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2016_2017学年高中数学1.3.3已知三角函数值求角学案

1.3.3

已知三角函数值求角

1.掌握已知三角函数值求角的方法, 会由已知的三角函数值求角, 并会用符号 arcsin x, arccos x,arctan x 表示角.(重点、难点) 2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[-2π ,2π ]上对应的角.

[基础?初探] 教材整理 已知三角函数值求角的相关概念 阅读教材 P57~P60 内容,完成下列问题. 1.已知正弦值,求角:

? π π? 对于正弦函数 y=sin x,如果已知函数值 y(y∈[-1,1]),那么在?- , ?上有唯一 ? 2 2?
π π? ? 的 x 值和它对应,记为 x=arcsin_y?其中-1≤y≤1,- ≤x≤ ?. 2 2? ? 2.已知余弦值,求角: 对于余弦函数 y=cos x,如果已知函数值 y(y∈[-1,1]),那么在[0,π ]上有唯一的

x 值和它对应,记为 x=arccos_y(其中-1≤y≤1,0≤x≤π ).
3.已知正切值,求角:

? π π? 一般地,如果 y=tan x(y∈R)且 x∈?- , ?,那么对每一个正切值 y,在开区间 ? 2 2? ?-π ,π ?内,有且只有一个角 x,使 tan x=y,记为 x=arctan_y?-π <x<π ?. ? 2 2? ? 2 2? ? ? ? ?

判断(正确的打“√”,错误的打“?”)

? π π? (1)在区间?- , ?上,满足条件 sin x=a(-1≤a≤1)的 x 有 1 个.( ? 2 2?
(2)在区间[0,2π ]上,满足条件 sin x=a(-1≤a≤1)的 x 有 2 个.( (3)在区间[0,2π ]上,满足条件 cos x=a(-1≤a≤1)的 x 有 2 个.( ) ) )

)

? π π? (4)在区间?- , ?上,满足条件 tan x=a(a∈R)的 x 只有 1 个.( ? 2 2?
【答案】 (1)√ (2)? (3)? (4)√ [质疑?手记]

1

预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问 4:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问 5:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________

[小组合作型] 已知正弦值求角 已知 sin x= 3 . 2

? π π? (1)当 x∈?- , ?时,求 x 的取值集合; ? 2 2?
(2)当 x∈[0,2π ]时,求 x 的取值集合; (3)当 x∈R 时,求 x 的取值集合. 【精彩点拨】 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解. π 3 π ? π π? 【自主解答】 (1)∵y=sin x 在?- , ?上是增函数,且 sin = ,∴x= , 3 2 3 ? 2 2?
?π ? ∴ ? ?是所求集合. ?3?

(2)∵sin x=

π? 3 π 3 ? >0,∴x 为第一或第二象限的角.且 sin =sin?π - ?= , 3? 2 2 3 ?

π 2 ∴在[0,2π ]上符合条件的角有 x= 或 x= π , 3 3
?π 2π ? ∴x 的取值集合为 ? , ?. 3 3 ? ?

(3)当 x∈R 时,x 的取值集合为

2

? ? ? π ?x?x=2kπ + 3 ? ? ?

? ? 2π ,或x=2kπ + ,k∈Z?. 3 ? ?

1.给值求角问题, 由于范围不同, 所得的角可能不同, 一定要注意范围条件的约束作用. 2.对于已知正弦值求角有如下规律:

[再练一题] 3 1.已知 sin α = ,根据所给范围求角 α . 5 (1)α 为锐角;(2)α ∈R. 【导学号:72010033】 3 ? π? 【解】 (1)由于 sin α = ,且 α 为锐角,即 α ∈?0, ?, 2? 5 ? 3 所以 α =arcsin . 5 3 3 (2)由于 sin α = ,且 α ∈R,所以符合条件的所有角为 α 1=2kπ +arcsin (k∈Z), 5 5 3 α 2=2kπ +π -arcsin (k∈Z), 5 3 n 即 α =nπ +(-1) arcsin (n∈Z). 5

已知余弦值求角 1 已知 cos x=- , 3 (1)当 x∈[0,π ]时,求值 x. (2)当 x∈R 时,求 x 的取值集合. 【精彩点拨】 解答本题可先求出定义 arccos a 的范围的角 x,然后再根据题目要求, 利用诱导公式求出相应的角 x 的集合. 1 【自主解答】 (1)∵cos x=- 且 x∈[0,π ], 3
3

? 1? ∴x=arccos?- ?. ? 3?
(2)当 x∈R 时,先求出 x 在[0,2π ]上的解. 1 ∵cos x=- ,故 x 是第二或第三象限角. 3

? 1? 由(1)知 x=arccos?- ?是第二象限角, ? 3? ? ? 1?? 又 cos?2π -arccos?- ?? ? ? 3??
1 ? ? 1?? =cos?arccos?- ??=- , 3 ? ? 3?? 3 ? ? 1? ? 且 2π -arccos?- ?∈?π , π ?, 2 ? ? 3? ? 所以,由余弦函数的周期性知,

? 1? 当 x=arccos?- ?+2kπ 或 ? 3?
x=2π -arccos?- ?+2kπ (k∈Z)时, 3
1 cos x=- ,即所求 x 值的集合是 3
? ? ? ? 1? ?x?x=2kπ ±arccos?- ? ? 3? ? ? ?

