深圳市高级中学2012-2013学年第一学期期中测试高一数学试卷附答案[编辑7页]

深圳市高级中学 2012－2013 学年第一学期 期中测试高一数学试卷附答案
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 每小题只有一个正确答案）

1. 函数

f ( x) ? 1 ? x ?

x 的定义域为 1? x
C. R D. ? ?1,1? ? ?1, ?? ?

A． [?1, ??)

B. ? ??, ?1?

2．已知 M ? {0,1, 2} , N ? {x | x ? 2a, a ? M } , 则 M ? N ?

A. {0}

B.

{0,1}

C. {0,1,2}

D. {0,1,2,4}

3．下列函数中值域是 (0,??) 的是

A． y ? x 2 ? 3 x ? 2 C． y ?
1 |x|
2 x

B． y ? x 2 ? x ? D． y ? 2 x ? 1

1 2

4．已知 f ( x) ? 2 x ? 2 ，则在下列区间中， f ( x) 有零点的是

A. (?3, ?2)

B. (?1,0)

C. (2,3)

D. (4,5)

5. 三个数 a ? 0.3 ， b ? log 2 0.3 ， c ? 2
2

0.3

之间的大小关系是

A．a < c < b

B．a < b < c

C． b < a < c

D． b < c < a

6. lg10 ? lg 5 ? lg 20 ? (lg 2) ?
2

?2

A.

?1

B.

0

C. 1

D.

2

7. 已知函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数,它在 [0, ??) 上是减函数,若 f (ln x ) ? f (1), 则 x 的取值范围是

A. (e ?1 ,1)

B. (0, e ?1 ) ? (1, ??)

C. (e ?1 , e )

D. (0,1) ? (e, ??)
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8. 如果一个函数 f ( x ) 在其定义区间内对任意实数 x , y 都满足 f (
是下凸函数,下列函数 ks5u (1) f ( x ) ? 2 ;
x

x? y f ( x) ? f ( y) ,则称这个函数 )? 2 2

(2) f ( x ) ? x ;
3

(3) f ( x ) ? log 2 x( x ? 0); 中是下凸函数的有( A. (1),(2) )

(4) f ( x ) ? ?

? x, ? 2 x,

x?0 x?0

B. (2),(3)

C.(3),(4)

D. (1),(4)

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9．已知集合 A ? {1, 2} ，集合 B 满足 A ? B ? {1, 2}, 则集合 B 有________个.
? x 2 ? 1, x ? 0, 10. f ( x ) ? ? 若 f ( x ) ? 10, 则 x ? ____________. x ? 0. ? ?2 x ,

11．已知幂函数 y ? f ( x) 的图像过点 (2,
x x

2 ) ，则函数 f ( x) =____________. 2

12. 设 0 ? x ? 2 ,则函数 y ? 4 ? 3 ? 2 ? 5 的最大值为_________. 13. 若方程 x ? x ? 1 ? 0 在区间 (a , b) 上有一根，其中 a, b 是整数，且 b ? a ? 1 ,则 a ? b ? ______.
3

14．将函数 f ( x ) ? lg( x ? x ? 1) 写成一个偶函数与一个奇函数的和，其中奇函数为________.
2

三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15． (本题 12 分) 已知全集 U = R，A ? { x | ?3 ? x ? 6, x ? R} ，B ? { x | x ? 5 x ? 6 ? 0, x ? R} ． ： 求
2

（1） A ? B ； （2） (?UB)∩A．

16. (本题 12 分) （1） 计算 3 ? 3 1.5 ? 6 12 （2）若 x log 3 4 ? 1, 求 4 ? 4 的值 ks5u
x ?x

17．(本题 14 分) 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x ? 0 时， f ( x) ? a (a ? 1),
x

(1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 若不等式 f ( x) ? 4 的解集为 [?2, 2] ，求 a 的值．
2/7

18.

(本题 14 分) 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，且对任意实数 x ,有 f (1 ? x) ? x ? 3x ? 3 .
2

(1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 若 g ( x) ? f ( x) ? (1 ? 2m) x ? 1(m ? R) 在 [ , ??) 上的最小值为 ?2 ，求 m 的值．

3 2

19. (本题 14 分) 某厂生产一种产品的固定成本（即固定投入）为 0.5 万元，但每生产一百件这样的产品， 需要增加可变成本（即另增加投入）0.25 万元. 市场对此产品的年需求量为 500 件，销售的收入函数为

R(t ) ? 5t ?

t2 ，其中 t (t ? N ) 是产品售出的数量（单位：百件） (0 ? t ? 5, t ? N ) （单位：万元） 2

(1) 该公司这种产品的年产量为 x( x ? N ) 百件， 生产并销售这种产品所得到的利润为当年产量 x( x ? N ) 的 函数 f ( x) ，求 f ( x) ； (2) 当年产量是多少时, 工厂所得利润最大? (3) 当年产量是多少时, 工厂才不亏本? ks5u

20. 函数.

(本题 14 分) 已知指数函数 y ? g (x) 满足： g (2) ? 4 ，定义域为 R 上的函数 f ( x) ?

? g ( x) ? n 是奇 g ( x) ? m

（Ⅰ）求 y ? g (x) 与 y ? f (x) 的解析式； （Ⅱ）判断 y ? f (x) 在 R 上的单调性并用单调性定义证明； （Ⅲ）若方程 f ( x ) ? b 在 ( ?? , 0) 上有解，试证： ?1 ? 3 f (b) ? 0 . ks5u

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深圳市高级中学 2012－2013 学年第一学期 期中测试高一数学试卷参考答案
一．
1 D

选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题只有一个正确答案） 。
2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 C 8 D

二． 填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
? 1 2

9. 12.

