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专题8.4 直线、平面平行的判定与性质(讲)


2018 年高考数学第 04 节

直线、平面平行的判定与性质

【知识清单】
1.直线与平面平行的判定与性质
判定
[来源:Zxxk.Com][来源:学科网 ZXXK]

定义 图形

定理

性质

[来源:学,科,网]

条件 结论

a∩α =? a∥α

a?α ,b?α ,a∥b a∥α b∥α a∩α =?

a∥α ,a?β ,
α ∩β =b

a∥b

对点练习:
【2017 课标 1,文 6】如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点, 则在这四个正方体中,直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )

A.

B.

C.

D.

2. 面面平行的判定与性质
判定 定义 图形 定理 性质

条件 结论

α ∩β =? α ∥β

a?β ,b?β ,a∩b=P, a∥α ,b∥α
α ∥β

α ∥β ,α ∩γ =a, β ∩γ =b

α ∥β ,a?β

a∥b

a∥α

对点练习:
1

【2017 届湖南省高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第二次联考】设 ? , ? 是两个不同的平面,

l 是直线且 l ? ? ,则“ ? / / ? ”是 “ l / / ? ”的(
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

) C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.线面、面面平行的综合应用
1.平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况. 2.直线和平面平行的判定 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; (2)判定定理:a ? α ,b ? α ,且 a∥b?a∥α ; (3)其他判定方法:α ∥β ;a?α ?a∥β . 3.直线和平面平行的性质定理:a∥α ,a ? β ,α ∩β =l?a∥l. 4.两个平面平行的判定 (1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行; (2)判定定理:a ? α ,b ? α ,a∩b=M,a∥β ,b∥β ?α ∥β ; (3)推论:a∩b=M,a,b ? α ,a′∩b′=M′,a′,b′ ? β ,a∥a′,b∥b′?α ∥β . 5.两个平面平行的性质定理 (1)α ∥β ,a?α ?a∥β ; 6.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α ,b⊥α ?a∥b; (2)a⊥α ,a⊥β ?α ∥β . (2)α ∥β ,γ ∩α =a,γ ∩β =b?a∥b.

对点练习:
设 a , b 是空间中不同的直线, ? , ? 是不同的平面,则下列说法正确的是( A. a / / b, b ? ? ,则 a / /? C. a ? ? , b ? ? , ? / / ? , b / / ? ,则 ? / / ? )

B. a ? ? , b ? ? , ? / / ? ,则 a / / b D. ? / / ? , a ? ? ,则 a / / ?

【考点深度剖析】
空间中的平行关系在高考命题中,主要与平面问题中的平行、简单几何体的结构特征等问题相结合,通过 对图形或几何体的认识,考查线面平行、面面平行的判定与性质,考查转化思想、空间想象能力、逻辑思 维能力及运算能力,以多面体为载体、以解答题形式呈现是主要命题方式.

【重点难点突破】
考点一 直线与平面平行的判定与性质
【1-1】 【2017 届四川省第一次名校联考(广志联考) 】如图所示,在正方体错误!未找到引用源。中,棱长 为错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。分别为错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。上

2

的点,错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。的位置关系是(



A. 相交

B. 平行

C. 垂直

D. 不能确定 )

【1-2】若直线 a⊥b,且直线 a∥平面α ,则直线 b 与平面α 的位置关系是( A.b?α B.b∥α C.b?α 或 b∥α D.b 与α 相交或 b?α 或 b∥α

【1-3】如图所示,在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件________时,有 MN∥平面 B1BDD1.

【1-4】如图,四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为 PB,AB,

BC,PD,PC 的中点.
(1)求证:MN∥AB; (2)求证:CE∥面 PAD.

【领悟技法】
判断或证明线面平行的常用方法: 利用线面平行的定义,一般用反证法; 利用线面平行的判定定理(a?α ,b?α ,a∥b?a∥α ),其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直
3

线平行,证明时注意用符号语言的叙述;) 利用面面平行的性质定理(α ∥β ,a?α ?a∥β ); 利用面面平行的性质(α ∥β ,a?β ,a∥α ?a∥β ).