? 1? ? ?

,k∈Z?.
? ?

? ?

cos x=a(-1≤a≤1), 当 x∈[0, π ]时, 则 x=arccos a, 当 x∈R 时, 可先求得[0,2π ] 内的所有解,再利用周期性可求得:{x|x=2kπ ±arccos a,k∈Z}. [再练一题] 2.已知 cos x=- 【解】 2 且 x∈[0,2π ),求 x 的取值集合. 2

由于余弦函数值是负值且不为- 1 ,所以 x 是第二或第三象限的角,由

π? π 2 ? cos?π - ?=-cos =- , 所以在区间[0,2π )内符合条件的第二象限的角是 x=π - 4? 4 2 ? π 3π π 2 ?π ? = .又 cos? +π ?=-cos =- ,所以在区间[0,2π )内符合条件的第三象限的 4 4 4 2 ?4 ? π 5π 角是 x= +π = . 4 4
?3π 5π ? 故所求角的集合为 ? , ?. 4 ? ? 4

4

已知正切值求角 已知 tan α =-3.

? π π? (1)若 α ∈?- , ?,求角 α ; ? 2 2?
(2)若 α ∈R,求角 α . 【精彩点拨】 尝试由 arctan α 的范围及给值求角的步骤求解. 【自主解答】 (1)由正切函数在开区间

?-π ,π ?上是增函数可知,符合条件 tan α =-3 的角只有一个,即 α =arctan(- ? 2 2? ? ?
3). (2)α =kπ +arctan(-3)(k∈Z).

? π π? 1.已知角的正切值求角,可先求出?- , ?内的角,再由 y=tan x 的周期性表示所 ? 2 2?
给范围内的角. 2.tan α =a,a∈R 的解集为{α |α =kπ +arctan a,k∈Z}.

[再练一题] 3.已知 tan x=-1,写出在区间[-2π ,0]内满足条件的 x. 【解】 ∵tan x=-1<0, ∴x 是第二或第四象限的角. π ? π? 由 tan?- ?=-tan =-1 可知, 4 ? 4? π 所求符合条件的第四象限角为 x=- . 4 π 5 ? 5 ? 又由 tan?- π ?=-tan =-1 得所求符合条件的第二象限角为 x=- π , 4 4 ? 4 ? π 5π ∴在[-2π ,0]内满足条件的角是- 与- . 4 4 [探究共研型] 三角方程的求解 探究 1 已知角 x 的一个三角函数值,所求得的角一定只有一个吗?为什么? 【提示】 不一定,这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定,如果在给定的范围 内有已知三角函数值的角不止一个,则所求的角也就不止一个.
5

探究 2 怎样求解三角方程? 【提示】 明确所求角的范围和个数, 结合诱导公式先用 arcsin a 或 arccos a 或 arctan

a 表示一个或两个特殊角,然后再根据函数的周期性表示出所有的角.
π 若 cos x=cos ,求 x 的值. 7 【精彩点拨】 先求出一个周期内的角,然后利用周期性找出所有的角. 【自主解答】 在同一个周期[-π ,π ]内, π π π 满足 cos x=cos 的角有两个: 和- . 7 7 7 π π 又 y=cos x 的周期为 2π ,所以满足 cos x=cos 的 x 为 2kπ ± (k∈Z). 7 7

已知三角函数值求角的大致步骤 (1)由三角函数值的符号确定角的象限; (2)求出[0,2π )上的角; (3)根据终边相同的角写出所有的角. [再练一题] 4.已知 sin x= 2 ,且 x∈[0,2π ],则 x 的取值集合为________. 2 2 ? π? >0,∴x∈(0,π )当 x∈?0, ?时,y=sin 2? 2 ?

【解析】 ∵x∈[0,2π ],且 sin x=

x 递增且 sin =

π 4

π? 2 π 3π 2 3π ? ,∴x= ,又 sin?π - ?=sin = ,∴x= 也适合题意.∴x 4 2 4 4 2 4 ? ?
? ?. ?

