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黑龙江省大庆铁人中学2012届高三期末考试试题(数学理)


大庆铁人中学第一学期高三期末考试试题



学(理科)
2012.01
y y

隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成 本为 6 万元. 该建筑物每年的能源消耗费用 C (单位: 万元) 与隔热层厚度 x(单 位:cm)满足关系: C ? x ? ?

考试时间 120 分钟

命题人

郭振亮
1

耗费用为 8 万元.设 f ? x ? 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f ? x ? 的表达式; (Ⅱ)隔热层修建多厚对,总费用 f ? x ? 达到最小,并求最小值. 19.(本小题满分 12 分) 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 4n ? 4 .
2

k ? 0 ? x ? 10 ? ,若不建隔热层,每年能源消 3x ? 5

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一. 选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.设集合 A ? {x | x ? 1 ? 0}, B ? {x | log 2 x ? 0} ,则 A∩B 等于
2

1
1
2?

O

x
2 2

O

1

2?

x

C
2

D

A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 0} C. {x | x ? ?1} D. {x | x ? 1或x ? ?1} 2.下列命题中,真命题的是 A. ?x ? [0,

10. 过点 A(a, a) 可作圆 x ? y ? 2ax ? a ? 2a ? 3 ? 0 的两条切线,则实数

?

2 2 C. ?x ? R, x ? x ? ?1

], sin x ? cos x ? 2

, ? ) , tan x ? sin x 2 2 D. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 x ? 3
B. ?x ? (
?

?

a 的取值范围为
3 A. a ? ?3 或 1 ? a ? 2
C. a ? ?3

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

3 B. 1 ? a ? 2
D. ?3 ? a ? 1或 a ?

an 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? 1 . n 2 4

20.(本小题满分 12 分)

3.已知 ?ABC 中, a ? 1, b ? A. 150
?

2 , B ? 45 ,则角 A 等于
?

? ? 4.已知各项均不为零的数列 {an } ,定义向量 cn ? (an , an ?1 ) , bn ? (n, n ? 1) ,
n ? N* . 下列命题中真命题是 A. 若 ?n ? N* 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等差数列

B. 90

C. 60

?

D. 30

?

3 2

已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的长轴长为 4 ,且点 (1, ) 在椭圆上. 2 2 a b

1+cos2x+8sin2x π 11.当 0<x< 时,函数 f(x)= 的最小值为 2 sin2x A.2 B.2 3 C.4 D.4 3
2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 过椭圆右焦点的直线 l 交椭圆于 A, B 两点, 若以 AB 为直径的圆过原点, 求直线 l 方程. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

B. 若 ?n ? N* 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 C. 若 ?n ? N* 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等差数列
*
[来源:学科网 ZXXK]

12.已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C : y ? 8 x 相交于 A, B 两点, F 为 C 的焦点,若 FA ? 2 FB .则 k ? A.

D. 若 ?n ? N 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等比数列

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 5.设 O 为坐标原点, A(1,1) ,若点 B( x, y ) 满足 ?1 ? x ? 2, ?1 ? y ? 2. ?
则 OA ? OB 取得最小值时,点 B 的个数是 A.1 B.2 C. 3 D.无数个

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

a( x ? 1) ,其中 a ? 0 . x2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分. 13.设向量 a ? (4 sin ? ,3), b ? (2,3 cos? ) ,且 a ∥ b ,则锐角 ? 为______.

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若直线 x ? y ? 1 ? 0 是曲线 y ? f ( x) 的切线,求实数 a 的值; (Ⅲ) g ( x) ? x ln x ? x f ( x) , g ( x) 在区间 [1, e ] 上的最大值. 设 求 (其中 e 为 自然对数的底数) 请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做, 则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, PA 为⊙ O 的切线, A 为切点, PBC 是 过点 O 的割线, PA ? 10 , PB ? 5 , ?BAC 的平分 线与 BC 和⊙ O 分别交于点 D 和 E .
2

6.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生 产.已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f (n) ?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 2

3 。 x ,则双曲线的离心率是 4 x 15.若偶函数 f (x) 满足 f ( x) ? 2 ? 4( x ? 0) ,则 f ( x ? 1) ? 0 的解集是 _____ 16.在数列 {an } 中,若 a1 ? 2 ,且对任意的正整数 p, q 都有 a p ? q ? a p a q ,
14.双曲线的渐近线方程为 y ? ? 则 a8 的值为 . 三. 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.(本小题满分 12 分) ? 在 ?ABC中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? (b, 2a ? c),

