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高中数学人教A版选修2-1课时作业:2.3.4 双曲线的简单几何性质(2)


第二章 2.3 课时作业 20 一、选择题 1.如下图,ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是( ) x2 y2 解析:直线方程可化为 y=ax+b,曲线方程可化为 + =1,若 a>0,b>0,则曲线表 a b 示椭圆,故 A 不正确.关于 B、D,由椭圆知直线斜率应满足 a>0,而由 B,D 知直线斜率 均为负值,故 B,D 不正确.由 C 可知 a>0,b<0. 答案:C 2.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直,那么此双曲线的离心率为( A. 2 C. 3+1 2 ) B. 3 D. 5+1 2 x2 y2 解析:设双曲线方程为 2- 2=1(a,b>0),不妨设一个焦点为 F(c,0),虚轴端点为 B(0, a b b b bb b b),则 kFB=- .又渐近线的斜率为± ,所以由直线垂直关系得- · =-1(- 显然不符合), c a ca a 即 b2=ac, 又 c2-a2=b2,故 c2-a2=ac,两边同除以 a2,得方程 e2-e-1=0,解得 e= 负). 答案:D 3.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两 点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( x2 y2 A. - =1 3 6 x2 y2 C. - =1 6 3 x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 5 4 ) 5+1 (舍 2 x2 y2 解析:设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由题意知 c=3,a2+b2=9.设 A(x1, a b y1),B(x2,y2),则 ? ?x y ?a -b =1 2 2 2 2 2 2 x2 y2 1 1 2- 2=1 a b ,两式作差得 y1-y2 b2?x1+x2? -12b2 4b2 = = = 2.又直线 AB x1-x2 a2?y1+y2? -15a2 5a -15-0 的斜率是 =1,所以 4b2=5a2. -12-3 x2 y2 代入 a2+b2=9 得 a2=4,b2=5,所以双曲线的标准方程是 - =1. 4 5 答案:B x2 y2 4.[2013· 浙江省学军中学期中考试]如图,F1、F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的 a b 左、右焦点,过 F1 的直线与 C 的左、右两支分别交于 A、B 两点.若|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶ 4∶5,则双曲线的离心率为( ) A. C. 2 13 B. D. 15 3 解析:本题主要考查双曲线的几何性质.∵|AB|∶ |BF2|∶ |AF2|=3∶4∶5,不妨令|AB| =3,|BF2|=4,|AF2|=5,∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2,∴∠ABF2=90° ,又由双曲线的定义得: |BF1|-|BF2|=2a, |AF2|-|AF1|=2a, ∴|AF1|+3-4=5-|AF1|, ∴|AF1|=3, ∴2a=|AF2|-|AF1| =2, ∴a=1, |BF1|=6.在 Rt△BF1F2 中, |F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=36+16=52, 又|F1F2|2=4c2, c ∴4c2=52,∴c= 13,∴双曲线的离心率 e= = 13,故选 A. a 答案:A 二、填空题 5.已知双曲线 C:x2-y2=1,F 是其右焦点,过 F 的直线 l

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