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2.2《直线、平面平行的判定及其性质》测试题


2.2 直线、平面平行的判定及其性质
一、选择题(共 60 分) 1、若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线( A.平行 B.异面 C.相交 ) D.平行或异面 )

2、下列结论中,正确的有( ①若 a α ,则 a∥α α 则 a∥b α ,b

②a∥平面α ,b

③平面α ∥平面β ,a

β ,则 a∥b α D.4 个

④平面α ∥β ,点 P∈α ,a∥β ,且 P∈a,则 a A.1 个 B.2 个 C.3 个

3、在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB 和 BC 上的点,若 AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( A.平行 B.相交 ) C.在内 D.不能确定 )

4、a,b 是两条异面直线,A 是不在 a,b 上的点,则下列结论成立的是( A.过 A 有且只有一个平面平行于 a,b B.过 A 至少有一个平面平行于 a,b C.过 A 有无数个平面平行于 a,b D.过 A 且平行 a,b 的平面可能不存在 5、已知直线 a 与直线 b 垂直,a 平行于平面α ,则 b 与α 的位置关系是( A.b∥α B.b α C.b 与α 相交 ) D.以上都有可能 )

6、下列命题中正确的命题的个数为(

①直线 l 平行于平面α 内的无数条直线,则 l∥α ; ②若直线 a 在平面α 外,则 a∥α ; ③若直线 a∥b,直线 b ④若直线 a∥b,b A.1 α ,则 a∥α ;

平面α ,那么直线 a 就平行于平面α 内的无数条直线. B.2 C.3 ) D.4

7、下列命题正确的个数是(

(1)若直线 l 上有无数个点不在α 内,则 l∥α (2)若直线 l 与平面α 平行,l 与平面α 内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条直线与平面平行,那 么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线 a 和平面α 内一直线 b 平行,则 a∥α A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

8、已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命 题:

①若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β ; ②若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β ; ③若 m α ,n β ,m∥n,则α ∥β ; α ,m∥β ,n β ,n∥α ,则α ∥β .

④若 m、n 是异面直线,m 其中真命题是( A.①和② )

B.①和③

C.③和④

D.①和④ )

9、长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AA1 中点,F 为 BB1 中点,与 EF 平行的长方体的面有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

10、对于不重合的两个平面α 与β ,给定下列条件:①存在平面γ ,使得α 、β 都垂直于γ ; ②存在平面γ ,使α 、β 都平行于γ ;③α 内有不共线的三点到β 的距离相等;④存在异面 直线 l,M,使得 l∥α ,l∥β ,M∥α ,M∥β . 其中可以判断两个平面α 与β 平行的条件有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 ) D.4 个 )

11、设 m,n 为两条直线,α ,β 为两个平面,则下列四个命题中,正确的命题是 ( A.若 m? α ,n? α ,且 m∥β ,n∥β ,则α ∥β B .若 m∥α ,m∥n,则 n∥α C.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n

12、已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若α ⊥γ ,α ⊥β ,则γ ∥β B.若 m∥n, m? α ,n? β ,则α ∥β C.若α ⊥β ,m⊥β ,则 m∥α D.若 m∥n,m⊥α ,n⊥β ,则α ∥β 二、填空题 (共 20 分) 13.在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M、 N 分别是棱 A1B1、 B1C1 的中点, P 是棱 AD 上一点, AP=

a ,过 P、M、N 的平面与棱 CD 交于 Q,则 PQ=_________. 3

14.若直线 a 和 b 都与平面α 平行,则 a 和 b 的位置关系是__________. 15.过长方体 ABCD—A1B1C1D1 的任意两 条棱的中点作直线, 其中能够与平面 ACC1A1 平行的直线有 ( )条.

16.已知平面α ∥平面β ,P 是α 、β 外一点,过点 P 的直线 m 与α 、β 分别交于 A、C,过点

P 的直线 n 与α 、β 分别 交于 B、D 且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为
三、解答题 (17(10 分)、18、19、20、21、22(12 分))

.

17. (10 分)如图,已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 为 PB 的中点, 求证: PD// 平面 MAC .

P

M

B A
C

D

18.(12 分)如图所示,已知 P、Q 是单位正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心. 求证:PQ∥平面 BCC1B1.

19. (12 分)如图,已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点, E , F 分别是 PA ,

BD 上的点且 PE∶EA ? BF ∶FD ,求证: EF // 平面 PBC .

20. (12 分)如下图,F,H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1,AA1 的中点, 求证:平面 BDF∥平面 B1D1H.

21.(12 分)如图,在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,AB=2CD,E,

E1,F 分别是棱 AD,AA1,AB 的中点.
求证:直线 EE1∥平面 FCC 1.

22. (12 分)如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)若 MN=BC=4,PA=4 3,求异面直线 PA 与 MN 所成的角 的大小.

