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直线、平面平行的判定及其性质


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私塾国际学府学科教师辅导教案
组长审核:
学员编号:sszk 学员姓名:牛文豪
授课主题 教学目的 教学重点 授课日期及时段 2016 年 4 月 25 日第二十五次课 教学内容 19:00~21:00



级:高三 辅导科目: 数学

课 时 数: 3 学科教师: 程晓波
直线、平面平行的判定及其性质

1.直线与平面平行的定义 直线与平面没有公共点,叫做直线与平面平行. 2.平面与平面平行的定义 如果两个平面没有公共点,叫做两个平面平行 [必备知识] 1.直线与平面平行的判定定理 自然语言:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.简称:线线平行,则线面平 行. 符号语言:a?α,b?α,且 a∥b?a∥α. [提醒] 在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误. 2.直线与平面平行的性质定理 自然语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简称:线面平 行,则线线平行. 符号语言:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b. [提醒] 一条直线平行于一个平面,它可以与平面内的无数条直线平行,但这条直线与平面内的任意一条直线 可能平行,也可能异面. [必备知识] 1.平面与平面平行的判定定理
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自然语言:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行. 简称:线面平行,则面面平行. 符号语言:a?α,b?α,a∩b=P,a∥β,b∥β?α∥β. [提醒] (1)如果一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行,则这两个平面相交或平行. (2)要证面面平行需证线面平行,要证线面平行需证线线平行,因此“面面平行”问题最终可转化为“线线平 行”问题. 2.平面与平面平行的性质定理 自然语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.简称:面面平行,则线线平行. 符号语言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b. [提醒] 平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法,注意一定是第三个平面与两 平行平面相交,其交线平行.

直线、平面平行的判定及其性质

考点一 平行关系的基本问题 [题组练透] 1.(2015· 嘉兴月考)对于空间的两条直线 m,n 和一个平面 α,下列命题中的真命题是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥α,n?α,则 m∥n C.若 m∥α,n⊥α,则 m∥n D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n 解析:选 D 对 A,直线 m,n 可能平行、异面或相交,故 A 错误;对 B,直线 m 与 n 可能平行,也可能异 面,故 B 错误;对 C,m 与 n 垂直而非平行,故 C 错误;对 D,垂直于同一平面的两直线平行,故 D 正确. 2.(2015· 潍坊模拟)已知 m,n,l1,l2 表示直线,α,β 表示平面.若 m?α,n?α,l1?β,l2?β,l1∩l2=M, 则 α∥β 的一个充分条件是( A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥l2 ) B.m∥β 且 n∥β D.m∥l1 且 n∥l2 )

解析:选 D 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行”可得, 由选项 D 可推知 α∥β,因此选 D.
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3.过三棱柱 ABCA1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的直线共有________条. 解析:过三棱柱 ABCA1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,记 AC,BC,A1C1,B1C1 的中点分别为 E,F,E1, F1,则直线 EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1 均与平面 ABB1A1 平行,故符合题意的直线共 6 条. 答案:6 [类题通法] 解决有关线面平行,面面平行的判定与性质的基本问题要注意: (1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的条件中线在面外易忽视. (2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. (3)会举反例或用反证法推断命题是否正确. 考点二 直线与平面平行的判定与性质 [一题多变] [典型母题] (2015· 南通模拟)如图所示,斜三棱柱 ABCA1B1C1 中,点 D,D1 分 别为 AC,A1C1 上的中点. (1)证明 AD1∥平面 BDC1. (2)证明 BD∥平面 AB1D1. [证明] (1)∵D1,D 分别为 A1C1 与 AC 的中点, 四边形 ACC1A1 为平行四边形,∴C1D1 綊 DA, ∴四边形 ADC1D1 为平行四边形,∴AD1∥C1D, 又 AD1?平面 BDC1,C1D?平面 BDC1, ∴AD1∥平面 BDC1. (2)连接 D1D, ∵BB1∥平面 ACC1A1,BB1?平面 BB1D1D,平面 ACC1A1∩平面 BB1D1D=D1D,∴BB1∥D1D, 又 D1,D 分别为 A1C1AC 中点, ∴BB1=DD1, 故四边形 BDD1B1 为平行四边形, ∴BD∥B1D1, 又 BD?平面 AB1D1,B1D1?平面 AB1D1, ∴BD∥平面 AB1D1.

