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信阳市罗山县九年级上期末数学试卷(有答案)-(新课标人教版)-精编

河南省信阳市罗山县九年级(上)期末数学试卷
一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 1.方程 x2﹣5x=0 的解是( ) A.x1=0,x2=﹣5 B.x=5 C.x1=0,x2=5 D.x=0
2.下列图形中,不是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

3.下列说法中正确的是( ) A.“任意画出一个等边三角形,它是轴对称图形”是随机事件 B.“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件 C.“概率为 0.0001 的事件”是不可能 事件 D.任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次,正面向上的一定是 5 次

4.关于反比例函数 y=﹣ ,下列说法正确的是( ) A.图象过(1,2)点 B.图象在第一、三象限 C.当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小D.当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大
5.如图,⊙O 为△ ABC 的外接圆,∠A=72°,则∠BCO 的度数为( )

A.15° B.18° C.20° D.28°
6.我省 2013 年的快递业务量为 1.4 亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业务迅猛 发展,2014 年增速位居全国第一.若 2015 年的快递业务量达到 4.5 亿件,设 2014 年与 201 5 年这两年的平 均增长率为 x,则下列方程正确的是( ) A.1.4(1+x)=4.5 B.1.4(1+2x)=4.5 C.1.4(1+x)2=4.5 D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5
7.三角板 ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2 ,三角板绕直角顶点 C 逆时针旋转,当点 A 的对应点 A′落在 AB 边的起始位置上时即停止转动,则 B 点转过的路径长为( )

A. π B. π C.2π D.3π
8.如图,已知:正方形 ABCD 边长为 1,E、F、G、H 分别为各边上的点,且 AE=BF=CG=DH,设小正方 形 EFGH 的面积为 s,AE 为 x,则 s 关于 x 的函数图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分)

9.抛物线 y=3(x﹣2)2+5 的顶点坐标是



10.如图,把 Rt△ ABC 绕点 A 逆 时针旋转 40°,得到 Rt△ AB′C′,点 C′恰好落在边 AB 上,连接 BB′,则

∠BB′C′=

度.

11.如图,对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为直线



12.一个口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标号为 1、2、3、4,随机地摸出一个小球,然后放回,

再随机地摸出一个小球,则两次摸出的小球标号的和等于 4 的概率是



13.如图,用圆心角为 120°,半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽,则这个纸帽的高是 cm.

14.如图,点 A 是反比例函数 y= 的图象上﹣点,过点 A 作 AB⊥x 轴,垂足为点 B,线段 AB 交反比例函

数 y= 的图象于点 C,则△ OAC 的面积为



15.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BC=4cm,F 是弦 BC 的中点,∠ABC=60°.若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A

点出发沿着 A→B→A 的方向运动,设运动时间为 t(s)(0≤t<6),连接 EF,当△ BEF 是直角三角形时,t

的值为



三、解答题(共 8 小题,满分 75 分) 16.解方程: (1)x2+2x﹣5=0 (2)3x(x﹣2)=2(2﹣x)
17.小云玩抽卡片和旋转盘游戏,有两张正面分别标有数字 1,2 的不透明卡片,背面完全相同;转盘被平 均分成 3 个相等的扇形,并分别标有数字﹣1,3,4(如图所示),小云把卡片背面朝上洗匀后从中随机抽 出一张,记下卡片上的数字;然后转动转盘,转盘停止后,记下指针所在区域的数字(若指针在分格线上, 则重转一次,直到指针指向某一区域为止). (1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种),表示出两次所得数字可能出现的所有结果; (2)求出两个数字之积为负数的概率.

18.如图,△ ABC 各顶点的坐标分别是 A(﹣2,﹣4),B(0,﹣4),C(1,﹣1).

(1)在图中画出△ ABC 向左平移 3 个单位后的△ A1B1C1;

(2)在图中画出△ ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后的△ A2B2C2;

(3)在(2)的条件下,AC 边扫过的面积是



19.已知关于 x 的方程 x2+2x+a﹣2=0.

