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【步步高】2014-2015学年高中数学 第二章 数列习题课(2)导学案新人教A版必修5


【步步高】2014-2015 学年高中数学 第二章 数列习题课(2) 新人教 A 版必修 5
课时目标 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式; 2.掌握数列求和的几种基本方法.

1.等差数列的前 n 项和公式:Sn=

n?a1+an?

2 2.等比数列前 n 项和公式: (1)当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq (2)当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q

=na1+

n?n-1? d.
2

3.数列{an}的前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+…+an,则 an=? 4.拆项成差求和经常用到下列拆项公式: 1 1 1 (1) = - ; n?n+1? n n+1 1 1 1 1 (2) = ( - ); ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1 1 (3) = n+1- n. n+ n+1

?S1 ? ?Sn-Sn-1 ?

n=1 n≥2

.

一、选择题 1.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= A.1 答案 解析 B ∵an= 5 B. 6 1 C. 6 1

n?n+1?

,则 S5 等于(

)

1 D. 30

1 1 1 = - , n?n+1? n n+1 1 1 1 1 1 ∴S5=(1- )+( - )+…+( - ) 2 2 3 5 6 1 5 =1- = . 6 6 1 2.数列{an}的通项公式 an= ,若前 n 项的和为 10,则项数为( n+ n+1 A.11 B.99 C.120 D.121 答案 C 1 解析 ∵an= = n+1- n, n+ n+1 ∴Sn= n+1-1=10,∴n=120. 1 1 1 1 3.数列 1 ,2 ,3 ,4 ,…的前 n 项和为( 2 4 8 16 1 2 1 1 1 A. (n +n+2)- n B. n(n+1)+1- n-1 2 2 2 2

)

)

1 2 1 1 1 C. (n -n+2)- n D. n(n+1)+2(1- n) 2 2 2 2 答案 A 1 1 1 1 解析 1 +2 +3 +…+(n+ n) 2 4 8 2 1 1 1 =(1+2+…+n)+( + +…+ n) 2 4 2 1 1 ?1- n? 2 n?n+1? 2 = + 2 1 1- 2 1 2 1 = (n +n)+1- n 2 2 1 2 1 = (n +n+2)- n. 2 2 a1+a2+a3+…+an 4.已知数列{an}的通项 an=2n+1,由 bn= 所确定的数列{bn}的前 n

n

项之和是(

) 1 B. n(n+4) 2 1 C. n(n+5) 2 1 D. n(n+7) 2

A.n(n+2) 答案 解析 C

n a1+a2+…+an= (2n+4)=n2+2n.
2

∴bn=n+2,∴bn 的前 n 项和 Sn=

n?n+5?
2
n-1

.

5.已知 Sn=1-2+3-4+…+(-1) n,则 S17+S33+S50 等于( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 答案 B 解析 S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17=9, S33=(1-2)+(3-4)+…+(31-32)+33=17, S50=(1-2)+(3-4)+…+(49-50)=-25, 所以 S17+S33+S50=1. 6.数列{an}满足 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 那么 an 等于( ) n n-1 n n A.2 -1 B.2 -1 C.2 +1 D.4 -1 答案 A n-1 n-1 解析 由于 an-an-1=1×2 =2 , 那么 an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1) n-1 n =1+2+…+2 =2 -1. 二、填空题 7. 一个数列{an}, 其中 a1=3, a2=6, an+2=an+1-an, 那么这个数列的第 5 项是________. 答案 -6 2an 8.在数列{an}中,an+1= ,对所有正整数 n 都成立,且 a1=2,则 an=______. 2+an 2 答案

n

2an 1 1 1 ∵an+1= ,∴ = + . 2+an an+1 an 2 ?1? 1 ∴? ?是等差数列且公差 d= . 2 ?an? 解析

1 1 1 1 n-1 n ∴ = +(n-1)× = + = , an a1 2 2 2 2 2 ∴an= .

n

9.在 100 内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和是________. 答案 1 473 33×?3+99? 解析 100 内所有能被 3 整除的数的和为:S1=3+6+…+99= =1 683. 2 100 内所有能被 21 整除的数的和为:S2=21+42+63+84=210. ∴100 内能被 3 整除不能被 7 整除的所有正整数之和为 S1-S2=1 683-210=1 473. 1 10.数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 a1=1,an+1= Sn (n≥1),则 an=____________. 3 1, n=1 ? ? 答案 ?1 ?4?n-2 ·? ? , n≥2 ? ?3 ?3? 解析

an+1= Sn,an+2= Sn+1,

1 3

1 3

1 1 ∴an+2-an+1= (Sn+1-Sn)= an+1, 3 3 4 ∴an+2= an+1 (n≥1). 3 1, n=1 ? ? 1 1 ∵a2= S1= ,∴an=?1 ?4?n-2 3 3 ·? ? , n≥2 ? ?3 ?3? .

三、解答题 11.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 * (2)令 bn= 2 (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1 解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. ? ?a1+2d=7, 因为 a3=7,a5+a7=26,所以? ?2a1+10d=26, ? 解得?
? ?a1=3, ?d=2. ?

所以 an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+
2

n?n-1?
2

×2=n +2n.

2

所以,an=2n+1,Sn=n +2n. (2)由(1)知 an=2n+1, 1 1 1 1 所以 bn= 2 = = · an-1 ?2n+1?2-1 4 n?n+1? 1 ? 1 ?1 = ·? - ?, 4 ?n n+1? 1 1 1 1 1 1 所以 Tn= ·(1- + - +…+ - ) 4 2 2 3 n n+1 1 1 n = ·(1- )= , 4 n+1 4?n+1? 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= . 4?n+1?

n

12.设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3·2 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2n 解 (1)由已知,当 n≥1 时,an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(2 -1 2n-3 2(n+1)-1 +2 +…+2)+2=2 . 2n-1 而 a1=2,符合上式,所以数列{an}的通项公式为 an=2 . 2n-1 (2)由 bn=nan=n·2 知 Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1, ① 2 3 5 7 2n+1 从而 2 ·Sn=1·2 +2·2 +3·2 +…+n·2 . ② 2 3 5 2n-1 2n+1 ①-②得(1-2 )Sn=2+2 +2 +…+2 -n·2 , 1 2n+1 即 Sn= [(3n-1)2 +2]. 9 能力提升 ? 1? 13.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln?1+ ?,则 an 等于( )

2n-1

?

n?

A.2+ln n 答案 A 解析

B.2+(n-1)ln n

C.2+nln n

D.1+n+ln n

n? n+1 ? 1? ∴an+1-an=ln?1+ ?=ln =ln(n+1)-ln n. n ? n? 又 a1=2, ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2+[ln 2-ln 1+ln 3-ln 2 +ln 4-ln 3+…+ln n-ln(n-1)]=2+ln n-ln 1=2+ln n.
1 2 14.已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn= (an+1) ,求{an}的通项公式. 4 1 2 解 当 n=1 时,a1=S1,所以 a1= (a1+1) , 4 解得 a1=1. 1 1 1 2 2 2 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= (an+1) - (an-1+1) = (an-an-1+2an-2an-1), 4 4 4 2 2 ∴an-an-1-2(an+an-1)=0, ∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0. ∵an+an-1>0,∴an-an-1-2=0. ∴an-an-1=2. ∴{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. ∴an=1+2(n-1)=2n-1.

? 1? ∵an+1=an+ln?1+ ?, ?

1.递推公式是表示数列的一种重要方法.由一些简单的递推公式可以求得数列的通项 公式.其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法. 2.求数列前 n 项和,一般有下列几种方法:错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并 项等,学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法.


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