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【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:2.3 函数的奇偶性与周期性]

§2.3 函数的奇偶性与周期性
一、选择题 1.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间 [0, 2] 上是增函 数,则( ) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25)

域为 R,所以 f (0) ? 0 ,且函数的图象关于 x ? 2 对称, 因为函数 f ( x) 在区间 [0, 2] 上 是 增 函 数 , 所 以 在 [0, 2] 上 的 函 数 值 非 负 , 故 f (1) ? 0 , 所 以
f (? 2 5 ? ) ? f ( 2? 5f ) ? (1) ,? 0

f (80) ? f (0) ? 0 , f (11) ? f (3) ? 0 ,所以 f (?25) ? f (80) ? f (11) ,故选 D.

答案 D 2.已知定义在 R 上的奇函数,f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 ).

解析 (构造法)构造函数 f(x)=sin sin

π ?π x,则有 f(x+2)=sin? 2 ?2

x+

? ?=- ?

π π x=-f(x), 所以 f(x)=sin x 是一个满足条件的函数, 所以 f(6)=sin 2 2

3π =0,故选 B. 答案 B 【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数,是解答抽象函数选 择题的常用方法,充分体现了由抽象到具体的思维方法. 3.下列函数中,既是偶函数,且在区间 ?0,??? 内是单调递增的函数是( )

1

A. y ? x 2

B. y ? cos x

C.

y ? ln x

D. y ? 2 x

答案 D 4.若函数 f(x)= 1 A. 2

x x+
B. 2 3

x-a

为奇函数,则 a=( C. 3 4 是奇函数,

). D.1

解析 (特例法)∵f(x)= ∴f(-1)=-f(1), ∴ -1 -2+ -1-a

x x+ x-a

=-

1 + -a



1 ∴a+1=3(1-a),解得 a= . 2 答案 A 【点评】 本题采用特例法,可简化运算,当然也可用奇函数的定义进行解题, 不过过程较为繁琐,若运算能力较弱容易出错. 5.函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则( A.f(x)是偶函数 C.f(x)=f(x+2) B.f(x)是奇函数 D.f(x+3)是奇函数 ).

解析 由已知条件对 x∈R 都有 f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1) 因此 f(-x+3)=f[-(x-2)+1]=-f[(x-2)+1]=-f(x-1)=f(-x-1) =f( - x - 2 + 1)= f( -(x + 2)+ 1) =-f((x+ 2) + 1) =-f(x+ 3) ,因此函数

f(x+3)是奇函数.
答案 D 6.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并满足 f(x+2)=- 时,f(x)=x-2,则 f(6.5)=( A.4.5 C.0.5 ) B.-4.5 D.-0.5 1

f x

,当 1≤x≤2

解析

∵ f(x + 2) =-

1

f x

,∴ f(x + 4) = f[(x + 2) + 2] =-

1

f x+



f(x),∴f(x)周期为 4,∴f(6.5)=f(6.5-8)=f(-1.5)=f(1.5)=1.5-2=
-0.5. 答案 D

【点评】 本题采用直接法,所谓直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有 关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理与计算来得 出题目的结论,然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是 由因导果,直接求解. 7.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x, 则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( A.6 B.7 C.8 ). D.9

解析 当 0≤x<2 时,令 f(x)=x3-x=0,得 x=0 或 x=1 或 x=-1(舍去), 又 f(x)的最小正周期为 2,∴f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=0,f(1)=f(3)=f(5) =0, ∴y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7. 答案 B 二、填空题 1 8.已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 4

f(2 013)=________.
解析 法一 1 1 当 x=1,y=0 时,f(0)= ;当 x=1,y=1 时,f(2)=- ;当 x 2 4

1 1 =2,y=1 时,f(3)=- ;当 x=2,y=2 时,f(4)=- ;当 x=3,y=2 时, 2 4

f(5)= ;当 x=3,y=3 时,f(6)= ;当 x=4,y=3 时,f(7)= ;当 x=4, y=4 时,f(8)=- ;?.
∴f(x)是以 6 为周期的函数, 1 ∴f(2 013)=f(3+335×6)=f(3)=- . 2 1 4

1 4

1 2

1 4

1 法二 ∵f(1)= ,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y), 4 1 π ∴构造符合题意的函数 f(x)= cos x, 2 3 1 1 ?π ? ∴f(2 013)= cos? ×2 013?=- . 3 2 2 ? ? 答案 - 1 2

a-ex 9. 若函数 f(x) = (a 为常数 ) 在定义域上为奇函数,则实数 a 的值为 1+aex
________. 解析

a-e-x aex-1 f(-x)= = 1+ae-x ex+a

f(x)+f(-x)
= =

a-ex

a+ex + +aex

+aex ex+a

aex-

a2-e2x+a2e2x-1 =0 恒成立, +aex ex+a

所以 a=1 或-1. 答案 1 或-1 10. 若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数, 且满足 f(1)=1, f(2)=2, 则 f(3)-f(4) =________. 解析 ∵f(x+5)=f(x)且 f(-x)=-f(x), ∴f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)=-f(1)=-1, 故 f(3) -f(4)=(-2)-(-1)=-1. 答案 -1 11.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如 图所示,则使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________.