2.2 直线、平面平行的判定及其性质(答案) 一、选择题 1、若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线( A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 D )

2、下列结论中,正确的有( A ) ①若 a α ,则 a∥α α 则 a∥b α ,b β ,则 a∥b α D.4 个

②a∥平面α ,b

③平面α ∥平面β ,a

④平面α ∥β ,点 P∈α ,a∥β ,且 P∈a,则 a A.1 个 解析:若 a B.2 个 C.3 个

α ,则 a∥α 或 a 与α 相交,由此知①不正确 α ,则 a 与 b 异面或 a∥b,∴②不正确 α ,b β ,则 a∥b 或 a 与 b 异面,∴③不正确

若 a∥平面α ,b 若平面α ∥β ,a

由平面α ∥β ,点 P∈α 知过点 P 而平行平β 的直线 a 必在平面α 内,是正确的.证明如下: 假设 a α ,过直线 a 作一面γ ,使γ 与平面α 相交,则γ 与平面β 必相交.设γ ∩α =b,γ ∩

β =c,则点 P∈b.由面面平行性质知 b∥c; 由线面平行性质知 a∥c,则 a∥b,这与 a∩b=P 矛盾, ∴a α .故④正确.

3、在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB 和 BC 上的点,若 AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( A.平行 B.相交 A ) C.在内 D.不能确定

参考答案与解析:解析:在平面 ABC 内. ∵AE:EB=CF:FB=1:3, ∴AC∥EF.可以证明 AC 若 AC 平面 DEF,则 AD 平面 DEF. 平面 DEF,BC 平面 DEF. 平面 DEF.

由此可知 ABCD 为平面图形,这与 ABCD 是空间四边形矛盾,故 AC ∵AC∥EF,EF 平面 DEF.

∴AC∥平面 DEF. 主要考察知识点:空间直线和平面[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 4、a,b 是两条异面直线,A 是不在 a,b 上的点,则下列结论成立的是( A.过 A 有且只有一个平面平行于 a,b B.过 A 至少有一个平面平行于 a,b C.过 A 有无数个平面平行于 a,b D.过 A 且平行 a,b 的平面可能不存在 参考答案与解析:解析:如当 A 与 a 确定的平面与 b 平行时,过 A 作与 a,b 都平行的平面不存 D )

在. 答案:D 主要考察知识点:空间直线和平面[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 5、已知直线 a 与直线 b 垂直,a 平行于平面α ,则 b 与α 的位置关系是( A.b∥α B.b α C.b 与α 相交 )

D.以上都有可能

参考答案与解析:思路解析:a 与 b 垂直,a 与 b 的关系可以平行、相交、异面,a 与α 平行,所以 b 与α 的位置可以平行、相交、或在α 内,这三种位置关系都有可能. 答案:D 主要考察知识点:空 间直线和平面 6、下列命题中正确的命题的个数为( A )

①直线 l 平行于平面α 内的无数条直线,则 l∥α ; ②若直线 a 在平面α 外,则 a∥α ; ③若直线 a∥b,直线 b ④若直线 a∥b,b A.1 B.2 α ,则 a∥α ;

平面α ,那么直线 a 就平行于平面α 内的无数条直线. C.3 D.4

参考答案与解析:解析:对于①,∵直线 l 虽与平面α 内无数条直线平行,但 l 有可能在平面 α 内(若改为 l 与α 内任何直线都平行, 则必有 l∥α ),∴① 是假命题.对于②, ∵直线 a 在平 面α 外,包括两种情况 a∥α 和 a 与α 相交,∴a 与α 不一定平行,∴②为假命题.对于③,∵ a∥ b,b α ,只能说明 a 与 b 无公共点,但 a 可能在平面α 内,∴a 不一定平行于平面α .∴ α .那么 a α ,或 a∥α .∴a 可以与平面α 内的无数条直

③也是假命 题.对于④,∵a∥b,b

线平行.∴④是真命题.综上,真命题的个数为 1. 答案:A 主要考察知识点:空间直线和平面 7、下列命题正确的个数是( A )

(1)若直线 l 上有无数个点不在α 内,则 l∥α (2)若直线 l 与平面α 平行,l 与平面α 内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条直线与平面平行,那 么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线 a 和平面α 内一直线 b 平行,则 a∥α A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

参考答案与解析: 解析:由直线和平面平行的判定定理知,没有正确命题. 答案:A 主要考察知识点:空间直线和平面 8、已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命 题:

①若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β ; ②若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β ; ③若 m α ,n β ,m∥n,则α ∥β ; α ,m∥β ,n β ,n∥α ,则α ∥β .