(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数 a 的取值范围; (2)当该方程的一个根为 1 时,求 a 的值及方程的另一根. 20.如图,已知 A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y= 的图象的两个交点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求△ AOB 的面积; (3)求不等式 kx+b﹣ <0 的解集(请直接写出答案).
21.如图,⊙O 是△ ABC 的外接圆,圆心 O 在 AB 上,且∠B=2∠A,M 是 OA 上一点,过 M 作 AB 的垂 线交 AC 于点 N,交 BC 的延长线于点 E,直线 CF 交 EN 于点 F,EF=FC. (1)求证:CF 是⊙O 的切线. (2)设⊙O 的半径为 2,且 AC=CE,求 AM 的长.
22.响应政府“节能”号召,我市华强照明公司减少了白炽灯的生产数量,引进新工艺生产一种新型节能灯, 已知这种节能灯的出厂价为每个 10 元.某商场试销发现,销售单价定为 15 元/个,每月销售量为 350 个; 每涨价 1 元,每月少卖 10 个. (1)求出每月销售量 y(个)与销售单价 x(元)之间的函数关系,并写出自变量的取值范围; (2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为 w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利 润? 23.在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=ax2+bx﹣4 经过 A(﹣4,0),C(2,0)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点,点 M 的横坐标为 m,△ AMB 的面积为 S.求 S 关于 m 的函 数关系式,并求出 S 的最大值; (3)若点 P 是抛物线上的动点,点 Q 是直线 y=﹣x 上的动点,点 B 是抛物线与 y 轴交点.判断有几个位 置能够使以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点 Q 的坐标.

2015-2016 学年河南省信阳市罗山县九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 1.方程 x2﹣5x=0 的解是( ) A.x1=0,x2=﹣5 B.x=5 C.x1=0,x2=5 D.x=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法. 【专题】压轴题. 【分析】在方程左边两项中都含有公因式 x,所以可用提公因式法. 【解答】解:直接因式分解得 x(x﹣5)=0, 解得 x1=0,x2=5. 故选:C. 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程,当方程的左边能因式分解时,一般情况下是把左边的式 子因式分解,再利用积为 0 的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵 活运用.
2.下列图形中,不是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】中心对称图形.

【分析】根据中心对称图形的概念求解.

【解答】解:A、是中心对称图形,故本选项错误;

B、是中心对称图形,故本选项错误;

C、不是中心对称图形,故本选项正确;

D、是中心对称图形,故本选项错误;

故选 C.

【点评】本题考查了中心对称图形,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与原图重合.

3.下列说法中正确的是( ) A.“任意画出一个等边三角形,它是轴对称图形”是随机事件 B.“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件 C.“概率为 0.0001 的事件”是不可能事件 D.任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次,正面向上的一定是 5 次 【考点】随机事件.
【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断.
【解答】解:A、“任意画出一个等边三角形,它是轴对称图形”是必然事件,选项错误; B、“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件,选项正确; C、“概率为 0.0001 的事件”是随机事件,选项错误; D、任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次,正面向上的可能是 5 次,选项错误. 故选 B. 【点评】本题考查了随机事件、必然事件以及不可能事件的定义,解决本题需要正确理解必然事件、不可
能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一
定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.

4.关于反比例函数 y=﹣ ,下列说法正确的是( )
A.图象过(1,2)点 B.图象在第一、 三象限 C.当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小D.当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大 【考点】反比例函数的性质.

【分析】反比例函数 y= (k≠0)的图象 k>0 时位于第一、三象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小; k<0 时位于第二、四象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大;在不同象限内,y 随 x 的增大而增大,根 据这个性质选择则可. 【解答】解:∵k=﹣2<0,所以函数图象位于二四象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而增大,图象是轴对 称图象,故 A、B、C 错误. 故选 D. 【点评】本题考查了反比例函数图象的性质:①、当 k>0 时,图象分别位于第一、三象限;当 k<0 时, 图象分别位于第二、四象限.②、当 k>0 时,在同一个象限内,y 随 x 的增大而减小;当 k<0 时,在同 一个象限,y 随 x 的增大而增大.注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析.
5.如图,⊙O 为△ ABC 的外接圆,∠A=72°,则∠BCO 的度数为( )
A.15° B.18° C.20° D.28° 【考点】圆周角定理. 【专题】计算题. 【分析】连结 OB,如图,先根据圆周角定理得到∠BOC= 2∠A=144°,然后根据等腰三角形的性质和三角 形内角和定理计算∠BCO 的度数. 【解答】解:连结 OB,如图,∠BOC=2∠A=2×72°=144°, ∵OB=OC, ∴∠CBO=∠BCO, ∴∠BCO= (180°﹣∠BOC)= ×(180°﹣144°)=18°. 故选 B.
【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的 圆心角的一半.也考查了等腰三角形的性质.
6.我省 2013 年的快递业务量为 1.4 亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业务迅猛 发展,2014 年增速位居全国 第一.若 2015 年的快递业务量达到 4.5 亿件,设 2014 年与 2015 年这两年的平 均增长率为 x,则下列方程正确的是( ) A.1.4(1+x)=4.5 B.1.4(1+2x)=4.5 C.1.4(1+x)2=4.5 D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程. 【专题】增长率问题. 【分析】根据题意可得等量关系:2013 年的快递业务量×(1+增长率)2=2015 年的快递业务量,根据等量 关系列出方程即可. 【解答】解:设 2014 年与 2015 年这两年的平均增长率为 x,由题意得: 1.4(1+x)2=4.5, 故选:C. 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,关键是掌握平均变化率的方法,若设变化前的 量为 a,变化后的量为 b,平均变化率为 x,则经过两次变化后的数量关系为 a(1±x)2=b.