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[题点发散 1] 将本例条件“D1,D 分别为 AC,A1C1 上的中点”变为“D1,D 分别为 AC,A1C1 上的点”. 试问当 A1D1 等于何值时,BC1∥平面 AB1D1? D1C1

A1D1 解:如图,取 D1 为线段 A1C1 的中点,此时 =1, D1C1 连接 A1B 交 AB1 于点 O,连接 OD1, 由棱柱的性质知四边形 A1ABB1 为平行四边形, ∴O 为 A1B 的中点. 在△A1BC1 中,点 O,D1 分别为 A1B,A1C1 的中点, ∴OD1∥BC1,又 OD1?平面 AB1D1,BC1?平面 AB1D1, ∴BC∥平面 AB1D1 A1D1 ∴当 =1 时,BC1∥平面 AB1D1. D1C1 [题点发散 2] 将本例条件“D,D1 分别为 AC,A1C1 上的中点”变为“D,D1 分别为 AC,A1C1 上的点且平面 BC1D∥平面 AB1D1”, AD 试求 的值. DC 解:由平面 BC1D∥平面 AB1D1,且平面 A1BC1∩平面 BC1D=BC1, AB1D1=D1O 得 BC1∥D1O, ∴ 又 A1D1 A1O = . D1C1 OB A1D1 DC A1O = , =1, D1C1 AD OB 平 面 A1BC1∩ 平 面

DC AD ∴ =1 即 =1. AD DC [类题通法] 证明直线与平面平行,一般有以下几种方法 (1)若用定义直接判定,一般用反证法; (2)用判定定理来证明,关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述证明过 程; (3)应用两平面平行的一个性质,即两平面平行时,其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面. 考点三 平面与平面平行的判定与性质 [典题例析] 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N,P 分别是 C1C,B1C1,C1D1 的中点,求证:平面 PMN∥平面 A1BD.

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证明:法一:如图,连接 B1D1,B1C. ∵P,N 分别是 D1C1,B1C1 的中点, ∴PN∥B1D1. 又 B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又 PN?平面 A1BD, ∴PN∥平面 A1BD. 同理 MN∥平面 A1BD, 又 PN∩MN=N, ∴平面 PMN∥平面 A1BD. 法二:如图,连接 AC1,AC. ∵ABCDA1B1C1D1 为正方体, ∴AC⊥BD. 又 CC1⊥平面 ABCD, ∴AC 为 AC1 在平面 ABCD 上的射影. ∴AC1⊥BD. 同理可证,AC1⊥A1B, ∴AC1⊥平面 A1BD. 同理可证,AC1⊥平面 PMN, ∴平面 PMN∥平面 A1BD. [类题通法] 判定平面与平面平行的方法 (1)利用定义; (2)利用面面平行的判定定理; (3)利用面面平行的判定定理的推论; (4)面面平行的传递性(α∥β,β∥γ?α∥γ); (5)利用线面垂直的性质(l⊥α,l⊥β?α∥β). [演练冲关] 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, (1)求证:平面 AB1D1∥平面 C1BD; (2)试找出体对角线 A1C 与平面 AB1D1 和平面 C1BD 的交点 E,F, FC. 证明:(1)因为在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, 并 证 明 : A1E = EF =

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AD 綊 B1C1,所以四边形 AB1C1D 是平行四边形, 所以 AB1∥C1D. 又因为 C1D?平面 C1BD,AB1?平面 C1BD, 所以 AB1∥平面 C1BD. 同理 B1D1∥平面 C1BD. 又因为 AB1∩B1D1=B1, AB1?平面 AB1D1,B1D1?平面 AB1D1, 所以平面 AB1D1∥平面 C1BD. (2)如图,连接 A1C1,交 B1D1 于点 O1,连接 AO1,与 A1C 交于点 又因为 AO1?平面 AB1D1, 所以点 E 也在平面 AB1D1 内, 所以点 E 就是 A1C 与平面 AB1D1 的交点. 连接 AC,交 BD 于点 O,连接 C1O,与 A1C 交于点 F, 则点 F 就是 A1C 与平面 C1BD 的交点. 下面证明 A1E=EF=FC. 因为平面 A1C1C∩平面 AB1D1=EO1, 平面 A1C1C∩平面 C1BD=C1F, 平面 AB1D1∥平面 C1BD,所以 EO1∥C1F. 在△A1C1F 中,O1 是 A1C1 的中点,所以 E 是 A1F 的中点,即 A1E=EF. 同理可证,OF∥AE, 所以 F 是 CE 的中点,即 FC=EF, 所以 A1E=EF=FC. E.

