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必修四第一章三角函数-1.6三角函数模型的简单应用 教案


1.6 三角函数模型的简单应用
例题 1 已知后勤保障队位于沙漠考察队北偏东 30°处,两队相距 80km. 上午 6 点,后勤队 驾越野车以 15km / h 的速度向沙漠考察队方向行进,但此时,沙漠考察队却以 3km / h 的速 度徒步向正东方向开始考察. 两支队伍均配备用于联络的步话机,步话机的联络半径是 10km, 且两队都打开步话机并随时呼叫对方. (1)求两队出发 t 小时后它们之间的距离 f (t ); (2)在两队行进过程中,是否可以通过步话机建立联络?请说明理由. 解析: 解析:设沙漠考察队出发位置为 A,t 小时位于点 Q,后勤队 t 小时位于 P 点. 则条件:知∠PAQ= 60°, AP = 80 – 15t , AQ = 3t , ∴ |PQ|2 = (80 – 15t)2 + (3t)2 – 2 (80 – 15t)(3t)cos60° = 279t2 – 2640t + 6400 . ∴f (t ) =
279t 2 ? 2640t + 6400 . (t ≥ 0 )

(2) ∵f (t ) = ≥
4800 31 >

279t ? 2640t + 6400 =
2

279( t ?

440 2 4800 ) + 93 31

3100 31 =10.

∴两队联络不上. 例题 2 已知函数 y = sin 2 x + sin 2 x + 3cos 2 x ,求

(1)函数的最小值及此时的 x 的集合。 (2)函数的单调减区间 (1) 此函数的图像可以由函数 y = 解析: 1)最小值为 2 ? 解析: (

2 sin 2 x 的图像经过怎样变换而得到。

5π ? ? 2 ,x的集合为 ? x | x = + kπ , k ∈ Z ? 8 ? ? 5π ?

(2) 单调减区间为 ? + kπ , + kπ ? (k ∈ Z ) 8 ?8 ?



(3)先将 y = 后将 y =

2 sin 2 x 的图像向左平移

π
8

个单位得到 y =

2 sin(2 x +

π
4

) 的图像,然

2 sin(2 x +

π
4

) 的图像向上平移 2 个单位得到 y = 2 sin(2 x +

π
4

) +2 的图像。

A 例题 3 在△ABC 中,已知 sinB·sinC=cos2 2 ,试判断此三角形的类型. A 1 + cos A 2 解析: 解析:∵sinB·sinC=cos2 2 , ∴sinB·sinC=
∴2sinB·sinC=1+cos[180°-(B+C) ] 将 cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC 代入上式得?

cosBcosC+sinBsinC=1, ∴cos(B-C)=1 ? 又 0<B,C<π,∴-π<B-C<π?∴B-C=0 ∴B=C, 故此三角形是等腰三角形. 例题 4 一个扇形 OAB 的周长为 20 ,求扇形的半径,圆心角各取何值时, 此扇形的面积最大? 解析: 解析:设扇形的半径为 r ,则

S=

1 (20 ? 2r )r = ? r 2 + 10r 2 l =2 r

当 r = 5 时, S 取最大值,此时 l = 10, α =

三角函数模型的简单应用(基础训练) 三角函数模型的简单应用(基础训练) 数模型的简单应用
1
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化简 sin 600 的值是(

0



A

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0.5

B

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?0.5

C

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3 2

D

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?

3 2

答案:D 解析: sin 600 = sin 240 = sin(180 + 60 ) = ? sin 60 = ?
0 0 0 0 0

3 2

2

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x (a ? x) 2 cos x 1 ? a 若 0 < a < 1 , < x < π ,则 ? + 2 x?a cos x a x ? 1

π

的值是( A
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) B
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1

?1

C

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3

D

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?3

答案:A 解析: cos x < 0,1 ? a > 0, x ? a > 0,
x
x (a ? x ) 2 cos x 1 ? a ? + x = 1 ? ( ?1) + ( ?1) = 1 x?a cos x a ? 1

3

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若 α ∈ ? 0,

? π? log sin α 等于( ? ,则 3 3 ? 3?
B



A

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sin α

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1 sin α

C

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? sin α

D

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?

1 cos α

答案 B

解析:

log 3 sin α < 0, 3 log3 sin = 3? log3 sin α = 3

α

log3

1 sin α

=

1 sin α
( )

4、在△ABC 中, a = 4 sin 10°, b = 2 sin 50°, ∠C = 70° ,则 S△ABC=

1 A. 8
答案:C

1 B. 4

1 C. 2

D.1

5、已知角 α 的终边与函数 5 x + 12 y = 0, ( x ≤ 0) 决定的函数图象重合,

cos α +
答案: ?