吨,但如果年产量超过 150 吨,会给环境造成危害.为保护环境,环保部门 应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 (A)5 年 (B)6 年 (C)7 年 (D)8 年 7.将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(-6,8)重合,则与点(-4,2)重合的点是 3 A.(4,-2) B. (4,-3) C. (3, ) D. (3,-1) 2
3

AB PA ; ? AC PC (II)求 AD ? AE 的值.
(I)求证: 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 1 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立

? ? ? n ? (cos B,cos C ) ,且 m / / n.
(1)求角 B 的大小; (2)设 f ( x) ? cos(? x ? ) ? sin ? x(? ? 0), 且f ( x) 的最小正周期为 ? ,

8.已知点 P 在曲线 y ? x ? 3x 上移动,在点 P 处的切线倾斜角为 ? , ? 的 则 取值范围是

? 5? ? 2? D. [0, ) ? [ ,? ) ,? ) 2 2 6 2 3 x 9. 在同一个坐标系中画出函数 y ? a , y ? sin ax 的部分图象,其
A. [0,

?

]

B. [

2? ,? ) 3

B 2

C. [0, ) ? [

求f ( x)在区间[0, ] 上的最大值和最小值. 2
18.(本小题满分 12 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和外墙需要建造

?

中 a ? 0且a ? 1 ,则下列所给图象中可能正确的是
y y

t ? ?x ? 1 ? 2 , ? 平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数). 3 ?y ? 2 ? t ? 2 ? (I)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; ? x ? ? 2 x, (II)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 得到曲线 C ? ,设曲线 C ? 上任一点为 ? y? ? y

M ( x, y) ,求 x ? 2 3 y 的最小值.

1

1 1
2?

O

x

O

1

2?

x

A

B

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 4 . (I)当 a ? 1 时,求 f (x) 的最小值; (II)如果对 ?x ? R, f ( x) ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

40 800 ? 6x ? ? 6 x(0 ? x ? 10) 6 分 3x ? 5 3x ? 5 2400 2400 (II) f ' ( x) ? 6 ? , 令f ' ( x) ? 0,即 ? 6, 2 (3x ? 5) (3x ? 5) 2 25 解得 x ? 5, x ? ? (舍去). 3 当 0 ? x ? 5 时, f ' ( x) ? 0, 当 5 ? x ? 10时, f ' ( x) ? 0. 800 故 x=5 是 f (x) 的最小值点,对应的最小值为 f (5) ? 6 ? 5 ? ? 70. 15 ? 5 f ( x) ? 20C ( x) ? C1 ( x) ? 20 ?
当隔热层修建 5cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元. (19)解:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 .
2

1 1 (n ? N* ) .综上, ? Tn ? 1(n ? N* ) . 12 分 4 4 x2 y 2 (20)解: (Ⅰ)由题意: 2a ? 4 , a ? 2 .所求椭圆方程为 ? ?1 . 4 b2 x2 3 又点 (1, ) 在椭圆上,可得 b ? 1 .所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1 . …4 分 2 4
故 Tn ? T2 ,即 Tn ?
2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? 4, b ? 1 ,所以 c ? 3 ,椭圆右焦点为 ( 3, 0) .

12 分
2

因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA ? OB ? 0 . 若直线 AB 的斜率不存在,则直线 AB 的方程为 x ? 3 . 直线 AB 交椭圆于 ( 3, ), ( 3, ? ) 两点, OA ? OB ? 3 ?

??? ??? ? ?

参考答案
一、选择题: ADDABC A CDACD 二.填空题: 13.

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? n ? 4n ? 4 ? ?n ? 1? ? 4?n ? 1? ? 4

?

?

? 4

14.

