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高中数学配套同课异构2.2.1 综合法和分析法 课件(人教A版选修2-2)_图文

第二章 推理与证明

2.2.1 综合法和分析法

复习

推 理
合情推理
(或然性推理)

演绎推理 (必然性推理) 三段论 (一般到特殊)

归纳
(特殊到一般)

类比 (特殊到特殊)

复习
演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合 情推理.

例1:已知a>0,b>0, 求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明: 因为b2+c2
≥2bc,a>0

所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2
≥2bc,b>0

所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.

利用已知条件和某些数学定义、公理、
定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法

用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理

等,Q表示所要证明的结论.

则综合法用框图表示为:

P ? Q1

Q1 ? Q2

Q 2 ? Q3



Qn ? Q

综合法又叫“顺推证法”或“由因导果”, 其基本思想是:由已知推可知,逐步推出未 知.证明数学命题时,还经常从要证的结论 出发,反推回去,寻求保证结论成立的条

件,即使结论成立的充分条件.

a+b 回顾基本不等式: ? 2

ab

(a>0,b>0)的证明.
证明: 因为;( a ? b ) ? 0
2

a+b 证明:要证; ? ab 2 只需证;a + b ? 2 ab

所以 a + b ? 2 ab ? 0 所以 a + b ? 2 ab
a+b ? ab 成立 所以 2

只需证;a + b ? 2 ab ? 0
( a ? b )2 ? 0 只需证;

因为;( a ? b )2 ? 0 成立

a+b 所以 ? 2

ab成立

一般地,从要证明的结论出发,逐步 寻求推证过程中,使每一步结论成立的充 分条件,直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止,这种证明的 方法叫做分析法.

特点:执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q ? P1
P1 ? P2

P2 ? P3



得到一个明显 成立的结论

例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足 S 为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E

A
B

C

因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立

π 例. 已知α, β≠ kπ+ (k ? Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθ cosθ= sin 2 ? β 1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
P1 ? P2
2 2

证: 求
Q ? P1

P2 ? P3



得到一个明显 成立的结论

具体详解参照教材p88

也可以是经过 证明的结论

思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数 甲:208个,乙:112个,丙:64个

小结

1.在数学证明中,综合法和分析法是 两种最常用的数学方法,若从已知入手 能找到证明的途径,则用综合法,否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件,分析法的每步推理都是寻找充分条 件,在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.

3.综合法和分析法是两种互逆的思维 模式,在证明某些较复杂的问题时,常 采用分析综合法,用综合法拓展条件, 用分析法转化结论,找出已知与结论的 连结点.


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