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高中数学立体几何知识点总结


高中数学之立体几何
空间几何体的三视图和直观图 1 三视图:正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则: 长对正、高平齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法(角度等于 45 度或者 135 度) 4 斜二测画法的步骤:(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;(2).平行于 y 轴的线长度 变半,平行于 x 轴的线长度不变;(3).画法要写好。 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积:1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积

S ? 2?rl ? 2?r 2

3 圆锥的表面积: S

? ? rl ? ? r 2
2

4 圆台的表面积 S

? ? rl ? ? r 2 ? ? Rl ? ? R 2

5 球的表面积 S ? 4? R

6 扇形的面积公式 S扇形

n? R 2 1 ? ? lr (其中 l 表示弧长, r 表示半径) 360 2

注:圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长 (二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 V ? S底 ? h
3 台体的体积

1 2 锥体的体积 V ? S 底 ? h 3

1 V ? (S上 ? 3

S上 S下 ? S下 ) ? h

4 球体的体积 V

4 ? ? R3 3

平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理 3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面 (1)直线与直线 平行—没有公共点

相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交)
1

直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面 (3)平面与平面 直线不在平面内 (直线在平面外) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法;有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连 线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线 平行,即若 a∥α ,a ?β ,α ∩β =b,则 a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若 a∥b,b∥c,则 a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α ∥β ,α ∩γ ,β ∩γ =b,则 a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α ∩β =b,a∥α ,a∥β ,则 a∥b. (2)两直线垂直的判定 1.定义:若两直线成 90°角,则这两直线互相垂直. 2.一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂直.即若 b∥c,a⊥b,则 a⊥c 3.一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若 a⊥α ,b ? α ,a⊥b. 4.如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若 a∥α ,b⊥α , 则 a⊥b. 5.三个两两垂直的平面的交线两两垂直,即若α ⊥β ,β ⊥γ ,γ ⊥α ,且α ∩β =a,β ∩γ =b, γ ∩α =c,则 a⊥b,b⊥c,c⊥a. (3)直线与平面平行的判定 ①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直 线与这个平面平行.即若 a ? α ,b ? α ,a∥b,则 a∥α . ③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即若α ∥β ,l ? α ,则 l∥β . ④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面,那么这条直线和这个平面平行.即若 α ⊥β ,l⊥β ,l ? α ,则 l∥α . ⑤在一个平面同侧的两个点,如果它们与这个平面的距离相等,那么过这两个点的直线与这个 平面平行,即若 A ? α ,B ? α ,A、B 在α 同侧,且 A、B 到α 等距,则 AB∥α .
2

平行—没有公共点 相交—有且只有一公共点

相交—有一条公共直线(无数个公共点)

⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行,也与另一个平面平行,即若α ∥β ,a ? α , a ? β ,a∥α ,则α ∥β . ⑦如果一条直线与一个平面垂直,则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行 ,即若 a⊥α ,b α ,b⊥a,则 b∥α . ⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面 内),即若 a∥b,a∥α ,b∥α (或 b ? α ) (4)直线与平面垂直的判定 ①定义:若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.即若 m ? α ,n ? α ,m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α . ③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.即若 l∥a, α ,则 l⊥α . ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面,即若α ∥β , β ,则 l⊥α . ⑤如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即若 α ⊥β ,a∩β =α ,l ? β ,l⊥a,则 l⊥α . ⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面,即若α ⊥γ ,β ⊥γ ,且 a∩β =α ,则 a⊥γ . (5)两平面平行的判定 ①定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面平行,即无公共点 ? α ∥β . ②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,即若 a,b ? α , a∩b=P,a∥β ,b∥β ,则α ∥β . ③垂直于同一直线的两平面平行.即若α ⊥a,β ⊥a,则α ∥β . ④平行于同一平面的两平面平行.即若α ∥β ,β ∥γ ,则α ∥γ . ⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线,则这两个平面平行,即若 a,b ? α ,c,d ? β ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α ∥β . (6)两平面垂直的判定 ①定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直,即二面角 α -a-β =90° ? α ⊥β . ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,即若 l⊥β ,l ? α ,则 α ⊥β . ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个,也垂直于另一个.即若α ∥β ,α ⊥γ ,则β ⊥γ . 直线在平面内的判定 (1)利用公理 1:一直线上不重合的两点在平面内,则这条直线在平面内. (2)若两个平面互相垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面 内,即若α ⊥β ,A∈α ,AB⊥β ,则 AB ? α .
3

a⊥ l⊥

(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线,都在过此点而垂直于已知直线的平面内,即若 A∈ a,a⊥b,A∈α ,b⊥α ,则 a ? α . (4)过平面外一点和该平面平行的直线,都在过此点而与该平面平行的平面内,即若 P ? α ,P ∈β ,β ∥α ,P∈a,a∥α ,则 a ? β . (5)如果一条直线与一个平面平行, 那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面 内,即若 a∥α ,A∈α ,A∈b,b∥a,则 b ? α .

4


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