5 5 或 3 4

15.(-1,3)

16. 256

? 2n ? 5 . ∵ a1 ? 1 不适合上式, n ? 1, ? 1, ∴ an ? ? ?2n ? 5, n ? 2.
? 1 ,n ?1 an ? 2 ? (2)证明: ∵ bn ? n ? ? . 2n ? 5 2 ? ,n ? 2 ? 2n ? 1 当 n ? 1时, T1 ? , 2 1 ?1 1 2n ? 5 当 n ? 2 时, Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? , 2 2 2 2n 1 1 ?1 1 2n ? 7 2 n ? 5 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n?1 . 2 2 2 2 2n 2
①-②得:

1 2

1 2

??? ??? ? ?

1 ? 0 ,不合题意. 4

若直线 AB 的斜率存在,设斜率为 k ,则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) . 4分 由?

? y ? k ( x ? 3), ? ? x ? 4 y ? 4 ? 0, ?
2 2

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.解: (1)由 m // n , 得 b cosC ? (2a ? c) cos B,

可得 (1 ? 4k ) x ? 8 3k x ? 12k ? 4 ? 0 .
2 2 2 2

?b cosC ? c cos B ? 2a cos B. 正弦定得,
sin B cosC ? sin C cos B ? 2 sin A cos B,

由于直线 AB 过椭圆右焦点,可知 ? ? 0 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

? sin(B ? C ) ? 2 sin A cos B.
又 B ? C ? ? ? A, ?sin A ? 2 sin A cos B. 又 sin A ? 0,? cos B ?

8 3k 2 12k 2 ? 4 , x1 x2 ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

① ②

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 3] ?
所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 由 OA ? OB ? 0 ,即

?k 2 . 1 ? 4k 2

1 ? . 又 B ? (0, ? ),? B ? . 2 3

6分

??? ??? ? ?

12k 2 ? 4 ?k 2 11k 2 ? 4 ?( )? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

(2) f ( x) ? cos(? x ? ) ? sin ? x ? 由已知

? 6

3 3 ? cos ? x ? sin ? x ? 3 sin(? x ? ) 2 2 6

2?

?

? ? ,? ? ? 2. f ( x) ? 3 sin(2 x ? ]时,2 x ? ?

?
6

1 1 2 1 1 2n ? 5 Tn ? ? 2 ? 2( 3 ? ? ? n ) ? n?1 2 2 2 2 2 2 1 1 2n ? 5 ? (1 ? n?2 ) ? n?1 2 2 2 2n ? 1 得 Tn ? 1 ? …8 分 (n ? 2) , 2n 此式当 n ? 1时也适合. 2n ? 1 ∴ Tn ? 1 ? (n ? N * ) . n 2 2n ? 1 ∵ ? 0(n ? Ν* ) , n 2 ∴ Tn ? 1 . 10 分 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 3 当 n ? 2 时, Tn ?1 ? Tn ? (1 ? n ?1 ) ? (1 ? ) ? n?1 ? 0 , 2 2n 2 1 3 1 ∴ Tn ? Tn ?1 (n ? 2) . ∵ T1 ? , T2 ? 1 ? ? , 2 4 4 ∴ T2 ? T1 .

??? ??? ? ?

11k 2 ? 4 4 2 11 . ? 0 ,可得 k 2 ? , k ? ? 2 11 11 1 ? 4k
2 11 ( x ? 3) . 11
………………12 分

),

9分

所以直线 l 方程为 y ? ?

当 x ? [0,

?
2

?

? 7? ? 1 ? [ , ], sin(2 x ? ) ? [? ,1] 6 6 6 6 2
?
6
时, f ( x)取得最大值 3;

(21)解: (Ⅰ) f ?( x) ?

因此,当 2 x ? 当 2x ?

?
6

?
2

a(2 ? x) , x ? 0) ( ,……………1 分 x3

,即x ?

在区间 (??,0) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 . 所以, f ( x) 的单调递减区间是 (??,0) 和 (2, ??) , 单调递增区间是 (0, 2) . ………3 分

?
6

?

