【步步高】2014-2015学年高中数学 第二章 数列习题课(2)导学案新人教A版必修5

【步步高】2014-2015 学年高中数学 第二章 数列习题课（2） 新人教 A 版必修 5
课时目标 1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式； 2．掌握数列求和的几种基本方法．

1．等差数列的前 n 项和公式：Sn＝

n?a1＋an?

2 2．等比数列前 n 项和公式： (1)当 q＝1 时，Sn＝na1； a1?1－qn? a1－anq (2)当 q≠1 时，Sn＝ ＝ . 1－q 1－q

＝na1＋

n?n－1? d.
2

3．数列{an}的前 n 项和 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则 an＝? 4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式： 1 1 1 (1) ＝ － ； n?n＋1? n n＋1 1 1 1 1 (2) ＝ ( － )； ?2n－1??2n＋1? 2 2n－1 2n＋1 1 (3) ＝ n＋1－ n. n＋ n＋1

?S1 ? ?Sn－Sn－1 ?

n＝1 n≥2

.

一、选择题 1．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝ A．1 答案 解析 B ∵an＝ 5 B. 6 1 C. 6 1

n?n＋1?

，则 S5 等于(

)

1 D. 30

1 1 1 ＝ － ， n?n＋1? n n＋1 1 1 1 1 1 ∴S5＝(1－ )＋( － )＋…＋( － ) 2 2 3 5 6 1 5 ＝1－ ＝ . 6 6 1 2．数列{an}的通项公式 an＝ ，若前 n 项的和为 10，则项数为( n＋ n＋1 A．11 B．99 C．120 D．121 答案 C 1 解析 ∵an＝ ＝ n＋1－ n， n＋ n＋1 ∴Sn＝ n＋1－1＝10，∴n＝120. 1 1 1 1 3．数列 1 ，2 ，3 ，4 ，…的前 n 项和为( 2 4 8 16 1 2 1 1 1 A. (n ＋n＋2)－ n B. n(n＋1)＋1－ n－1 2 2 2 2

)

)

1 2 1 1 1 C. (n －n＋2)－ n D. n(n＋1)＋2(1－ n) 2 2 2 2 答案 A 1 1 1 1 解析 1 ＋2 ＋3 ＋…＋(n＋ n) 2 4 8 2 1 1 1 ＝(1＋2＋…＋n)＋( ＋ ＋…＋ n) 2 4 2 1 1 ?1－ n? 2 n?n＋1? 2 ＝ ＋ 2 1 1－ 2 1 2 1 ＝ (n ＋n)＋1－ n 2 2 1 2 1 ＝ (n ＋n＋2)－ n. 2 2 a1＋a2＋a3＋…＋an 4．已知数列{an}的通项 an＝2n＋1，由 bn＝ 所确定的数列{bn}的前 n

n

项之和是(

) 1 B. n(n＋4) 2 1 C. n(n＋5) 2 1 D. n(n＋7) 2

A．n(n＋2) 答案 解析 C

n a1＋a2＋…＋an＝ (2n＋4)＝n2＋2n.
2

∴bn＝n＋2，∴bn 的前 n 项和 Sn＝

n?n＋5?
2
n－1

.

5．已知 Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1) n，则 S17＋S33＋S50 等于( ) A．0 B．1 C．－1 D．2 答案 B 解析 S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9， S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17， S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25， 所以 S17＋S33＋S50＝1. 6．数列{an}满足 a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 那么 an 等于( ) n n－1 n n A．2 －1 B．2 －1 C．2 ＋1 D．4 －1 答案 A n－1 n－1 解析 由于 an－an－1＝1×2 ＝2 ， 那么 an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1) n－1 n ＝1＋2＋…＋2 ＝2 －1. 二、填空题 7． 一个数列{an}， 其中 a1＝3， a2＝6， an＋2＝an＋1－an， 那么这个数列的第 5 项是________． 答案 －6 2an 8．在数列{an}中，an＋1＝ ，对所有正整数 n 都成立，且 a1＝2，则 an＝______. 2＋an 2 答案

n

2an 1 1 1 ∵an＋1＝ ，∴ ＝ ＋ . 2＋an an＋1 an 2 ?1? 1 ∴? ?是等差数列且公差 d＝ . 2 ?an? 解析

1 1 1 1 n－1 n ∴ ＝ ＋(n－1)× ＝ ＋ ＝ ， an a1 2 2 2 2 2 ∴an＝ .