【触类旁通】
【变式 1】如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB、CC1 的中点,在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线( )

A.不存在

B.有 1 条

C.有 2 条

D.有无数条 )

【变式 2】已知直线 m, n 和平面 ? ,满足 m ? ? , n ? ? .则“ m / / n ”是“ m / /? ”的( A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ) B.若 a∥α ,b∥α ,a?β ,b?β ,则 β ∥α D.若 α ∥β ,a?α ,则 a∥β C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【变式 3】在空间中,下列命题正确的是 ( A.若 a∥α ,b∥a,则 b∥α C.若 α ∥β ,b∥α ,则 b∥β

【变式 4】设 α ,β 是两个不同的平面,l,m 为两条不同的直线,命题 p:若 α ∥β ,l?α ,m?β ,则 l ∥m;命题 q:若 l∥α ,m⊥l,m?β ,则 α ⊥β .下列命题为真命题的是( A.p∨q B.p∧q C.( ? p)∨q D.p∧( ? q) )

综合点评:解决有关线面平行的基本问题的注意事项:(1)易忽视判定定理与性质定理的条件,如易忽视线 面平行的判定定理中直线在平面外这一条件;(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断;(3)可举 反例否定结论或用反证法判断结论是否正确.

考点二 平面与平面平行的判定与性质
【2-1】 【2017 届河北省曲周县第一中学一模】下列命题正确的是( A. 若一直线与两个平面所成角相等,则这两个平面平行 B. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 C. 若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行 D. 若两条直线和同一个平面平行,则这两条直 线平行 【2-2】设 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m? ? .“ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
4





C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【2-3】空间中,设 m, n 表示不同的直线, ? , ? , ? 表示不同的平面,则下列命题正确的是( A. 若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? / / ? C. 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m / /? B. 若 m ? ? , m ? ? ,则 ? / / ? D. 若 n ? m, n ? ? ,则 m / /?



【领悟技法】
证明两个平面平行的方法有: ①用定义,此类题目常用反证法来完成证明; ②用判定定理或推论(即“线线 平行?面面平行”),通过线面平行来完成证明; ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明; ④借助“传递性”来完成. 面面平行问题常转化为线面平行,而线面平行又可转化为线线平行,需要注意转化思想的应用.

【触类旁通】
【变式 1】已知 m, n 是两条不重合的直线, ? , ? , ? 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:①若

m ?? , m ? ? , 则? / /? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则? / /? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m / / n , 则? / /? ;
④若 m, n 是异面直线, A. ①和④

m ? ? , m / / ? , n / /? ,则 ? / / ? .其中真命题是(
C. ③和④ D. ①和② )



B. ①和③

【变式 2】设 ? 表示直线 ? , ? , ? 表示不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 a ? ? 且 a ? b ,则 b / /? C.若 a / /? 且 a / / ? ,则 ? / / ? B.若 ? ? ? 且 ? ? ? ,则 ? / / ? D.若 ? / /? 且 ? / / ? ,则 ? / / ?

【变式 3】若 ? , ? 是两个相交平面,则“点 A 不在 ? 内,也不在 ? 内”是“过点 A 有且只有一条直线与 ? 和 ? 都平行”的( A.充分不必要 )条件 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

【变式 4】 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AA1 ? 底面 ABC ,AB ? AC, AC ? AA1 , E、 F 分别是棱 BC、CC1 的中点.

5

C1 B1 F

A1

C E B

A

(Ⅰ)求证:AB⊥平面 AA1 C1C; (Ⅱ)若线段 AC 上的点 D 满足平面 DEF //平面 ABC1 ,试确定点 D 的位置,并说明理由;

综合点评:判定面面平行的常用方法: (1)面面平行的定义,即判断两个平面没有公共点;(2)面面平行的判定定理; (3)垂直于同一条直线的两平面平行; (4)平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.

考点三

线面、面面平行的综合应用


【3-1】设 ? 表示直线 ? , ? , ? 表示不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 a ? ? 且 a ? b ,则 b / /? C.若 a / /? 且 a / / ? ,则 ? / / ? B.若 ? ? ? 且 ? ? ? ,则 ? / / ? D.若 ? / /? 且 ? / / ? ,则 ? / / ?

【3-2】如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论中正确的是________.

①BD∥平面 CB1D1;②AC1⊥平面 CB1D1;③AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 2;④CB1 与 BD 为异面直线. 【3-3】如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点,E,F,G 分别是 BC,DC,SC 的中点,求证: (1)直线 EG∥平面 BDD1B1; (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1.