?π 3π 的取值集合为? , 4 4 ?

?π 3π ? 【答案】 ? , ? 4 ? ?4

6

1.(2016?石景山高一检测)下列说法中错误的是( A.arcsin?-

)

? ?

π 2? ?=- 4 2?

B.arcsin 0=0 π D.arcsin 1= 2

3 C.arcsin(-1)= π 2

π 【解析】 根据已知正弦值求角的定义知 arcsin(-1)=- ,故 C 错误. 2 【答案】 C 1 2.若 α 是三角形内角,且 sin α = ,则 α 等于( 2 A.30° C.60° B.30°或 150° D.120°或 60° )

【解析】 ∵α 是三角形内角,∴0°<α <180°. 1 ∵sin α = ,∴α =30°或 150°. 2 【答案】 B 3.已知 cos x=- A. C. 3π 2 4π 3 2 ,π <x<2π ,则 x=( 2 B. D. 5π 4 7π 4 2 5π ,∴x= . 2 4 )

【解析】 因为 x∈(π ,2π )且 cos x=- 【答案】 B

3 4.等腰三角形的一个底角为 α ,且 sin α = ,用含符号 arcsin x 的关系式表示顶角 5 β =________.
7

【导学号:72010034】

? π? 【解析】 由题意,α ∈?0, ?, 2? ?
3 又 sin α = , 5 π π π π π 2π 所以 <α < , <2α < , <π -2α < , 6 4 3 2 2 3 24 所以 β =π -arcsin . 25 24 【答案】 π -arcsin 25 3 ? 1? arcsin -arccos?- ? 2 ? 2? 5.求值: . arctan?- 3? 【解】 arcsin 3 π = , 2 3

? 1? 2π arccos?- ?= , ? 2? 3
π arctan(- 3)=- , 3 π 2π - 3 3 ∴原式= =1. π - 3

我还有这些不足: (1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案: (1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________

学业分层测评(十二) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题
8

1.下列叙述错误的是(

)

? π π? A.arctan y 表示一个?- , ?内的角 ? 2 2?
B.若 x=arcsin y,|y|≤1,则 sin x=y C.若 tan =y,则 x=2arctan y 2 D.arcsin y,arccos y 中的 y∈[-1,1] 【解析】 ∵tan 【答案】 C 1 π 2.已知 sin α =- ,- <α <0,则 α 等于( 3 2 ) π x =y,∴ =kπ +arctan y,∴x=2kπ +2arctan y,故 C 错. 2 2

x

? 1? A.π -arcsin?- ? ? 3? ? 1? C.arcsin?- ? ? 3?

? 1? B.π +arcsin?- ? ? 3? ? 1? D.-arcsin?- ? ? 3?

π 1 【解析】 - <α <0,sin α =- ,所以 α = 2 3

? 1? arcsin?- ?. ? 3?
【答案】 C π 5 3.若 <x<π 且 cos x=- ,则 x 等于( 2 6 5 A.arccos 6 C.π -arccos 5 6 ) 5 6 5 6

B.-arccos

D.π +arccos

?π ? 【解析】 ∵x∈? ,π ?, ?2 ?
5 ? 5? ∴x=arccos?- ?=π -arccos . 6 ? 6? 【答案】 C π? 3 ? 4.(2016?大连高一检测)若 tan?2x+ ?= ,则在区间[0,2π ]上解的个数为( 3? 3 ? A.5 C.3 B.4 D.2 )

π? 3 π π kπ π ? 【解析】 ∵tan?2x+ ?= ,∴2x+ =kπ + (k∈Z).即 x= - (k∈Z). 3? 3 3 6 2 12 ?
9

5π 11 17π 23 ∵x∈[0,2π ],∴k=1,2,3,4 时,x 分别为 , π , , π .故选 B. 12 12 12 12 【答案】 B 5.直线 x+2y+1=0 的倾斜角为( ) 【导学号:72010035】

? 1? A.arctan?- ? ? 2?
C.arcsin?-

B.-arctan

1 2

? ?

5? ? 5?

? 2 5? D.arccos?- ? ? 5 ?

