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2011年高考广东卷理科数学解析版


年高考(广东卷) 2011 年高考(广东卷)数学解析版 数学(理科) 数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分。满分 40 分.在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合 题目要求的. 1.设复数 z 满足(1+i)z=2,其中 i 为虚数单位,则 Z= A.1+i B.1-i C.2+2i D.2-2i

解析 : z =

2 2(1 ? i ) = = 1 ? i, 故选B. 1 + i (1 + i )(1 ? i )

2.已知集合 A={ (x,y)|x,y 为实数,且 x + y = 1 },B={(x,y) |x,y 为实数,且 y=x}, 则 A ∩ B
2 2

的元素个数为 A.0 B. 1 C.2 D.3

解析 : 集合A表示由圆x 2 + y 2 = 1上的所有点组成的集合; 集合B表示直线y = x上的所有点 组成的集体,由于直线经过圆内的点O(0,0), 故直线与圆有两个交点, 故选C.

3.若向量 a, b, c满足 a // b, 且a ⊥ c, 则c ? ( a + 2b) = A.4 B.3 C.2 D.0

解析 : c ? (a + 2b) = c ? a + c ? 2b = c ? a + 2c ? b = 0 + 0 = 0, 故选D.

4.设函数 f ( x ) 和 g(x )分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ( x ) +|g(x)|是偶函数 C.| f ( x ) | +g(x)是偶函数 B. f ( x ) -|g(x)|是奇函数 D.| f ( x ) |- g(x)是奇函数

解析:因为 g(x )是 R 上的奇函数,所以|g(x)|是 R 上的偶函数,从而 f ( x ) +|g(x)|是偶函数,故选 A.

?0 ≤ x ≤ 2 ? 5.已知平面直角坐标系 xOy 上的区 域 D 由不等式组 ? y ≤ 2 给定.若 M(x, y)为 D 上动点, A 的坐标 点 ? ? x ≤ 2y uuuu uuu r r 为( 2 ,1).则 z = OM ? OA 的最大值为
A. 4 2 B. 3 2
y

C.4

D.3
2 C B

解:如图,区域 D 为四边形 OABC 及其内部区域,

z = ( x, y ) ? ( 2 ,1) = 2 x + y, 即z为直线则y = ? 2 x + z 的纵截距, 显然当直线y = ? 2 x + z经过点B( 2 ,2)时, z取到最大值, 从而z max = ( 2 ) + 2 = 4, 故选C.
2

1

A 1 2 x

?1

O ?1

6 甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 A.

1 2

B.

3 5

C.

2 3

D.

3 4

解析 : 设A i (i = 1,2)表示继续比赛时,甲在第i局获胜; B事件表示甲队获得冠军, 则B = A 1 + A1 A2 ,∴ P ( B ) = P (A 1 ) + P ( A1 A2 ) = 1 1 1 3 + × = , 故选D. 2 2 2 4

7 如图l—3.某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是 矩形,则该几何体 的体积为

A. 6 3

B. 9 3

C. 12 3

D. 18 3

解析:由该几何体的三视图可各该几何体是一个平行六面体,底面是以 3 为边长的正方形,该六面体的高

2 2 ? 1 = 3 ,∴ 该几何体的体积为3 2 × 3 = 9 3 , 故选B.

8.设S是整数集Z的非空子集, 如果?a, b ∈ S , 有ab ∈ S , 则称S关于数的乘法是封闭的. 若T , V是Z 的两个不相交的非空子集, T U V = Z .且?a, b, c ∈ T , 有abc ∈ T , ?x, y, z ∈ V , 有xyz ∈ V . 则下列结论恒成立的是 : A. T, V中至少有一个关于乘法是封闭 C. T, V中有且只有一个关于乘法是封闭 B.T, V中至多有一个关于乘法是封闭 D.T, V中每一个关于乘法是封闭

