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湖北省八校2018届高三上学期第一次联考(12月)数学(文)试题


鄂南高中 荆州中学

华师一附中 孝感高中

黄冈中学 襄阳四中

黄石二中 襄阳五中

2018 届高三第一次联考 数学试题(文)
命题学校:黄冈中学 审定学校:孝感高中 命题人:郭 旭 肖海东 审题人:詹 辉 审定人:詹辉

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x ? N* x2 ? 3x ? 0} ,则满足条件 B ? A 的集合 B 的个数为( A. 2 2.已知复数 z ? A. 0 B. 3 C. 4 D. 8 )

a 2?i 的实部与虚部和为 2 ,则实数 a 的值为( ) ? 2?i 5 B. 1 C. 2 D. 3


1 ?? ? 3.已知 sin( ? ? ? ) ? ? ,则 tan ? ? ? ? 值为( 3 ?2 ?
A. 2 2 B. ?2 2

2 D. ?2 2 4 4. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年纪念日,中国人民银行 发行了以此为主题的金银纪念币. 如图所示的是一枚 8 克圆形金质纪念 币,直径 22 毫米, 面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积,现向 硬币内随机投掷 100 粒芝麻,已知恰有 30 粒芝麻落在军旗内,据此可 估计军旗的面积大约是( ) 726? 363? 363? 363? A. B. C. D. mm2 mm2 mm2 mm2 5 10 5 20 5.下列说法正确的个数是( ) ①“若 a ? b ≥ 4 ,则 a, b 中至少有一个不小于 2 ”的逆命题是真命题 ② 命题“设 a , b ? R ,若 a ? b ? 6 ,则 a ? 3 或 b ? 3 ”是一个真命题 ③“ ?x0 ? R, x02 ? x0 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ” ④ a ? 1 ? b 是 a ? b 的一个必要不充分条件 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O , F (?5,0) 为 C 的左焦点, P 为 C 上一点,满足 | OP |?| OF | 且 | PF |? 6 ,则椭圆 C 的方程为( )
C.

第 4 题图

x2 y2 ? ?1 36 16 x2 y2 ? ?1 C. 49 24
A.

B.

x2 y2 ? ?1 40 15 x2 y2 ? ?1 D. 45 20

7.已知正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1a6 ? 2a3 , a4 与 2a6 的等差中项为 ( )

3 ,则 S5 ? 2

A. 36 B. 33 C. 32 8.已知一几何体的三视图如图所示,它的侧视图与正视图相同, 则该几何体的表面积为( ) A. 16 ? 12? B. 32 ? 12? C. 24 ? 12? D. 32 ? 20? 9. 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化 算法,即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的 最优算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多 项式值的一个实例,若输入 n , x 的值分别为 3 , 4 则输出 v 的 值为( ) A. 399 B. 100 C. 25 D. 6

D. 31 4
2

2 正视图 侧视图

第 8 题图

俯视图

开始

输入 n,x

v=1

i=n-1 i=i-1
第 9 题图

i≥0? 是 v=vx+i



输出 v

结束

10.已知 ? 为圆周率, e ? 2.71828L 为自然对数的底数,则( ) e e A. ? ? 3 B. ? log3 e ? 3log ? e C. 3e-2 ? ? 3?e-2 D. log? e ? log3 e 11.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ln | x | 与 g ( x ) ? sin(? x ? ? ) 有两个公共点,则在下列函数中满足条 件的周期最大的函数 g ( x ) ? ( )

π? ? A. sin ? πx ? ? 2? ?

π? ? B. sin ? πx ? ? 2? ?

?π ? C. sin ? x ? ? ? ?2 ?

π? ? D. sin ? 2πx ? ? 2? ?

12.已知数列 {an } 满足 an ? 5n ? 1 ( n ? N* ) ,将数列 {an } 中的整数项按原来的顺序组成新 数列 {bn } ,则 b2017 的末位数字为( A. 8 B. 2 ) C. 3 D. 7

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知平面向量 a , b 错误!未找到引用源。的夹角为

2? 错误!未找到引用源。,且 3 | a |? 1 , | b |? 2 错误!未找到引用源。,若 (? a ? b) ? (a ? 2b) 错误!未找到引用源。,则 ? ? _____.