④若 m、n 是异面直线,m 其中真命题是( D A.①和② )

B.①和③

C.③和④

D.①和④

参考答案与解析:解析:利用平面平行判定定理知①④正确.②α 与β 相交且均与γ 垂直的情 况也成立,③中α 与β 相交时,也能满足前提条件 答案:D 主要考察知识点:空间直线和平面 9、长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AA1 中点,F 为 BB1 中点,与 EF 平行的长方体的面有( C ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

参考答案与解析:解析:面 A1C1,面 DC1,面 AC 共 3 个. 答案:C 主要考察知识点:空间直线和平面 10、对于不重合的两个平面α 与β ,给定下列条件:①存在平面γ ,使得α 、β 都垂直于γ ; ②存在平面γ ,使α 、β 都平行于γ ;③α 内有不共线的三点到β 的距离相等;④存在异面 直线 l,M,使得 l∥α ,l∥β ,M∥α ,M∥β . 其中可以判断两个平面α 与β 平行的条件有( B ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

参考答案与解析:解析:取正方体相邻三个面为α 、β 、γ ,易知α ⊥γ ,β ⊥γ ,但是α 与 β 相交,不平行,故排除①,若α 与β 相交,如图所示,可在α 内找到 A、B、C 三个点到平 面β 的距离相等,所以排除③.容易证明②④都是正确的.

答案:B 主要考察知识点:空间直线和平面 11.D 12.D 二、填空题

13、在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是棱 AD 上一

点,AP=

,过 P、M、N 的平面与棱 CD 交于 Q,则 PQ=_________.

参考答案与解析:解析:由线面平行的性质定理知 MN∥PQ(∵MN∥平面 AC,PQ=平面 PMN∩平面

AC,∴MN∥PQ).易知 DP=DQ=

.故

.

答案: 主要考察知识点:空间直线和平面 14、若直线 a 和 b 都与平面α 平行,则 a 和 b 的位置关系是__________. 参考答案与解析:相交或平行或异面 主要考察知识点:空间直线和平面 15、6 16、 24 或

24 5

三、解答题 17. 答案:证明 :连接 AC 、 BD 交点为 O , 连接 MO ,则 MO 为 △BDP 的中位线, ∴ PD// MO. P ∵ PD ? 平面 MAC , MO ? 平面 MAC ,∴ PD// 平面 MAC .

M B
18.答案:

A
D

C

O

19.答案:证明:连结 AF 并延长交 BC 于 M . 连结 PM ,

∵ AD//BC ,∴

BF MF ? , FD FA PE BF PE MF ? ? 又由已知 ,∴ . EA FD EA FA 由平面几何知识可得 EF // PM ,

又 EF ? PBC , PM ? 平面 PBC ,

∴ EF // 平面 PBC .
20.如下图,F,H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1,AA1 的中点, 求证:平面 BDF∥平面 B1D1H. 证明: 取 DD1,中点 E 连 AE、EF. ∵E、F 为 DD1、CC1 中点,∴EF∥CD.,EF=CD ∴EF∥AB,EF=AB ∴四边形 EFBA 为平行四边形. ∴AE∥BF. 又∵E、H 分别为 D1D、A1A 中点, ∴D1E∥HA,D1E=HA∴四边形 HADD1 为平行四边形. ∴HD1∥AE ∴HD1∥BF 由正方体的性质易知 B1D1∥BD,且已证 BF∥D1H. ∵B1D1?平面 BDF,BD? 平面 BDF, ∴B1D1∥平面 BDF.连接 HB,D1F, ∵HD1?平面 BDF,BF? 平面 BDF, ∴HD1∥平面 BDF.又∵B1D1∩HD1=D1, ∴平面 BDF∥平面 B1D1H. 21,答案:[证明] 因为 F 为 AB 的中点,

CD=2,AB=4,AB∥CD,
所以 CD∥AF,CD=AF 因此四边形 AFCD 为平行四边形, 所以 AD∥FC. 又 CC1∥DD1,FC∩CC1=C,

FC? 平面 FCC1,CC1? 平面 FCC1, AD∩DD1=D,AD? 平面 ADD1A1, DD1? 平面 ADD1A1,
所以平面 ADD1A1∥平面 FCC1. 又 EE1? 平面 ADD1A1,

EE1?平面 FCC1,
所以 EE1∥平面 FCC1. 1 22.答案:(1)取 PD 的中点 H,连接 AH,NH,∵N 是 PC 的中点,∴NH= DC.由 M 是 AB 的中 2 点,且 DC∥AB,

∴NH∥AM,NH=AM 即四边形 AMNH 为平行四边形. ∴MN∥AH,由 MN?平面 PAD,AH? 平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD. (2)连接 AC 并取其中点 O,连接 OM、ON, 1 1 1 1 ∴OM∥ BC,ON∥ PA.,OM= BC,ON= PA. 2 2 2 2 ∴∠ONM 就是异面直线 PA 与 MN 所成的角, 由 MN=BC=4,PA=4 3,得 OM=2,ON=2 3. ∴MO +ON =MN ,∴∠ONM=30°,即异面直线 PA 与 MN 成 30°的角.
2 2 2


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