7.三角板 ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2 ,三角板绕直角顶点 C 逆时针旋转,当点 A 的对应点 A′落在 AB 边的起始位置上时即停止转动,则 B 点转过的路径长为( )

A. π B. π C.2π D.3π

【考点】旋转的性质;弧长的计算.
【分析】首先根据勾股定理计算出 BC 长,再根据等边三角形的判定和性质计算出∠ACA′=60°,进而可得 ∠BCB′=60°,然后再根据弧长公式可得答案. 【解答】解:∵∠B=30°,AC=2 , ∴BA=4 ,∠A=60°, ∴CB=6, ∵AC=A′C, ∴∠AA′C 是等边三角形, ∴∠ACA′=60°, ∴∠BCB′=60°,

∴弧长 l= =

=2π,

故选 C. 【点评】此题主要考查了旋转的性质,等边三角形的判定和性质,以及弧长计算,关键是掌握弧长计算公 式.

8.如图,已知:正方形 ABCD 边长为 1,E、F、G、H 分别为各边上的点,且 AE=BF=CG=DH,设小正方 形 EFGH 的面积为 s,AE 为 x,则 s 关于 x 的函数图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】二次函数的应用;全等三角形的判定与性质;勾股定理.

【专题】代数几何综合题.

【分析】根据条件可知△ AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,设 AE 为 x,则 AH=1﹣x,根据勾股定理 EH2=AE2+AH2=x2+(1﹣x)2,进而可求出函数解析式,求出答案.

【解答】解:∵根据正方形的四边相等,四个角都是直角,且 AE=BF=CG=DH,

∴可证△ AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.

设 AE 为 x,则 AH=1﹣x,根据勾股定理,得 EH2=AE2+AH2=x2+(1﹣x)2 即 s=x2+(1﹣x)2. s=2x2﹣2x+1,

∴所求函数是一个开口向上,

对称轴是直线 x= . ∴自变量的取值范围是大于 0 小于 1. 故选:B. 【点评】本题需根据自变量的取值范围,并且可以考虑求出函数的解析式来解决.
二、填空题(共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分) 9.抛物线 y=3(x﹣2)2+5 的顶点坐标是 (2,5) . 【考点】二次函数的性质. 【分析】由于抛物线 y=a(x﹣h)2+k 的顶点坐标为(h,k),由此即可求解. 【解答】解:∵抛物线 y=3(x﹣2)2+5, ∴顶点坐标为:(2,5). 故答案为:(2,5). 【点评】此题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握抛物线 y=a(x﹣h)2+k 的顶点坐标为(h, k).
10.如图,把 Rt△ ABC 绕点 A 逆时针旋转 40°,得到 Rt△ AB′C′,点 C′恰好落在边 AB 上,连接 BB′,则∠BB′C′= 20 度.
【考点】旋转的性质. 【专题】计算题. 【分析】先根据旋转的性质得到∠ACB′=∠C=90°,∠BAB′=40°,AB=AB′,则利用等腰三角形的性质和三 角形内角和定理可计算出∠ABB′=70°,然后利用互余计算∠BB′C′. 【解答】解:∵Rt△ ABC 绕点 A 逆时针旋转 40°,得到 Rt△ AB′C′,点 C′恰好落在边 AB 上, ∴∠ACB′=∠C=90°,∠BAB′=40°,AB=AB′, ∵AB=AB′, ∴∠ABB′=∠AB′B, ∴∠ABB′= (180°﹣40°)=70°, ∴∠BB′C′=90°﹣∠CBB′=20°. 故答案为 20. 【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角;旋转前、后的图形全等.
11.如图,对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为直线 x=1 .
【考点】抛物线与 x 轴的交点. 【专题】计算题. 【分析】利用抛物线的对称性求解.