?x ? y ? 4≥ 0 ? y 的最小值为 2 , 14.已知 x, y 满足约束条件 ? x ≤ 2 错误!未找到引用源。,且 z ? x ? 3 ?x ? y ? k ≥ 0 ?
则常数 k ? _______.

?(ln x) 2 ? a ln x ? b, x ? 0 ? 15. 已知函数 f ( x) ? ? x 1 , 若 f( e )2 ?1 ( )f e ? , x ≤ 0 ? 2 ?
的值域为_________.

,f (e) ?

4 则函数 f ( x ) f (0) , 3

16.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理) : “幂势既同,则积不容异” . “势”即是高, “幂”是面积.意思是: 如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等,那么这 两个几何体的体积相等.已知双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ?2 x ,一 个焦点为 ( 5,0) . 直线 y ? 0 与 y ? 3 在第一象限内与双曲线及渐近线 围成如图所示的图形 OABN ,则它绕 y 轴旋转一圈所得几何体的体积 为_____. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17. (12 分) 在 V ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c . (1)若 23cos 2 A ? cos 2 A ? 0 ,且 V ABC 为锐角三角形, a ? 7 , c ? 6 ,求 b 的值; (2)若 a ? 3 , A ? 18. (12 分) 如图, 直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中,AC ? BC ? 5 , AA? ? AB ? 6 ,D ,

? ,求 b ? c 的取值范围. 3
A? B?
E A D
第 18 题图

C?

AD BE . ? E 分别为 AB 和 BB ? 上的点,且 DB EB? (1)当 D 为 AB 中点时,求证: A?B ? CE ; (2)当 D 在 AB 上运动时,求三棱锥 A? ? CDE 体积的最小值.

C

19. (12 分) 为研究患肺癌与是否吸烟有关, 做了一次相关调查, 其中部分数据丢失, 但可以确定的是不吸烟人数与吸烟人数相同,吸烟患肺癌人数占吸烟总 人数的

B

4 ;不吸烟的人数中,患肺癌与不患肺癌的比为 1: 4 . 5 (1) 若吸烟不患肺癌的有 4 人,现从患肺癌的人中用分层抽样的方法抽取 5 人, 再从这 5 人中随机抽取 2 人进行调查,求这两人都是吸烟患肺癌的概率;
(2)若研究得到在犯错误概率不超过 0.001 的前提下,认为患肺癌与吸烟有关,则吸烟 的人数至少有多少? 附: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K ≥ k 0 )

0.100

0.050

0.010

0.001

k0
20. (12 分)

2.706

3.841

6.635

10.828

5 . 2 | QF | ? 1 ? (1)若 M ? ? , 0 ? ,过点 M , P 的直线 l1 与抛物线相交于另一点 Q ,求 的值; | PF | ? 2 ?
已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 在第一象限内的点 P(2, t ) 到焦点 F 的距离为 (2)若直线 l2 与抛物线 C 相交于 A, B 两点,与圆 M : ( x ? a)2 ? y 2 ? 1 相交于 D, E 两点,
O 为坐标原点, OA ? OB ,试问:是否存在实数 a ,使得 | DE | 的长为定值?若存在,求

出 a 的值;若不存在,请说明理由. 21. (12 分)已知函数 f ( x) ? ? ln x ? e? x ( ? ? R ) . (1)若函数 f ( x) 是单调函数,求 ? 的取值范围; (2)求证:当 0 ? x1 ? x2 时,都有 e1? x2 ? e1? x1 ? 1 ?

x2 . x1

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做,则按所做的 第一题计分。 22.[选修 4—4:坐标系与参数方程选讲](10 分)

9 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴 cos ? ? 9sin 2? 为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线 C 的普通方程;
已知曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ?
2

(2)A,B 为曲线 C 上两点,若 OA⊥OB,求 23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)

1 1 ? 的值. 2 | OA | | OB |2

已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? b (a ? 0,b ? 0) . (1)若 a ? 1 , b ? 2 ,解不等式 f ( x)≤5 ; (2)若 f ( x) 的最小值为 3 ,求 值.

a 2 b2 ? 的最小 b a


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