解析 : 由于T U V = Z, 故整数1一定在T, V两个集合中的一个中, 不妨设1 ∈ T, 则?a, b ∈ T , 由于a, b,1 ∈ T , 则a ? b ? 1 ∈ T , 即ab ∈ T , 从而T对乘法封闭; 另一方面, 当T = {非负整数}, V = {负整数}时, T关于乘法封闭, V关于乘法不封闭, 故D不对; 当T = {奇数}, V = {偶数}时, T, V显然关于乘法都是封闭的, 故B, C不对. 从而本题就选A.
二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题.每小题 5 分.满分 30 分. (一)必做题(9—13 题)
[来源:Zxxk.Com]

9.不等式 x + 1 ? x ? 3 ≥ 0 的解集是______.

解析 : x + 1 ? x ? 3 ≥ 0 ? ( x + 1)2 ≥ ( x ? 3) 2 ,∴原不等式的解集为[1, +∞).
2 x

1 0. x ( x ? ) 7 的展开式中, x 的系数是______ (用数 字作答).
4

2 2 解析 : 所求x 4的系数即( x ? ) 7 展开式中x3项的系数, x ? ) 7 展开式的通项为 ( x x r 7? r ?1 r r r 7? 2 r Tr +1 = C7 x (?2 x ) = (?2) C7 x ,由7 ? 2r = 3得r = 2,∴ x 4的系数是( ?2) 2 C72 = 84.
11.等差数列 {an } 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 = 1, ak + a4 = 0 ,则 k =

.

(a1 + a9 )9 (a1 + a 4 )4 1 = ,∴ 9a5 = 2(a1 + a 4 ), 即9(1 + 4d) = 2(2 + 3d),∴ d = ? , 2 2 6 1 1 由1 ? (k ? 1) + 1 + 3 ? (? ) = 0得 : k = 10. 6 6 解法二 : S 9 = S 4 ,∴ a5 + a 6 + a 7 + a8 + a 9 = 0,∴ a 7 = 0, 从而a 4 + a10 = 2a 7 = 0,∴ k = 10. 解法一 : S 9 = S 4 , 即
12.函数 f ( x) = x3 ? 3 x 2 + 1 在 x =

处取得极小值.

解析 : f ' (x) = 3x 2 ? 6 x = 3x( x ? 2),∴ f ( x)的单调递增区间为 : (?∞,0), (2,+∞), 递减区间为(0,2), ∴ f ( x)在x = 2处取得极小值.

13.某数学老师身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm、和 182cm.因儿子的身高与 父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.

解析 : 根据题中所提供的信息, 可知父亲与儿子的对应数据可列表如下 :
父亲的身高(x) 儿子的身高(y) 173 170 170 176 176 182

x = 173, y = 176,∴ b =

∑ (x
i =1 3

3

i

? x)( yi ? y )
i

∑ (x
i =1

=

? x) 2

3× 6 = 1, a = y ? b x = 176 ? 173 = 1, (?3) 2 + 3 2

∴ 所以回归直线方程为y = x + 3, 从而可预测也他孙子的身高为182 + 3 = 185(cm).

(二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题) 14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 两 曲 线 参 数 方 程 分 别 为 ?

? x = 5 cos θ ? (0≤θ <π ) 和 ? y = sin θ ?

5 2 ? ?x = t 4 (t ∈ R) ,它们的交点坐标为 ? ?y = t ?

.

[来源:Zxxk.Com]

? x = 5 cos θ x2 ? 解析:将 ? (0≤θ <π )化为普通方程得 : + y 2 = 1(0 ≤ y ≤ 1, x ≠ ? 5), 5 ? y = sin θ ? 5 5 4 2 5 将x = t 2 , y = t 代入得: t 4 + t 2 ? 1 = 0, 解得t 2 = ,∴ t = (Q y = t ≥ 0), 4 16 5 5 5 5 4 2 5 x = t 2 = ? = 1,∴ 交点坐标为(1, ). 4 4 5 5
15.(几何证明选讲选做题)如图 4,过圆 O 外一点 P 分别作圆 的 切 线 和 割 线 交 圆 于 A, B , 且 PB = 7 , C 是 圆 上 一 点 使 得

BC = 5 ,则 AB =

.

