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等差数列与等比数列综合题测试题(含答案)(北京丰台二中张健)

《等差数列与等比数列》测试卷
北京丰台二中 张健
一.选择题 1.互不相等的三个正数 a 、 b 、 c 成等比数列,又 x 是 a 、 b 的等比中项, y 是 b 、 c 的等 比中项,那么 x 2 、 b2 、 y 2 三个数( ) A.成等差非等比数列 C.既成等差又成等比数列 B.成等比非等差数列 D.既不成等差也不成等比数列

2. (2004 湖北八校联考)等差数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列

?an ? 前 9 项和 S9 等于(
A.66 B.99

) C.144 D.297

(提示: a4 ? 13 , a6 ? 9 , S9 ?

9 ? a4 ? a6 ? ) 2

3. (2004 江苏溧阳中学高考模拟题)一张报纸,其厚度为 a,面积为 b,现将此报纸对折, (即沿对边中点的连线折叠)7 次,这时报纸的厚度和面积分别为( ) A. 8a, b

1 8

B. 64 a,

1 b 64

C. 128a,

1 b 128

D. 256a,

1 b 256

4. (2004 山西省试验中学高考模拟题) 已知等比数列 ?an ? 的公比为 q ? 0 , 前 n 项和为 Sn , 则 S4 a5 与 S5 a4 的大小关系是( ) A. S4 a5 ? S5a4 B. S4 a5 ? S5a4 C. S4 a5 ? S5a4 D.以上都不正确

5 . 在 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列

?an ?

中 , 若 a5 ? a6 ? 9 , 则

l o3 a g? 1
A.8

la g 3o ? 2
B.10

等 于( al a o g 3?o ? 3g ? ? ? 3 l ) 1 0 C.12 D. 2 ? log3 5

6.公差不为零的等差数列第二、三、六项构成等比数列,则公比为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二.填空题 7.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a4 , d ? 0 ,则使它的前 n 项和 Sn 取得最大值的自然 数 n=______. 8.等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且

An a 7n ? 1 ,则 n ? ______. ? Bn 4n ? 27 bn

9.在等比数列 ?an ? 中,已知 Sn ? 48 , S2 n ? 60 ,则 S3n ? ______.

10.某企业 2003 年 12 月份的产值是这年一月份产值的 p 倍,则该企业 2003 年年度产值的 月平均增长率是______. 三.解答题 11.项数都是 4n ? 1

? n ? N ? 的等差数列 ?a ? 与等比数列 ?b ? 的首项均为 a ? a ? 0? ,
*

n

n

且它们的末项相等,试比较中间项的大小.

12.一列火车自 A 城驶往 B 城,沿途有 n 个车站(包括起点站 A 和终点站 B) ,车上有一邮 政车厢, 每停靠一站便要卸下前面各站的邮袋一个, 同时又要装上该站发往后面各站的邮袋 各一个.设从第 k 站出发时,邮政车厢内共有 ak ( k =1,2,?,n)个邮袋.试求: (1)数列 ?ak ? 的通项公式; (2) k 为何值时, ak 最大?求出 ak 的最大值.

参考答案
一.选择题 1.A 2.B (提示: a4 ? 13 , a6 ? 9 , S9 ? 3.C 4.B 5.B 6.C 二.填空题 7.5 或 6 8. 三.解答题 11.[解析]设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则它们的中间项分别为 , b2n ? aq2n?1 a2n ? a ?( 2 n ?1 )d 由 a4n?1 ? b4n?1 得
(n 2 ? a ? 2 ? 2n ? 1 ? d ? a2 q 1)

9 ? a4 ? a6 ? ) 2

148 111

9.63 10. 11 p ? 1

∴ 2? ?a ? 2 ?

? aq ? 2n ? 1 d ? ? a ?
?
? a

2 n ?1 2

∴ 2a2 n ? a ? ∴ a2 n ? b2 n ?

b2 n 2 1 b2 n 2 ? a 2 ? 即 a2 n ? ? 2a a

1 ? b2n 2 ? a 2 ? ? b2n 2a 1 2 ? ? b2 n ? a ? ? 0 2a

当且仅当 bn ? a ,即 q ? 1 时,上式等号成立. 故当 q ? 1 时, a2 n ? b2 n ,当 q ? 1 时, a2 n ? b2 n .

[评析]将 a2 n 用 b2 n 表达是解答本题的关键; 作差后的配方是判断符号的需要, 也体现了 “集
中变量”这一重要的数学思想. 12. [解析]由题设知 a1 ? n ? 1 , a2 ? ? n ?1? ? ? n ? 2? ?1,

a3 ? ? n ? 1? ? 2 ? n? ?

? ?? n 3 ?

1 ? ,? ? 2

在第 k 站出发时,前面放上的邮袋共有 ? n ?1? ? ? n ? 2? ????? ? n ? k ? 个,而从第二 站起,每站放下的邮袋为 1 ? 2 ? ??? ? (k ? 1) 个. 故

a =(n-1)+(n-2)+…+(n-k)-*1+2+…(k-1)]
k

? k n ??1 ?2 ? ? ? ?k 1) ? ?? ? 1? 2 ? ? ?(k? ? ??
? kn ? k (k ? 1 ) k(? k 1) ? ? kn ? k 2 (k=1,2,3,?,n) 2 2
2

n ? n2 ? (2)由(1)知 ak ? ? ? k ? ? ? 2? 4 ?
若 n 为偶数,则当 k ?

n2 n 时, ak 的最大值为 2 4 n2 ? 1 n ?1 n ?1 或k ? , ak 的最大值为 . 2 2 4

若 n 为奇数,则当 k ?


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