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第八章 圆锥曲线方程——轨迹问题(1)


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一.复习目标: 1.掌握求轨迹方程的两种基本方法——直接法和定义法; 2.掌握直接法求轨迹方程的基本步骤. 二.知识要点: 1.直接法求轨迹方程的一般步骤:建系—设点—列式—代换—化简—检验 2.用定义法求轨迹方程的基本思路是: (1)用曲线的定义判断轨迹的形状(定 型)(2)判断轨迹的位置(定位) ; (3)求曲线的基本量(定量)(4)写出 ; 轨迹方程. 三.课前预习: 1.已知点 A (? 2 , 0 ) 、 B (3,0 ) ,动点 P ( x , y ) 满足 PA ? PB ? x 2 ,则点 P 的轨迹是(D)
( A) 圆 ( B ) 椭圆 ( C ) 双曲线 ( D ) 抛物线

2. 若 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? | x ? y ? 3 |? 0 ,则点 M ( x , y ) 的轨迹是
( A) 圆 ( B ) 椭圆 ( C ) 双曲线

(C )

( D ) 抛物线

3.点 M 与点 F (4, 0) 的距离比它到直线 l : x ? 5 ? 0 的距离小 1 ,则点 M 的轨迹方 程是
y ? 16 x
2

4.一动圆与圆 x 2 ? y 2 ? 1 外切,而与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 ? 0 内切,则动圆圆心的轨
(x ? 3 2
?

) ?
2

4y 5

2

?1

迹方程是 5.已知椭圆
x
2

(右支)

y

2

4

3

? 1 的两个焦点分别是

F1,F2,P 是这个椭圆上的一个动点,

延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|F2P|,求 Q 的轨迹方程是 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 16 . 四.例题分析: 例 1.已知 ? ABC 中, | BC |? 2, 么图形.
BC 解: BC 所在直线为 x 轴, 中点 O 为原点建立直角坐标系, B ( ? 1, 0), C (1, 0) , 以 则

| AB | | AC |

? m ,求点 A 的 轨迹方程,并说明轨迹是什

设点 A 的坐标为 ( x , y ) ,由
2 2 2 2

| AB | | AC |
2

? m ,得:

( x ? 1) ? y
2

2 2

( x ? 1) ? y
2

? m ,化简得:

(1 ? m ) x ? (1 ? m ) y ? (2 ? 2 m ) x ? 1 ? m ? 0
2

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当 m ? 1 时,轨迹为直线 x ? 0 ;当 m ? 1 时,配方得: ( x ?

1? m 1? m

2 2

) ? y ?(
2 2

2m 1? m
2

)

2

(1) m ? 0 时,方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,轨迹为点 (1, 0) ; (2) m ? 0 时,轨迹是圆心为(
1? m
2 2

m ?1

,0 ) ,半径为 |

2m 1? m
2

| 的圆.

例 2.已知抛物线 C : y 2 ? 4 x ,若椭圆的左焦点及相应的准线与抛物线 C 的焦点 和准线分别重合, 求以椭圆短轴端点 B 与焦点 F 为两端点的线段中点 P 的轨迹方 程. 解 : 设 P ( x, y ) , 显 然 x ? 1 , 则 点 B 的 坐 标 为
y
( 1? 2x , 2 , 由 椭 圆 的 定 义 , 知 : y )

| BF | | BB ? |

?e ,
P

B

c ?| FO ? |?| OO ? | ? | OF |? 2( x ? 1)

, l

O

F

O1

x

a ?| FB |?

(2 x ? 2) ? (2 y ) ,
2 2

| BB ? |? (2 x ? 1) ? ( ? 1) ? 2 x ,



(2 x ? 2) ? (2 y )
2

2

2x

?

2( x ? 1) (2 x ? 2) ? (2 y )
2 2

化简得: y 2 ? x ? 1 ,∴ P 的轨迹方程为: y 2 ? x ? 1( x ? 0)
???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ? ?

例 3.已知两点 M ( ? 1, 0), N (1, 0) ,且点 P 时 MP ? MN , PM ? PN , NM ? NP 成公差小 于零的等差数列. (1)点 P 的轨迹是什么曲线?(2)若点 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) , 记 ? 为 P M 与 PN 的夹角,求 tan ? (用点 P 的坐标数值表示) . 解:设 P ( x , y ) ,∵ M ( ? 1, 0), N (1, 0) ,∴ PM ? ? MP ? ( ? 1 ? x , ? y ) ,
???? ??? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? PN ? ? NP ? (1 ? x , ? y ) , MN ? ? NM ? (2, 0) , ∴ M P ? M N ? 2( x ? 1) ???? ???? ? ???? ??? ? ? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ? ? 2 2 PM ? PN ? x ? y ? 1 , NM ? NP ? 2(1 ? x ) ,则 MP ? MN , PM ? PN , NM ? NP 成公差 ???? ? ????
???? ?

????

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1 ? 2 2 2 2 ?x ? y ? 3 ? x ? y ? 1 ? [2(1 ? x ) ? 2(1 ? x )] 小于零的等差数列等价于 ? ,即 ? 2 ?x ? 0 ? 2(1 ? x ) ? 2(1 ? x ) ? 0 ?

所以点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆. (2) P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) , 由 PM ? PN ? x 0 2 ? y 0 2 ? 1 ? 2 ,
1 4 ? x0
2
2

???? ???? ?

???? ???? ? PM ? PN 2 ? ? ∴ cos ? ? ???? ???? ? | PM || PN | 2 4 ? x 0 2

,∵ 0 ? x 0 ? 3 ,∴

1 2

? cos ? ? 1

∴0 ? ? ?

?
3

,∴ tan ? ?

sin ? cos ?

?

3 ? x0 ?| y 0 |

五.课后作业: 1.与两点 (? 3,0 ), (3,0 ) 距离的平方和等于 38 的点的轨迹方程是
( A ) x ? y ? 10
2 2


2



( B ) x ? y ? 10
2 2

( C ) x ? y ? 38
2 2

( D ) x ? y ? 38
2

2.与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 外切,又与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是(
( A) y ? 8 x
2



( B ) y ? 8 x ( x ? 0) 和 y ? 0
2

( C ) y ? 8 x ( x ? 0)
2

( D ) y ? 8 x ( x ? 0) 和 y ? 0( x ? 0)
2

3.到点(? 1,0 ) 的距离与到直线x ? 3 的距离相等的点的轨迹方程为
( A) x ? ?4 y ? 4
2


2



( B ) x ? ?8 y ? 8
2

(C ) y ? ? 4 x ? 4
2

( D ) y ? ?8 x ? 8

4.动圆与 x 轴相切,且与直线 y ? x 相交所得的弦长为 2 ,则动圆圆心的轨迹方 程为 5.长为 2a 的线段 AB 的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上运动,则 AB 中点的轨迹方 程为 6.已知直线 l:y=k(x-5)及圆 C:x2+y2=16. (1)若直线 l 与圆 C 相切,求 k 的值; (2)若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,求当 k 变动时,弦 AB 的中点的轨迹.

7.已知两直线 l1:2x-3y+2=0,l2:3x-2y+3=0,有一动圆 M(圆心和半径 都在变动)与 l1,l2 都相交,并且截 l1,l2 所得的弦长分别是定值 26 和 24,求圆 心 M 的轨迹方程.
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8.过 M(1,3)作两条互相垂直的直线 l1 和 l2,l1 与 x 轴交于 A 点,l2 与 y 轴交 于 B 点,求线段 AB 中点的轨迹.

9.求与两定圆 x2+y2=1,x2+y2-8x-33=0 都相切的动圆圆心的轨迹方程 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

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