【解答】解:∵抛物线与 x 轴交于(1,0),(3,0)两点, ∴点(1,0)和点(3,0)为抛物线上的对称点, ∴点(1,0)与点(3,0)关于直线 x=1 对称, ∴抛物线的对称轴 为直线 x=1. 故答案为 x=1.
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:从解析式 y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c 是常数,a≠0)中可直 接得到抛物线与 x 轴的交点坐标(x1,0),(x2,0).

12.一个口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标号为 1、2、3、4,随机地摸出一个小球,然后放回,

再随机地摸出一个小球,则两次摸出的小球标号的和等于 4 的概率是



【考点】列表法与树状图法. 【专题】计算题. 【分析】先画树状图展示所有 16 种等可能的结果数,其中两次摸出的小球标号的和等于 4 的占 3 种,然后 根据概率的概念计算即可. 【解答】解:如图,

随机地摸出一个小球,然后放回,再随机地摸出一个小球,共有 16 种等可能的结果数,其中两次摸出的小 球标号的和等于 4 的占 3 种, 所有两次摸出的小球 标号的和等于 4 的概率= .
故答案为: . 【点评】本题考查了列表法或树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数 n,再找出某事件 所占有的结果数 m,然后利用概率的概念求得这个事件的概率= .
13.如图,用圆心角为 120°,半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽,则这个纸帽的高是 4 cm.

【考点】圆锥的 计算. 【专题】计算题. 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为 120°,半径为 6cm 的扇形的弧长=4π,根据圆锥的侧面展开图为扇形, 扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长,则可计算出圆锥的底面圆的半径为 2,然后根据勾股定理可计算出圆 锥的高.

【解答】解:∵圆心角为 120°,半径为 6cm 的扇形的弧长=

=4π,

∴圆锥的底面圆的周长为 4π,

∴圆锥的底面圆的半径为 2,

∴这个纸帽的高=

=4

(cm).

故答案为 4 . 【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长,扇形 的半径等于圆锥的母线长.也考查了弧长公式和勾股定理.

14.如图,点 A 是反比例函数 y= 的图象上﹣点,过点 A 作 AB⊥x 轴,垂足为点 B,线段 AB 交反比例函 数 y= 的图象于点 C,则△ OAC 的面积为 2 .

【考点】反比例函数系数 k 的几何意义. 【专题】代数几何综合题. 【分析】由于 AB⊥x 轴,根据反比例函数 k 的几何意义得到 S△ AOB=3,S△ COB=1,然后利用 S△ AOC=S△ AOB ﹣S△ COB 进行计算. 【解答】解:∵AB⊥x 轴,
∴S△ AOB= ×|6|=3,S△ COB= ×|2|=1,
∴S△ AOC=S△ AOB﹣S△ COB=2. 故答案为:2.
【点评】本题考查了反比例函数 y= (k≠0)系数 k 的几何意义:从反比例函数 y= (k≠0)图象上任意一
点向 x 轴和 y 轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|.

15.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BC=4cm,F 是弦 BC 的中点,∠ABC=60°.若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 A→B→A 的方向运动,设运动时间为 t(s)(0≤t<6),连接 EF,当△ BEF 是直角三角形时,t

的值为 2,



【考点】圆周角定理;含 30 度角的直角三角形;勾股定理;垂径定理. 【专题】压轴题.
【分析】求出 E 移动的路程是 0≤s <12,求出∠C=90°,求出 AB,分为三种情况:画出图形,根据图形求 出移动的距离即可.
【解答】解:∵0≤t<6,动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 A→B→A 的方向运动, ∴当 t=6 时,运动的路程是 2×6=12(cm), 即 E 运动的距离小于 12cm,设 E 运动的距离是 scm, 则 0≤s<12, ∵AB 是⊙O 直径, ∴∠C=90°, ∵F 为 BC 中点,BC=4cm, ∴BF=CF=2cm, ∵∠C=90°,∠B=60°, ∴∠A=30°, ∴AB=2BC=8cm, 分为三种情况:

① 当∠EFB=90°时, ∵∠C=90°, ∴∠EFB=∠C, ∴AC∥EF, ∵FC=BF, ∴AE=BE,即 E 和 O 重合,AE=4, t=4÷2=2(s);
② 当∠FEB=90°时,∵∠ABC=60°, ∴∠BFE=30°, ∴BE= BF=1, AE=8﹣1=7, t=7÷2= (s);
③ 当到达 B 后再返回到 E 时,∠FEB=90°, 此时移动的距离是 8+1=9, t=9÷2= (s);
故答案为:2, , . 【点评】本题考查了圆周角定理,含 30 度角的直角三角形性质,平行线分线段成比例定理等知识点的综合 运用,注意要进行分类讨论啊.
三、解答题(共 8 小题,满分 75 分) 16.解方程: ( 1)x2+2x﹣5=0 (2)3x(x﹣2)=2(2﹣x) 【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法. 【专题】计算题. 【分析】(1)利用配方法得到(x+1)2=6,然后利用直接开平方法解方程; (2)先移项得到 3x(x﹣2)+2(x﹣2)=0,然后利用因式分解法解方程. 【解答】解:(1)x2+2x=5,

∴x2+2x+1=5+1, ∴(x+1)2=6, ∴x+1=± , ∴x1=﹣1+ ,x2=﹣1﹣ ; (2)3x(x﹣2)+2(x﹣2)=0, (x﹣2)(3x+2)=0, x﹣2=0 或 3x+2=0,…(3 分)
所以 x1=2,x2=﹣ .
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为 0,再把左边通过因式分解化为两 个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为 0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也 就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了配 方法解一元二次方程.
17.小云玩抽卡片和旋转盘游戏,有两张正面分别标有数字 1,2 的不透明卡片,背面完全相同;转盘被平 均分成 3 个相等的扇形,并分别标有数字﹣1,3,4(如图所示),小云把卡片背面朝上洗匀后从中随机抽 出一张,记下卡片上的数字;然后转动转盘,转盘停止后,记下指针所在区域的数字(若指针在分格线上, 则重转一次,直到指针指向某一区域为止). (1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种),表示出两次所得数字可能出现的所有结果; (2)求出两个数字之积为负数的概率.

【考点】列表法与树状图法. 【分析】(1)首先根据题意列出图表,然后由图表求得所有可能的结果; (2)由(1)列出的图表可得出所有出现的结果,再根据概率公式即可求出答案. 【解答】解:(1)列表如下:
﹣1 3 4 11,﹣11,31,4 22,﹣12,32,4 (2)∵两数之积为负数的情况共有 2 种可能:(1,﹣1),(2,﹣1),
∴P(两数之积为负数)= = .
【点评】此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

18.如图,△ ABC 各顶点的坐标分别是 A(﹣2,﹣4),B(0,﹣4),C(1,﹣1). (1)在图中画出△ ABC 向左平移 3 个单位后的△ A1B1C1; (2)在图中画出△ ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后的△ A2B2C2;

(3)在(2)的条件下,AC 边扫过的面积是



【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换. 【专题】作图题.
【分析】(1)如图,画出△ ABC 向左平移 3 个单位后的△ A1B1C1; (2)如图,画出△ ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后的△ A2B2C2; (3)在(2)的条件下,AC 扫过的面积即为扇形 AOA2 的面积减去扇形 COC2 的面积,求出即可. 【解答】解:(1)如图所示,△ A1B1C1 为所求的三角形; (2)如图所示,△ A2B2C2 为所求的三角形;

(3)在(2)的条件下,AC 边扫过的面积 S=



=5π﹣ = .

故答案为: .

【点评】此题考查了作图﹣旋转变换,平移变换,以及扇形面积公式,作出正确的图形是解本题的关键.
19.已知关于 x 的方程 x2+2x+a﹣2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数 a 的取值范围; (2)当该方程的一个根为 1 时,求 a 的值及方程的另一根. 【考点】根的判别式;一元二次方程的解;根与系数的关系. 【分析】(1)关于 x 的方程 x2﹣2x+a﹣2=0 有两个不相等的实数根,即判别式△ =b2﹣4ac>0.即可得到关 于 a 的不等式,从而求得 a 的范围. (2)设方程的另一根为 x1,根据根与系数的关系列出方程组,求出 a 的值和方程的另一根. 【解答】解:(1)∵b2﹣4ac=(2)2﹣4×1×(a﹣2)=12﹣4a>0, 解得:a<3. ∴a 的取值范围是 a<3;
(2)设方程的另一根为 x1,由根与系数的关系得:


解得:



则 a 的值是﹣1,该方程的另一根为﹣3. 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系: (1)△ >0?方程有两个不相等的实数根; (2)△ =0?方程有两个相等的实数根; (3)△ <0?方程没有实数根.