1 1 ? 的值为_____________ tan α sin α

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77 13 12 5 5 , tan α = ? , sin α = 13 12 13
是第 象限的角
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解析:在角 α 的终边上取点 P ( ?12, 5), r = 13, cos α = ?

6、 若 α 是第三象限的角, β 是第二象限的角,则

α ?β
2

答案:一或三 解析: 2k1π + π < α < 2k1π +

3π π , (k1 ∈ Z ), 2k2π + < 2α < 2k2π + π , (k2 ∈ Z ), 2 2
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7、求

1 ? sin 6 α ? cos 6 α 的值 1 ? sin 4 α ? cos 4 α 3 2

答案:

解析:

1 ? sin 6 α ? cos 6 α 1 ? (sin 2 α + cos 2 α )(sin 4 α ? sin 2 α cos 2 α + cos 4 α ) = 1 ? sin 4 α ? cos 4 α 1 ? (1 ? 2sin 2 α cos 2 α ) = 1 ? (1 ? 3sin 2 α cos 2 α ) 3 = 1 ? (1 ? 2sin 2 α cos 2 α ) 2

8、已知 sin θ = a sin ? , tan θ = b tan ? , 其中 θ 为锐角, 求证: cos θ =

a2 ?1 b2 ?1
sin θ a sin ? = , 即 a cos ? = b cos θ tan θ b tan ?

证明:由 sin θ = a sin ? , tan θ = b tan ? , 得

而 a sin ? = sin θ ,得 a = b cos θ + sin θ ,即 a = b cos
2 2 2 2

2

2

2

θ + 1 ? cos 2 θ ,

得 cos

2

θ=

a2 ?1 a2 ?1 , 而 θ 为锐角,∴ cos θ = b2 ? 1 b2 ? 1

三角函数模型的简单应用 强化训练) 三角函数模型的简单应用(强化训练)
1、如果 1 弧度的圆心角所对的弦长为 2 , 那么这个圆心角所对的弧长为( ) A
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C 答案:A
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1 sin 0.5 2 sin 0.5

B

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sin 0.5 tan 0.5 1 1 1 = sin 0.5, r = ,l = α ?r = r sin 0.5 sin 0.5


D

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解析:作出图形得

2、 已知 sin α > sin β ,那么下列命题成立的是( A B C
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若 α , β 是第二象限角,则 tan α > tan β

若 α , β 是第一象限角,则 cos α > cos β

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若 α , β 是第三象限角,则 cos α > cos β 若 α , β 是第四象限角,则 tan α > tan β

D

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答案:D 解析:画出单位圆中的三角函数线 3、在半径为 30m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源, 射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为 120 ,若要光源 恰好照亮整个广场,则其高应为_______ m (精确到 0.1m ) 答案: 17.3 解析: 4
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0

h = tan 300 , h = 10 3 30
象限
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如果 tan α sin α < 0, 且 0 < sin α + cos α < 1, 那么 α 的终边在第

答案:二 解析: tan α sin α =

sin 2 α < 0, cos α < 0,sin α > 0 cos α

5、 α 的终边上的点 P 与 A( a, b) 关于 x 轴对称 ( a ≠ 0, b ≠ 0) , β 的终边上的点 Q 与 A 角 角 关于直线 y = x 对称,求 答案:0 解析: P ( a, ?b), sin α =

sin α tan α 1 + + 之值 cos β tan β cos α sin β

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?b a +b
2 2

, cos α =

a a +b
2 2

, tan α = ?

b a

Q(b, a ), sin β =

a a +b
2 2

, cos β =

b a +b
2 2

, tan β =

a b



sin α tan α 1 b2 a 2 + b 2 + + = ?1 ? 2 + =0 cos β tan β cos α sin β a a2

7 3π < α < π , 2 6、已知 tan α 、 cot α 是关于 x 的方程 x ? kx + k ? 3 = 0 的两实根,且
2 2

求 cos(3π + α ) ? sin(π + α ) 的值. 答案:0 解析:提示:先利用韦达定理找出 tan α 、 cot α 的关系,再用诱导公式求解

三角函数模型的简单应用(提高训练) 三角函数模型的简单应用(提高训练)
1、若 θ 为锐角且 cos θ

? cos ?1 θ = ?2 ,则 cos θ + cos ?1 θ 的值为(
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A

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2 2

B

6

C

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6

D

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

4

答案:A 解析: (cos θ + cos ?1 θ )2 = (cos θ ? cos ?1 θ ) 2 + 4 = 8, cos θ + cos ?1 θ = 2 2

2、设角

α =?