6

【3-4】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? , PA ? 平 面 ABCD , PA ? 2, AB ? 1 .设 M , N 分别为 PD, AD 的中点. (1)求证:平面 CMN ∥平面 PAB ; (2)求三棱锥 P ? ABM 的体积.

【领悟技法】
解决探究性问题一般要采用执果索因的方法,假设求解的结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成 立的充分条件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果找不到符合题目结果要求的条件(出现 矛盾),则不存在.学*科网

【触类旁通】
【变式 1】如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点, 当点 Q 在( )位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO.

A.Q 与 C 重合

B.Q 与 C1 重合

C.Q 为 CC1 的三等分点

D.Q 为 CC1 的中点

【变式 2】如图,在正三棱柱 ABC-A1B 1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=a.

7

(1)求证:AD⊥B1D; (2)求证:A1C ∥平面 AB1D;

【变式 3】如图,在三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中,点 D 是 BC 的中点,欲过点 A? 作一截面与平面 AC ?D 平行.

(I)问应当怎样画线,并说明理由; (II)求所作截面与平面 AC ?D 将三棱柱分成的三部分的体积之比.

π 【变式 4】如图,在三棱锥 A-BOC 中,AO⊥平面 COB,∠OAB=∠OAC= ,AB=AC=2,BC= 2,D、E 分 6 别为 AB、OB 的中点. (Ⅰ)求证:CO⊥平面 AOB;

(Ⅱ)在线段 CB 上是否存在一点 F,使得平面 DEF∥平面 AOC,若存在,试确定 F 的位置;若不存在,请说 明理由.

8

综合点评:在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,其转化关系为

在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于 “模式化”.

【易错试题常警惕】
易错典例: 如图,已知 E 、 F 分别是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 AA 1 , CC1 上的中点. 求证:四边形 BED 1 F 是平行四边形.

【错解】在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,平面 A1 ADD 1 // 平面 B1 BCC 1 ,由两个平行平面于第三个平面相 交得交线平行,故 D1E // FB , 同理 D1F // EB , 故四边形 BED 1 F 是平行四边形. 【错因】主要错在盲目地在立体几何证明题中套用平面几何定理. 例题几何问题只有在化为平面几何问题 后才能直接使用平面几何知识解题. 温馨提醒: 1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误.

9

2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加, 在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理 为依据,绝不能主观臆断. 3.解题中注意符号语言的规范应用. 【典例】如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,AB=BC=12AD,E,F,H 分别为线段 AD,PC,CD 的中点, AC 与 BE 交于 O 点,G 是线段 OF 上一点.学@科网 (1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:GH∥平面 PAD.

高考感悟: 1. 【2015 高考陕西, 文 18】 如图 1, 在直角梯形 ABCD 中,AD // BC , ?BAD ?
?
2 , AB ? BC ? 1 AD ? a , 2

E 是 AD 的中点, O 是 OC 与 BE 的交点,将 ?ABE 沿 BE 折起到图 2 中 ?A1BE 的位置,得到四棱锥
A1 ? BCDE .
(I)证明: CD ? 平面 AOC ; 1

BCDE 时,四棱锥 A1 ? BCDE 的体积为 36 2 ,求 a 的值. (II)当平面 A 1BE ? 平面

10

2.

【2015 高考新课标 1,文 18】如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD ,

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为
?

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

3. 【2015 高考浙江,文 18】如图,在三棱锥 ABC - A1B1C1 中,?ABC ? 90?,AB ? AC ? 2, AA1 ? 4, A1
在底 面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 为 B1C1 的中点. (1)证明: A1D ? 平面A1BC ; (2)求直线 A1B 和平面 BB1CC1 所成的角的正弦值.

11

4.【2014,安徽文

19】如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为 2 17 .点
[ 来源:Z 。]

G, E , F , H 分别是棱 PB, AB, CD, PC 上共面的四点,平面 GEFH ? 平面 ABCD ,BC // 平面 GEFH .
(I)证明: GH // EF; (II)若 EB ? 2 ,求四边形 GEFH 的面积.

5.【2015 天津文 17】 如图,已知 AA1 ? 平面 ABC, BB1 ? AA1 ,
点 E,F 分别是 BC, AC 的中点. 1

AB=AC=3, BC ? 2 5, AA 1 ? 7 ,, BB 1 ? 2 7,

(I)求证:EF ? 平面 A 1B 1BA ; (III)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

(II)求证:平面 AEA 1 ? 平面 BCB1 .

12


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