20.如图,已知 A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y= 的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求△ AOB 的面积; (3)求不等式 kx+b﹣ <0 的解集(请直接写出答案).

【考点】反比例函数与一次函数的 交点问题. 【专题】计算题. 【分析】(1)先把 B 点坐标代入 y= 求出 m 得到反比例函数解析式为 y=﹣ ,再利用反比例函数解析式确 定 A 点坐标,然后利用待定系数法求一次函数解析式; (2)先求 C 点坐标,然后根据三角形面积公式和 S△ AOB=S△ AOC+S△ BOC 进行计算; (3)观察函数图象得到当﹣4<x<0 或 x>2 时,一次函数图象都在反比例函数图象下方,即有 kx+b< .
【解答】解:(1)把 B(2,﹣4)代入 y= 得 m=2×(﹣4)=﹣8,
所以反比例函数解析式为 y=﹣ ,
把 A(﹣4,n)代入 y=﹣ 得﹣4n=﹣8,解得 n=2,则 A 点坐标为(﹣4,2),

把 A(﹣4,2)、B(2,﹣4)代入 y=kx+b 得

,解得



所以一次函数解析式为 y=﹣x﹣2; (2)把 y=0 代入 y=﹣x﹣2 得﹣x﹣2=0,解得 x=﹣2,则 C 点坐标为(﹣2,0),
所以 S△ AOB=S△ AOC+S△ BOC= ×2×2+ ×2×4=6;
(3)﹣4<x<0 或 x>2. 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函 数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点.也考查了待定系 数法求一次函数解析式和观察函数图象的能力.

21.如图,⊙O 是△ ABC 的外接圆,圆心 O 在 AB 上,且∠B=2∠A,M 是 OA 上一点,过 M 作 AB 的垂 线交 AC 于点 N,交 BC 的延长线于点 E,直线 CF 交 EN 于点 F,EF=FC. (1)求证:CF 是⊙O 的切线. (2)设⊙O 的半径为 2,且 AC=CE,求 AM 的长.

【考点】切线的判定;勾股定理.
【专题】证明题. 【分析】(1)连接 OC,如图,根据圆周角定理得到∠ACB=90°,则利用∠B=2∠A 可计算出∠B=60°,∠A=30°, 易得∠E=30°,接着由 EF=FC 得到∠ECF=∠E=30°,所以∠FCA=60°,加上∠OCA=∠A=30°,所以 ∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°,于是可根据切线的判定得到 FC 是⊙O 的切线;

(2)利用含 30 度的直角三角形三边的关系.在 Rt△ ABC 中可计算出 BC= AB=2,AC= BC=2 ,则
CE=2 ,所以 BE=BC+CE=2+2 ,然后在 Rt△ BEM 中计算出 BM= BE=1+ ,
再计算 AB﹣BM 的值即可. 【解答】(1)证明:连接 OC,如图, ∵⊙O 是△ ABC 的外接圆,圆心 O 在 AB 上, ∴AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, 又∵∠B=2∠A, ∴∠B=60°,∠A=30°, ∵EM⊥AB, ∴∠EMB=90°, 在 Rt△ EMB 中,∠B=60°, ∴∠E=30°, 又∵EF=FC, ∴∠ECF=∠E=30°, 又∵∠ECA=90°, ∴∠FCA=60°, ∵OA=OC, ∴∠OCA=∠A=30°, ∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°, ∴OC⊥CF, ∴FC 是⊙O 的切线; (2)解:在 Rt△ ABC 中,∵∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4, ∴BC= AB=2,AC= BC=2 ,
∵AC=CE, ∴CE=2 , ∴BE=BC+CE=2+2 , 在 Rt△ BEM 中,∠BME=90°,∠E=30° ∴BM= BE=1+ ,
∴AM=AB﹣BM=4﹣1﹣ =3﹣ .
【点评】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是 圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了含 30 度的直角 三角形三边的关系.
22.响应政府“节能”号召,我市华强照明公司减少了白炽灯的生产数量,引进新工艺生产一种新型节能灯, 已知这种节能灯的出厂价为每个 10 元.某商场试销发现,销售单价定为 15 元/个,每月销售量为 350 个; 每涨价 1 元,每月少卖 10 个. (1)求出每月销售量 y(个)与销售单价 x(元)之间的函数关系,并写出自变量的取值范围; (2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为 w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利 润?