2 sin(π + α ) cos(π ? α ) ? cos(π + α ) 35 π ,则 1 + sin 2 α + sin(π ? α ) ? cos 2 (π + α ) 的值等于 6 3 B.- 3





3 A. 3
答案:C 解析:先化简再求解

C. 3

D.- 3

3、若 f (cos x ) = cos 3 x, 那么 f (sin 30°) 的值为





A.0 答案:C

B.1

C.-1

3 D. 2

0 0 解析:先将 sin 30 变为 cos 60 再利用 f (cos x ) = cos 3 x, 求解

4、已知正弦函数 y=Asin(ωx+φ)的一段曲线(如下图),试求解析式.

答案: y =

2 sin(

2π 4π 4π 解析: 解析:(1)因为 A=3,T=π,ω=2,φ=-ωx0=-2(- 5 )= 5 ,所以 y=3sin(2x+ 5 ). 11 (2)A= 2 ,当 x=0 时,y=1,所以 2 sinφ=1,又|φ|< 2 ,所以 φ= 4 ,当 x= 12 π 时, 11π π 21 21 π y=0,即 2 sin(ω· 12 + 4 )=0,所以 ω= 11 ,所以 y = 2 sin( x + ) 11 4

21 π x+ ) 11 4

π

π

1 5、函数 f(x)的横坐标伸长到原来的两倍,再向左平移 2 个单位,所得到的曲线是 y= 2 sinx
的图像,试求函数 y=f(x)的解析式. 答案: y = ?

π

1 π 1 π 解析:问题即是将 y= 2 sinx 的图像先向右平移 2 个单位,得 y= 2 sin(x- 2 );再将横坐标 1 1 π 1 压缩到原来的 2 ,得 y= 2 sin(2x- 2 ),即 y=- 2 cos2x.这就是所求函数 f(x)的解析式. x π 6、求下列函数的单调区间:(1)y=sin( 4 -2x);(2)y=log cos( 3 + 4 );
1 2

1 cos 2 x 2

π

π
(3)y=-|sin(x+ 4 )|

π π 3π π π t 是 x 的减函数,∵ 2kπ- 2 ≤ 4 -2x≤2kπ+ 2 ,∴ -kπ- 8 ≤x≤-kπ+ 8 (k∈ Z).
3π ∴函数 y 的单调递减区间是[kπ- 8 ,kπ- 8 ](k∈Z),又由 π π 3π 5π π 2kπ+ 2 ≤ 4 -2x≤2kπ+ 2 ,即得-kπ- 8 ≤x≤-kπ- 8 (k∈Z),

π

解析: 解析:(1)此题可看作是由 y=sint 和 t= 4 -2x 复合成的复合函数,应注意 t= 4 -2x 中

π

π

5π π π ∴函数 y 的单调递增区间是 [kπ- 8 ,kπ- 8 ] Z), (k∈ 此题也可将函数改写成 y=-sin(2x- 4 )
的形式,然后求解.

x π 1 (2)此题应注意两个方面, 首先是对数应有意义, cos( 3 + 4 )>0,其次是以 2 为底的对
数函数是减函数.

x π 9π 3π x π π 由 2kπ- 2 < 3 + 4 ≤2kπ 得 6kπ- 4 <k≤6kπ- 4 (k∈ Z),由 2kπ≤ 3 + 4 <2kπ+ 2 ,得 3π 3π Z). 6kπ- 4 ≤x<6kπ+ 4 (k∈ 3π 3π ∴单 调 递 增 区 间 是 (6kπ- 4 ,6kπ+ 4 )(k∈ 单 调 递 减 区 间 是 Z); 3π 9π Z). (6kπ- 4 ,6kπ- 4 ] (k∈

π

π π

π

(3)设 x+ 4 =u,y=-|sinu|的大致图像如图,函数的周期是 π,u∈ [kπ- 2 ,kπ](k∈ Z)

3 π kπ ? 4 ] (k∈ 时函数 时函数递增,u∈ [kπ,kπ+ 2 ](k∈ Z)时函数递减,即 x∈ [kπ- 4 , Z)

π

π

递增,x∈ [kπ- 4 ,kπ+ 4 ](k∈ Z)时函数递减.


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