解析 : PA是圆的切线,∴∠BAP = ∠BCA, 又∠BAC = ∠APB, AB PB ∴?BAP与?BCA相似, 从而 = , CB AB ∴ AB 2 = PB ? CB = 7 × 5 = 35,∴ AB = 35.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)

1 π 已知函数f ( x) = 2sin( x ? ), x ∈ R 3 6 5π (1)求f ( )的值; 4

π 10 6 ? π? (2)设α , β ∈ ?0, ? , f (3α + ) = , f (3β + 2π ) = , 求 cos(α + β )的值. 2 13 5 ? 2?

解 : (1) f (

5π 5π π π ) = 2 sin( ? ) = 2 sin = 2 . 4 12 6 4 π π 10 5 12 (2) f (3α + ) = 2 sin α = ,∴ sin α = ,Q α ∈ [0, ],∴ cos α = ; 2 13 13 2 13 π π 6 3 4 f (3β + 2π ) = 2 sin( β + ) = 2 cos β = ,∴ cos β = ,Q β ∈ [0, ],∴ sin β = . 2 5 5 2 5 12 3 5 4 16 ∴ cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β = ? ? ? = . 13 5 13 5 65

17.(本小题满分13分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件, 测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共98件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175且y≥75时,该产品为优等品,用上述样本数据估计乙厂生产的 优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随即抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ξ 的分布列及其均值 (即数学期望).

解 : (1)乙厂的产品数量为 :

98 × 5 = 35; 14 (2)从乙厂抽取的5件产品中, 编号为2,5的产品是优等品, 2 故可估计出乙厂生产的优等品的数量为 : × 35 = 14; 5 2 1 1 2 C3 C 2 C3 C2 3 6 1 (3)ξ可以取值 : 0,1,2 , P(ξ = 0) = 2 = , P(ξ = 1) = = , P(ξ = 2) = 2 = , 2 10 C 5 10 C5 C 5 10 故ξ其分布列为 :

ξ
P

0

1

2

1 10 3 6 1 4 ∴ ξ的数学期望为E(ξ ) = 0 × + 1 × + 2 × = . 10 10 10 5

3 10

6 10

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

18. (本小题满分 13 分) 如图 5,在椎体 P ? ABCD 中, ABCD 是边长 为 1 的棱形,且 ∠DAB = 60 , PA = PD =
0

2 , PB = 2,

E , F 分别是 BC , PC 的中点,
(1)证明: AD ⊥ 平面DEF ; (2)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值.

解 : (1)证明 : 设AD中点为H , 连接PH , BH , Q PA = PD,∴ PH ⊥ AD, 1 3 , AB = 1, ∠DAB = 60 0 , 可得出BH = , 2 2 从而AH 2 + BH 2 = AB 2 ,∴ AH ⊥ HB, 即AD ⊥ HB, AH = ∴ AD ⊥ 平面PHB, 又E , F分别是BC , BC的中点,∴ EF // PB,∴ EF // 平面PHB, 又显然BH // DE ,∴ DE // 平面PHB, 又DE , EF ? 平面DEF , DE I EF = E , ∴ 平面DEF // 平面PHB, Q AD ⊥ 平面PHB,∴ AD ⊥ 平面DEF .
(2)由(1)知, PH ⊥ AD, BH ⊥ AD, 且PH ? 面PAD, BH ? 面BAD, ∴ ∠PHB就是二面角P ? AD ? B的平面角, 1 7 3 PH = ( 2 ) 2 ? ( ) 2 = , BH = , PB = 2, 2 2 2 7 3 3 + ?4 ? PH 2 + BH 2 ? PB 2 3 21 ∴ cos∠PHB = = 4 4 = 2 =? =? , 2 PH ? BH 7 7 3 21 21 2× × 2 2 2 21 即二面角P ? AD ? B的余弦值为 ? . 7
注 : 本 题 也 可 以 AD, AB, AP为一组向量, 先算出PC =
H