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一、选择题 1.(2015· 江西盟校联考)设 l 表示直线,α,β 表示平面.给出四个结论: ①如果 l∥α,则 α 内有无数条直线与 l 平行; ②如果 l∥α,则 α 内任意的直线与 l 平行; ③如果 α∥β,则 α 内任意的直线与 β 平行; ④如果 α∥β,对于 α 内的一条确定的直线 a,在 β 内仅有唯一的直线与 a 平行. 以上四个结论中,正确结论的个数为( A.0 C .2 ) B.1 D.3

解析:选 C ②中 α 内的直线与 l 可异面,④中可有无数条. 2.(2015· 福建联考)设 l,m,n 表示不同的直线,α,β,γ 表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m∥l,且 m⊥α,则 l⊥α; ②若 m∥l,且 m∥α,则 l∥α; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则 l∥m∥n; ④若 α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且 n∥β,则 l∥m. 其中正确命题的个数是( A.1 C .3 ) B.2 D.4

解析:选 B 对①,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,故①正确;对②,直线 l 可能在平面 α 内,故②错误;对③,三条交线除了平行,还可能相交于同一点,故③错误;对④,结合线面平行 的判定定理和性质定理可判断其正确.综上①④正确.故选 B. 3.(2015· 揭阳一模)设平面 α,β,直线 a,b,a?α,b?α,则“a∥β,b∥β”是“α∥β”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 选 B 由平面与平面平行的判定定理可知, 若直线 a, b 是平面 α 内两条相交直线, 且有“a∥β, b∥β”, 则有“α∥β”;当“α∥β”,若 a?α,b?α,则有“a∥β,b∥β”,因此“a∥β,b∥β”是“α∥β”的必要不充 分条件.选 B. 4.(2015· 温州模拟)已知 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,下列命题中错误的是(
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A.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β B.若 α∥γ,β∥γ,则 α∥β C.若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥β D.若 m,n 是异面直线,m?α,m∥β,n?β,n∥α,则 α∥β 解析:选 C 由线面垂直的性质可知 A 正确;由两个平面平行的性质可知 B 正确;由异面直线的性质易知 D 也是正确的;对于选项 C,α,β 可以相交、可以平行,故 C 错误,选 C. 5.设 α,β,γ 为三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n?γ,且________,则 m∥n” 中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ. 可以填入的条件有( A.①② C.①③ ) B.②③ D.①②③

解析:选 C 由面面平行的性质定理可知,①正确;当 n∥β,m?γ 时,n 和 m 在同一平面内,且没有公共点, 所以平行,③正确.选 C. 6.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB =NB=1,G 为 MC 的中点.则下列结论中不正确的是( A.MC⊥AN B.GB∥平面 AMN C.平面 CMN⊥平面 AMN D.平面 DCM∥平面 ABN 解析:选 C 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何 到正方体中(如图),取 AN 的中点 H,连接 HB,MH,GB,则 MC∥HB, ⊥AN,所以 A 正确;由题意易得 GB∥MH,又 GB?平面 AMN,MH? ∥平面 AMN,所以 B 正确;因为 AB∥CD,DM∥BN,且 AB∩BN=B, 面 DCM∥平面 ABN,所以 D 正确.故选 C. 二、填空题 7.如图,四棱锥 PABCD 的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD, ABCD,E 为 PC 的中点,则 BE 与平面 PAD 的位置关系为________. 解析:取 PD 的中点 F,连接 EF,AF, 1 在△PCD 中,EF 綊 CD. 2 又∵AB∥CD 且 CD=2AB, ∴EF 綊 AB,∴四边形 ABEF 是平行四边形,∴EB∥AF.
一切为了孩子 又∵EB?平面 PAD,AF?平面 PAD,

⊥平面 ABCD, 且 MD

)

体,把该几何体放置 又 HB⊥AN, 所以 MC 平面 AMN,所以 GB CD∩DM=D, 所以平

CD=2AB, PA⊥底面

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∴BE∥平面 PAD. 答案:平行

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