【考点】二次函数的应用. 【分析】(1)首先表示出销售单价 x 元时涨价(x﹣10)元,每涨价 1 元,每月少卖 10 个,则少买 10(x ﹣15),表示出 y 即可; (2)由总利润=销售量?每件纯赚利润,得 w=(x﹣10)(﹣10x+500),把函数转化成顶点坐标式,根据二 次函数的性质求出 最大利润. 【解答】解:(1)由题意得:y=350﹣10(x﹣15)=﹣10x+500(15≤x≤50); (2)依题意得:w=(x﹣10)(﹣10x+500) =﹣10(x﹣30)2+4000, ∵﹣10<0 , ∴当 x=30 时,w 有最大值=4000. 答:当定价定为 30 元时,每月可获得最大利润 4000 元. 【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点,解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函 数最大值的求解.
23.在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=ax2+bx﹣4 经过 A(﹣4,0),C(2,0)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点,点 M 的横坐标为 m,△ AMB 的面积为 S.求 S 关于 m 的函 数关系式,并求出 S 的最大值; (3)若点 P 是抛物线上的动点,点 Q 是直线 y=﹣x 上的动点,点 B 是抛物线与 y 轴交点.判断有几个位 置能够使以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点 Q 的坐标.
【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,然后把点 A、B、C 的坐标代入函数解析式,利用待定系数法 求解即可; (2)根据图形的割补法,可得二次函数,根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值,然后即可得 解; (3)利用直线与抛物线的解析式表示出点 P、Q 的坐标,然后求出 PQ 的长度,再根据平行四边形的对边 相等列出算式,然后解关于 x 的一元二次方程即可得解. 【解答】解:(1)将 A(﹣4,0),C(2,0)两点代入函数解析式,得
解得
所以此函数解析式为:y= x2+x﹣4; (2)∵M 点的横坐标为 m,且点 M 在这条抛物线上, ∴M 点的坐标为:(m, m2+m﹣4), ∴S=S△ AOM+S△ OBM﹣S△ AOB

= ×4×( m2+m﹣4)+ ×4×(﹣m)﹣ ×4×4
=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8 =﹣m2﹣4m =﹣(m+2)2+4, ∵﹣4<m<0, 当 m=﹣2 时,S 有最大值为:S=﹣4+8=4. 答:m=﹣2 时 S 有最大值 S=4. (3)∵点 Q 是直线 y=﹣x 上的动点, ∴设点 Q 的坐标为(a,﹣a), ∵点 P 在抛物线上,且 PQ∥y 轴, ∴点 P 的坐标为(a, a2+a﹣4),
∴PQ=﹣a﹣( a2+a﹣4)=﹣ a2﹣2a+4,
又∵OB=0﹣(﹣4)=4, 以点 P,Q,B,O 为顶点的四边形是平行四边形, ∴|PQ|=OB, 即|﹣ a2﹣2a+4|=4,
①﹣ a2﹣2a+4=4 时,整理得,a2+4a=0,
解得 a=0(舍去)或 a=﹣4, ﹣a=4, 所以点 Q 坐标为(﹣4,4), ②﹣ a2﹣2a+4=﹣4 时,整理得,a2+4a﹣16=0,
解得 a=﹣2±2 , 所以点 Q 的坐标为(﹣2+2 ,2﹣2 )或(﹣2﹣2 ,2+2 ). 综上所述,Q 坐标为(﹣4,4)或(﹣2+2 ,2﹣2 )或(﹣2﹣2 ,2+2 )时,使点 P,Q,B,O 为顶点的四边形是平行四边形. 【点评】本题考查了二次函数综合题,有待定系数法求二次函数解析式;利用图形割补法得出二次函数的 最值问题是解题关键;平行四边形的对边相等的性质,平面直角坐标系中两点间的距离的表示,综合性较 强,但难度不大,仔细分析便不难求解.


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