5 , 继 而 可 证 明 第 (1) 问 , 并 可 进 一 步 得 到

AD,DE,DF 两两垂直 从而建立空间直角坐标系 再解决第 问.总的说来 本题用传统方法 还更简单 两两垂直,从而建立空间直角坐标系 再解决第(2)问 总的说来 本题用传统方法,还更简单 从而建立空间直角坐标系,再解决第 总的说来,本题用传统方法 还更简单.

19. (本小题满分 14 分) 设圆 C 与两圆 x + 5) + y = 4, x ? 5) + y = 4 中 的一个内切,另一个外切. ( (
2 2 2 2

(1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程. (2)已知点 M (

3 5 4 5 , ),F 5,0), P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及 ( 且 5 5

此时点 P 的坐标.

解 : (1)设F ' (? 5 ,0), F ( 5 ,0), 并设圆C的半径为r, 则 || CF ' | ? | CF ||=| (2 + r ) ? (r ? 2) |= 4, 又4 < 2 5 ,∴ C的圆心轨迹是以F ' , F为焦点的双曲线, 且a = 2, c = 5 , 从而b = 1, ∴ C的圆心轨迹L的方程为 : x2 ? y 2 = 1. 4
y 4 3 2 M 1 P

(2)如图, || MP | ? | FP ||≤| MF |= 2, 等号当且仅当P为直线MF与双曲线的 位于线段MF的延长线上的那个交点处取得, 直线MF的方程为 : 2x + y ? 2 5 = 0, 将直线方程代入双曲线方程中并整理得 : (3 5 x ? 14)( 5 x ? 6) = 0, x1 = 14 3 5 , x2 = 6 5 = 18 3 5 6 5 = > 14 3 5 ,
?3 ?2 ?1

O ?1

1

2 F P

3

4

5

x

∴ P点的横坐标应取

6 5 2 5 , 代入得其纵坐标为 ? , 5 5 2 5 6 5 , ). 5 5

综上所述, || MP | ? | FP || 的最大值为2, 此时点P的坐标为(?

20.(本小题满分 12 分) 设 b > 0, 数列 {an } 满足 a1 =b, an = (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n, an ≤

nban ?1 (n ≥ 2) , an ?1 + 2n ? 2

b n +1 +1 . 2n +1

解:(1)由an = 当b = 2时,

nban ?1 n 2 n ?1 1 可得 = ? + , an ?1 + 2n ? 2 an b an?1 b

n n ?1 1 n 1 1 1 n n = + , 则数列{ }是以 = 为首项, 为公差的等差数列,∴ = , 从而an = 2. 2 an an ?1 2 an a1 2 an 2

1 2 n ?1 1 n 当b ≠ 2时, + = ( + ), an 2 ? b b an ?1 2 ? b 则数列{ ∴ n 1 1 1 2 2 + }是以 + = 为首项, 为公比的等比数列, an 2 ? b a1 2 ? b b(2 ? b) b

1 2 2 1 2 nb n (2 ? b) n + = ? ( ) n ?1 = ? ( ) n ,∴ an = n n , 2?b b 2 ?b an 2 ? b b(2 ? b) b