3 7? ? ,即x ? 时 , f ( x)取得最小值 ? 2 6 2

12 分

k 18.解:I) ( 设隔热层厚度为 x cm, 由题设, 每年能源消耗费用为 C ( x) ? , 3x ? 5 40 再由 C (0) ? 8, 得k ? 40,因此C ( x) ? , 3x ? 5 而建造费用为 C1 ( x) ? 6 x.
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为

a ( x0 ? 1) ? ? y0 ? x 2 0 ? ? (Ⅱ)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ? x0 ? y0 ? 1 ? 0 ? a (2 ? x ) 0 ? ?1 3 ? x0 ?
解得 x0 ? 1 , a ? 1 . ……………6 分

(Ⅲ) g ( x) ? x ln x ? a( x ? 1) ,则 g ?( x) ? ln x ? 1 ? a ,………7 分 解 g ?( x) ? 0 ,得 x ? e 所以,在区间 ( 0, e 在区间 ( e 当e
a?1
a?1 a?1

(II)∵ ?

a ?1



? x ? ? 2 x, ? y? ? y

) 上, g ( x) 为递减函数,

, ? ?) 上, g ( x) 为递增函数.………8 分

? 1 ,即 0 ? a ? 1时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递增函数,
…………9 分

所以 g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae . 当e
a?1

? e ,即 a ? 2 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递减函数,
………10 分

x? ? ( x ?) 2 ?x ? , ∴将 ? ? ( y ?) 2 ? 1 , 2 代入 C ,得 C ? : 4 ? y ? y? ? x2 即椭圆 C ? 的方程为 ? y 2 ? 1 . ………………….6 分 4 ? x ? 2 cos? , 设椭圆的 C ? 参数方程为 ? ( ? 为参数) ,….8 分 ? y ? sin ?

所以 g ( x) 最大值为 g (1) ? 0 . 当1 < e
a?1

x ? 2 3 y ? 2 cos? ? 2 3 sin ? ? 4 sin(? ?

?

< e ,即 1 ? a ? 2 时, g ( x) 的最大值为 g (e) 和 g (1) 中较大者; e , g (e) ? g (1) ? a ? e ? ae ? 0 ,解得 a ? e ?1 e 所以, 1 ? a ? 时, g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae , e ?1 e ? a ? 2 时, g ( x) 最大值为 g (1) ? 0 .…………12 分 e ?1 e 综上所述,当 0 ? a ? 时, g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae , e ?1 e 当a ? 时, g ( x) 的最大值为 g (1) ? 0 . …………12 分 e ?1
请考生在第(22)~(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分. 22.解: (I)∵ PA 为⊙ O 的切线, ∴ ?PAB ? ?ACP , …………………1 分 又 ?P 公用,∴ ?PAB ∽ ?PCA . …………2 分

6

) …….9 分

∴ x ? 2 3 y 的最小值为 ? 4 . ………….10 分 24.解: (I)根据题意将绝对值符号去掉得分段函数:

?5 ? 2 x( x ? 1), ? f ( x) ? ?3(1 ? x ? 4), ?2 x ? 5( x ? 4). ?

……….3 分

作出函数的图象如图, 由图象可知,函数 f (x) 的最小值为 3

……………..6 分

(II)∵对 ?x ? R , f ( x) ? 1 ,∴ x ? a ? x ? 4 ? 1对一切实数 x 恒成立. ∵

x ? a ? x ? 4 ? a ? x ? ( x ? 4) ? a ? 4

……8 分

∴ a ? 4 ? 1 ,∴ a ? 5 或 a ? 3 , ∴ a 的取值范围为 (??,3] ? [5,??) . …10 分

AB PA . ……………………………3 分 ? AC PC (II)∵ PA 为⊙ O 的切线, PBC 是过点 O 的割线, 2 ∴ PA ? PB ? PC . …………………………………5 分 又∵ PA ? 10 , PB ? 5 ,∴ PC ? 20 , BC ? 15 . ……6 分 AB PA 1 由(I)知, ? ? ,∵ BC 是⊙ O 的直径, AC PC 2 ? ∴ ?CAB ? 90 . 2 2 2 ∴ AC ? AB ? BC ? 225 , ∴ AC ? 6 5 , AB ? 3 5 …………………7 分 连结 CE ,则 ?ABC ? ?E ,…………………8 分 又 ?CAE ? ?EAB ,∴ ?ACE ∽ ?ADB , AB AD ∴ …………………………9 分 ? AE AC ∴ AD ? AE ? AB ? AC ? 3 5 ? 6 5 ? 90 .……………10 分
∴ 23.解: (I)直线 l 的方程为: 3 x ? y ? 2 ? 3 ? 0 .……2 分 曲线 C 的方程为: x ? y ? 1 …………..4 分
2 2


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