解析 由原函数是奇函数,所以 y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称,

由 y=f(x)在[0,5]上的图象,得它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知, 使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(-2,0)∪(2,5).

答案 (-2,0)∪(2,5) 12.对于函数 f ( x) ? lg x ? 2 ?1 ,有如下三个命题: ① f ( x ? 2) 是偶函数; ② f ( x) 在区间 ? ??,2? 上是减函数,在区间 ? 2, ??? 上是 增函数; ③ f ( x ? 2) ? f ( x) 在区间 ? 2, ??? 上是增函数. 其中正确命题的序号是 都填上) (将你认为正确的命题序号 .

解析 函数 f ( x) 和 f ( x ? 2) 的图像如图所示, 由图像可知 ① ② 正 确 ; 函 数

f ( x ? 2) ? f ( x) ? lg x ? lg x ? 2 ? lg

x 2 , ? lg 1 ? x?2 x?2

由复合函数的单调性法则, 可知函数 f ( x ? 2) ? f ( x) 在区 间 ? 2, ??? 上是减函数。所以③错。 答案 ①②

三、解答题 13. f(x)是定义在 R 上的奇函数且满足 f(x+2)=f(x),当 x∈(0,1)时,f(x) =2x-1,求 f(log1 6)的值 2 解析 ∵log1 6=-log26<0, 2 且 f(x)为奇函数, ∴f(log1 6)=-f(log26). 2

又∵f(x+2)=f(x), 3 ∴f(log26)=f(log26-2)=f(log2 ), 2 3 而 log2 ∈(0,1). 2 3 3 3 1 log ∴f(log2 )=2 2 2 -1= -1= . 2 2 2 1 ∴f(log1 6)=- . 2 2 14.已知函数 f(x)对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0 时,

f(x)<0,f(1)=-2.
(1)求证 f(x)是奇函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解析 (1)证明 令 x=y=0,知 f(0)=0;再令 y=-x,

则 f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以 f(x)为奇函数. (2)任取 x1<x2,则 x2-x1>0,所以 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1) =f(x2)-f(x1)<0, 所以 f(x)为减函数. 而 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1) =-6,f(-3)=-f(3)=6. 所以 f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6. 15.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R) (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围. 解析 (1)函数 f(x)的定义域为{x|x≠0},
2

a x

当 a=0 时,f(x)=x ,(x≠0) 显然为偶函数;当 a≠0 时,f(1)=1+a,f(-1)=1-a, 因此 f(1)≠f(-1),且 f(-1)≠-f(1), 所以函数 f(x)=x2+ 既不是奇函数,也不是偶函数.

a x

a 2x3-a (2)f′(x)=2x- 2= , x x2

当 a≤0,f′(x)>0,则 f(x)在(2,+∞)上是增函数, 当 a>0 时,由 f′(x)= 函数, 可知 3 a ≤2.解得 0<a≤16 2 2x3-a >0,解得 x> 3 a ,由 f(x)在[2,+∞)上是增 2

x

2

综上可知实数 a 的取值范围是(-∞,16]. 16.已知函数 f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m. (1)求 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值 h(t); (2)是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的 交点?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由. 解析 (1)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,

当 t+1<4,即 t<3 时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,

h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)
=-t2+6t+7; 当 t≤4≤t+1,即 3≤t≤4 时,h(t)=f(4)=16; 当 t>4 时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,

h(t)=f(t)=-t2+8t.
综上,h(t)=?16

?

-t2+6t+7,t<3 3≤t≤4 .
2

?-t +8t,

t>4

(2)函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点, 即函数 φ (x) =g(x)-f(x)的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点. ∵φ (x)=x -8x+6lnx+m, 6 2x2-8x+6 ∴φ ′(x)=2x-8+ =
2

x

x



x- x

x-

(x>0).

当 x∈(0,1)时,φ ′(x)>0,φ (x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,φ ′(x)<0,φ (x)是减函数;

当 x∈(3,+∞)时,φ ′(x)>0,φ (x)是增函数; 当 x=1 或 x=3 时,φ ′(x)=0. ∴φ (x)极大值=φ (1)=m-7, φ (x)极小值=φ (3)=m+6ln3-15. ∵当 x 充分接近 0 时,φ (x)<0; 当 x 充分大时,φ (x)>0. ∴要使 φ (x)的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只需 ?φ ? ?φ

x x

极大值 极小值

=m-7>0 =m+6ln3-15<0

,即 7<m<15-6ln3.

所以存在实数 m,使得函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,

m 的取值范围为(7,15-6ln3).


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