(b = 2) ?2, ? n 综上an = ? nb (2 ? b) . (b > 0, b ≠ 2) ? n n ? 2 ?b

(2)当b=2时,an = 2,

b n+1 b n +1 +1 = 2,∴ an = n+1 +1,从而原不等式成立; 2n +1 2 n +1 b nb n (2 ? b) b n+1 n(2 ? b) b 1 当b ≠ 2时,要证an ≤ n +1 +1,只需证 n n ≤ n +1 +1,即证 n n ≤ n +1 + n , 2 2 ?b 2 2 ?b 2 b n b 1 ≤ n +1 + n , 即证 n ?1 n? 2 n ?3 2 n?2 n ?1 b 2 + 2 b + 2 b + L + 2b + b 2 n ?1 n?2 n ?3 2 2 2 2 2 1 b b b n ?1 b n 即证n ≤ n + n ?1 + n? 2 + L + 2 + + 2 + 3 + L + n + n +1 , b b b b b 2 2 2 2 n ?1 n n?2 n ?1 2 2 b 2 b 2 b 1 b 而上式左边=( n + n +1 ) + ( n ?1 + n ) + L + ( 2 + 3 ) + ( + 2 ) b 2 b 2 b 2 b 2 ≥2

2n ?1 b n 2n? 2 b n ?1 2 b2 1 b ? n+1 + 2 n ?1 ? n + L + 2 2 ? 3 + 2 ? 2 = n n b 2 b 2 b 2 b 2 ∴当b ≠ 2时, 原不等式也成立, 从而原不等式成立.

21.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy上, 给定抛物线L : y = 1 2 x .实数p, q满足p 2 ? 4q ≥ 0, x1 , x 2是方程 4 x 2 ? px + q = 0的两根, 记? ( p, q ) = max{| x1 |, | x 2 |}. 1 2 p 0 )( p 0 ≠ 0)作L的切线交y轴于点B.证明 : 对线段AB上的作一点Q( p, q ), 4 |p | 有? ( p , q ) = 0 ; 2

(1)过点A( p 0 ,

(2)设 M ( a, b) 是定点,其中 a , b 满足 a 2 ? 4b>0,a≠0 .过 M ( a, b) 作 L 的两条切线 l1 , l2 ,切点分别 为 E ( p1 ,

1 2 1 p1 ), E '( P2 , P2 2 ) , l1 , l2 与 y 分别交于 F , F ' .线段 EF 上异于两端点的点集记为 X .证明: 4 4 |P| M ( a, b) ∈ X ? P > P2 ? φ ( a, b) = 1 ; 1 2

? 1 5? (3)设D = ?( x, y ) y ≤ x ? 1, y ≥ ( x + 1)2 ? ? ,当点(p, q)取遍D时,求 4 4? ? ? p, q)的最小值(记为?min )和最大值(记为?max ). (
解 : (1)显然A( p 0 , 1 1 2 1 p 0 )在抛物线L上, y' = x, 故切线斜率为 p 0 , 4 2 2 1 2 1 1 1 2 ∴ 过点A的抛物线L的切线方程为 : y ? p 0 = p 0 ( x ? p 0 ), 即y = p 0 x ? p 0 , 4 2 2 4 1 1 2 若p 0 > 0, 则线段AB的方程为y = p 0 x ? p 0 (0 ≤ x ≤ p 0 ); 2 4 1 1 2 若p 0 < 0, 则线段AB的方程为y = p 0 x ? p 0 ( p 0 ≤ x ≤ 0). 2 4 又若p 2 ? 4q ≥ 0, 则方程x 2 ? px + q = 0的两根为 若Q(p, q)在线段AB上, 则q = p± p 2 ? 4q , 2

p ± | p ? p0 | 1 1 2 p 0 p ? p 0 , 从而p 2 ? 4q = ( p ? p 0 ) 2 ,∴ x1, 2 = , 2 4 2 p + p0 ? p p 0 | p 0 | 当p 0 > 0时,0 ≤ p ≤ p 0 , 则? (p, q) = max{| x1 |, | x 2 |} = = = ; 2 2 2
当p 0 < 0时, p 0 ≤ p ≤ 0, 则? (p, q) = max{| x1 |, | x 2 |} = | p ? | p 0 ? p || | p ? ( p ? p 0 ) | | p 0 | = . = 2 2 2 |p | 故对线段AB上的任一点Q(p, q), ? (p, q) = max{| x1 |, | x 2 |} = 0 . 2

(2) 夜深了 后两问明天再做. 夜深了,后两问明天再做 后两问明天再做


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