n

9．在 100 内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和是________． 答案 1 473 33×?3＋99? 解析 100 内所有能被 3 整除的数的和为：S1＝3＋6＋…＋99＝ ＝1 683. 2 100 内所有能被 21 整除的数的和为：S2＝21＋42＋63＋84＝210. ∴100 内能被 3 整除不能被 7 整除的所有正整数之和为 S1－S2＝1 683－210＝1 473. 1 10．数列{an}中，Sn 是其前 n 项和，若 a1＝1，an＋1＝ Sn (n≥1)，则 an＝____________. 3 1， n＝1 ? ? 答案 ?1 ?4?n－2 ·? ? ， n≥2 ? ?3 ?3? 解析

an＋1＝ Sn，an＋2＝ Sn＋1，

1 3

1 3

1 1 ∴an＋2－an＋1＝ (Sn＋1－Sn)＝ an＋1， 3 3 4 ∴an＋2＝ an＋1 (n≥1)． 3 1， n＝1 ? ? 1 1 ∵a2＝ S1＝ ，∴an＝?1 ?4?n－2 3 3 ·? ? ， n≥2 ? ?3 ?3? .

三、解答题 11．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn； 1 * (2)令 bn＝ 2 (n∈N )，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an－1 解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d. ? ?a1＋2d＝7， 因为 a3＝7，a5＋a7＝26，所以? ?2a1＋10d＝26， ? 解得?
? ?a1＝3， ?d＝2. ?

所以 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋
2

n?n－1?
2

×2＝n ＋2n.

2

所以，an＝2n＋1，Sn＝n ＋2n. (2)由(1)知 an＝2n＋1， 1 1 1 1 所以 bn＝ 2 ＝ ＝ · an－1 ?2n＋1?2－1 4 n?n＋1? 1 ? 1 ?1 ＝ ·? － ?， 4 ?n n＋1? 1 1 1 1 1 1 所以 Tn＝ ·(1－ ＋ － ＋…＋ － ) 4 2 2 3 n n＋1 1 1 n ＝ ·(1－ )＝ ， 4 n＋1 4?n＋1? 即数列{bn}的前 n 项和 Tn＝ . 4?n＋1?

n

12．设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·2 . (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2n 解 (1)由已知，当 n≥1 时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(2 －1 2n－3 2(n＋1)－1 ＋2 ＋…＋2)＋2＝2 . 2n－1 而 a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为 an＝2 . 2n－1 (2)由 bn＝nan＝n·2 知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1， ① 2 3 5 7 2n＋1 从而 2 ·Sn＝1·2 ＋2·2 ＋3·2 ＋…＋n·2 . ② 2 3 5 2n－1 2n＋1 ①－②得(1－2 )Sn＝2＋2 ＋2 ＋…＋2 －n·2 ， 1 2n＋1 即 Sn＝ [(3n－1)2 ＋2]． 9 能力提升 ? 1? 13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln?1＋ ?，则 an 等于( )

2n－1

?

n?

A．2＋ln n 答案 A 解析

B．2＋(n－1)ln n

C．2＋nln n

D．1＋n＋ln n

n? n＋1 ? 1? ∴an＋1－an＝ln?1＋ ?＝ln ＝ln(n＋1)－ln n. n ? n? 又 a1＝2， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2 ＋ln 4－ln 3＋…＋ln n－ln(n－1)]＝2＋ln n－ln 1＝2＋ln n.
1 2 14．已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn＝ (an＋1) ，求{an}的通项公式． 4 1 2 解 当 n＝1 时，a1＝S1，所以 a1＝ (a1＋1) ， 4 解得 a1＝1. 1 1 1 2 2 2 2 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ (an＋1) － (an－1＋1) ＝ (an－an－1＋2an－2an－1)， 4 4 4 2 2 ∴an－an－1－2(an＋an－1)＝0， ∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. ∵an＋an－1>0，∴an－an－1－2＝0. ∴an－an－1＝2. ∴{an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列． ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

? 1? ∵an＋1＝an＋ln?1＋ ?， ?

1．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项 公式．其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法． 2．求数列前 n 项和，一般有下列几种方法：错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并 项等，学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法．