 2 ? ? 4, 即x+ay+2-4a=0, 由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上, 所以1+0+2-4a=0,解得 a ? . 由于
3 3 5 ? ( , ??), 故存在实数 a ? 使得过点P(-2,4)的直线l 4 4 12
3 4 1 a

1 a

垂直平分弦AB.


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