1 1 1 【解析】 直线 x+2y+1=0 可化为 y=- x- ,∴直线斜率 k=- ,设直线倾斜角 2 2 2 1 2 5 ? 2 5? 为 α ,则 tan α =- ,故 α 为钝角,∴cos α =- ,∴α =arccos?- ?. 2 5 ? 5 ? 【答案】 D 二、填空题 2π ? ? π 6.(2016?威海高一检测)函数 y=arccos(sin x)?- ≤x≤ ?的值域为________. 3 ? ? 3 π 2π 3 【解析】 ∵- ≤x≤ ,∴- ≤sin x≤1, 3 3 2 5π ∴0≤arccos(sin x)≤ . 6

? 5π ? 【答案】 ?0, ? 6 ? ?
π 7.(2016?东营高一检测)若 x= 是方程 2cos(x+α )=1 的解, 其中 α ∈(0,2π ), 则 3 角 α =________. π? ? 【解析】 由条件可知 2cos?α + ?=1, 3? ? π? 1 π π ? 即 cos?α + ?= ,∴α + =2kπ ± (k∈Z). 3? 2 3 3 ? 4π ∵α ∈(0,2π ),∴α = . 3 【答案】 4π 3

1 8.(2016?日照高一检测)已知 cos α = ,α ∈[0,2π ),则角 α =________. 3 1 【解析】 因为 cos α = ,所以 α 是第一或第四象限角.又因为 α ∈[0,2π ), 3

10

1 1 所以 α =arccos 或 α =2π -arccos . 3 3 1 1 【答案】 arccos 或 2π -arccos 3 3 三、解答题 9.已知 sin α 3 =- ,且 α 是第二象限的角,求角 α . 2 2

α 【解】 ∵α 是第二象限角,∴ 是第一或第三象限的角. 2 又∵sin α 3 α =- <0,∴ 是第三象限角. 2 2 2

又 sin

4π 3 α 4 =- ,∴ =2kπ + π (k∈Z), 3 2 2 3

8 ∴α =4kπ + π (k∈Z). 3 10.(2016?四川高一检测)已知 tan α =-2,根据下列条件求角 α .

? π π? (1)α ∈?- , ?;(2)α ∈[0,2π ];(3)α ∈R. ? 2 2?
【解】

? π π? (1)由正切函数在开区间?- , ?上是增函数可知,符合条件 tan α =-2 ? 2 2?

的角只有一个,即 α =arctan(-2). (2)∵tan α =-2<0,∴α 是第二或第四象限角.

?π ? ?3π ,2π ?上是增函数知, 又∵α ∈[0,2π ], 由正切函数在区间? ,π ?、 符合 tan α ? ? 2 ? ? ? 2 ?
=-2 的角有两个. ∵tan(π +α )=tan(2π +α )=tan α =-2,

? π ? 且 arctan(-2)∈?- ,0?, 2 ? ?
∴α =π +arctan(-2)或 α =2π +arctan(-2). (3)α =kπ +arctan(-2)(k∈Z). [能力提升] 1.给出下列等式: π ?1? π ①arcsin =1;②arcsin? ?= ; 2 ?2? 6 1? 1 ? π? π ? ③arcsin?sin ?= ;④sin?arcsin ?= . 3 2? 2 3 ? ? ? 其中正确等式的个数是( )

11

A.1 C.3

B.2 D.4

π 【解析】 ①arcsin 无意义;②③④正确. 2 【答案】 C 2.若直线 x= A. 1 4



π? ? (-1≤k≤1)与函数 y=tan?2x+ ?的图象不相交,则 k=( 4? 2 ? 3 B.- 4 1 3 D.- 或 4 4

)

1 3 C. 或- 4 4

π? π π ? 【解析】 要使函数 y=tan?2x+ ?有意义则 2x+ ≠mπ + ,m∈Z 4? 4 2 ? ∵直线 x= ∴x=


2

π? ? (-1≤k≤1)与 y=tan?2x+ ?的图象不相交, 4? ?



π? ? 时正切函数 y=tan?2x+ ?无意义, 4? 2 ? π π + = +mπ , 2 4 2

即 2?



∴4k=4m+1. 1 当 m=0 时,k= ,满足要求; 4 3 当 m=-1 时,k=- 满足要求; 4 5 当 m=1 时,k= 不满足要求, 4 1 3 故满足条件的 k= 或- . 4 4 【答案】 C 3.函数 y= 3-2x+π -arccos(2x-3)的定义域是________.
? ?3-2x≥0, 【解析】 要使函数有意义,需有:? ?-1≤2x-3≤1, ?

3 解得:1≤x≤ . 2

? 3? 【答案】 ?1, ? 2 ? ?
2

4.若 f (arcsin x)=x +4x,求 f (x)的最小值,并求 f (x)取得最小值时的 x 的值.

12

? π π? 【解】 令 t=arcsin x,t∈?- , ?,即 sin t=x, ? 2 2? ? π π? 2 2 sin t∈[-1,1], 于是 f (t)=sin t+4sin t, 即 f (x)=(sin x+2) -4, x∈?- , ?. ? 2 2?
∵-1≤sin x≤1, ∴当 sin x=-1,即 x=- π 2 时,f (x)取得最小值(-1+2) -4=-3. 2

13


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