4 9

10. 13.

-3 -3

11. 14.

x

1 x2 ? x ? 1 lg 2 x2 ? x ? 1

三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分 12 分） 已知全集 U = R，A = {x |－3 < x ≤ 6，x ?R}，ks5u

B = {x | x2－5x －6 < 0, x ? R}．
求： （1） A ? B ； （2） (?UB)∩A． 解：(1) B={x | -1<x<6}； …………………………..3

A ? B ? { x | ?3 ? x ? 6}

……………………………6

（2） ?UB ={x | x≤-1 或 x≥6} …………………………………………9 ( ?UB )∩A= {x | －3<x≤－1 或 x=6}. …………………………….12
16. （本小题满分 12 分） （1） 计算 3 ? 3 1.5 ? 6 12 （2）若 x log 3 4 ? 1, 求 4 ? 4 的值
x ?x

解：(1)

3 ? 3 1.5 ? 6 12 =3……………………………….6
x

(2)由 x log 3 4 ? 1, 知, 4 ? 3, 4 所以 4 ? 4
x ?x

?x

1 ? , 3

?

10 ……………………………………..12 3
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17.（本小题满分 14 分） 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x ? 0 时， f ( x) ? a (a ? 1), (1)求函数 f ( x) 的解析式;
x

(2)若不等式 f ( x) ? 4 的解集为 [?2, 2] ，求 a 的值．ks5u 解: (1) 当 x ? 0 时， ? x ? 0 ， f (? x) ? a ∵ f ( x) 为偶函数，∴ f ( x) ? a
?x

?x

，

，

? ax ? ∴ f ( x) ? ? 1 x ?( ) ? a (2)∵ a ? 1,

x ? 0, x?0
，……………………………………6

?x ? 0 ?x ? 0 ? ∴ f ( x) ? 4 等价于 ? x 或? 1 x ， ? a ? 4 ?( ) ? 4 ? a ∴ 0 ? x ? log a 4 或 ? log a 4 ? x ? 0 ， …………ks5u……………12
由条件知 log a 4 ? 2 ，∴ a ? 2 …………………………………………………14 18. （本小题满分 14 分）设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，对任意实数 x ,有 f (1 ? x) ? x ? 3x ? 3
2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若 g ( x) ? f ( x) ? (1 ? 2m) x ? 1(m ? R) 在 [ , ??) 上的最小值为 ?2 ，求 m 的值． 解：令 1 ? x ? t 得 f (t ) ? (1 ? t ) ? 3(1 ? t ) ? 3
2

3 2

即 f (t ) ? t ? t ? 1
2

即 f ( x) ? x ? x ? 1, x ? R ，------------------------------------6
2

（2）令 g ( x) ? x ? 2mx ? 2 ? ( x ? m) ? 2 ? m
2 2

2

(x?

3 ) 2

若m ? 若m ?

3 2 ，当 x ? m 时， g ( x) min ? 2 ? m ? ?2 ? m ? 2 --------------------10 2 3 17 25 3 3 ，当 x ? 时， g ( x)min ? ? 3m ? ?2 ? m ? ? 舍去 2 4 12 2 2

综上可知 m ? 2 ----------------------ks5u-----------------14 19. （本小题满分 14 分） 某厂生产一种产品的固定成本（即固定投入）为 0.5 万元，但每生产一百件这样的产品，需要增加可变成 本 （ 即 另 增 加 投 入 ） 0.25 万 元 . 市 场 对 此 产 品 的 年 需 求 量 为 500 件 ， 销 售 的 收 入 函 数 为

R( t ) ? 5t ?

t2 ( 0? t ? 5 t ? N ) , （单位：万元） ，其中 t (t ? N ) 是产品售出的数量（单位：百件） 2
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(1) 该公司这种产品的年产量为 x( x ? N ) 百件， 生产并销售这种产品所得到的利润为当年产量 x( x ? N ) 的 函数 f ( x) ，求 f ( x) ； (2) 当年产量是多少时, 工厂所得利润最大? (3) 当年产量是多少时, 工厂才不亏本? 解: (1)利润

? x2 ?0.5 ? 4.75 x ? , 0 ? x ? 5, x ? Z , ? f ( x) ? ? ………………………………………….6 2 ? 12 ? 0.25 x, x ? 5, x ? Z . ?
(2) 若 0 ? x ? 5, 则 y ? ?0.5 ? 4.75 x ?

x2 , 对称轴 x ? 4.75 ，所以,当 x=5 时 y 有最大值 10.75 2

若 x.>5,则 y ? 12 ? 0.25 x 是减函数，所以，当 x=6 时 y 有最大值 10.50 综上：年产量 500 件时，工厂所得利润最大。………………………………………….10 （3）当 0 ? x ? 5, 时，由 y ? 0 得， 0 ? x ? 5, x ? Z , 当 x ? 5, 时，由 y ? 0 得， 5 ? x ? 48, x ? Z , 综上：年产量 x 满足 1 ? x ? 48, x ? Z , 时，工厂不亏本。……ks5u……….14

20. （本小题满分 14 分） 已知指数函数 y ? g (x) 满足： (2) ? 4 ， 定义域为 R 上的函数 f ( x) ? g 是奇函数。 （Ⅰ）求 y ? g (x) 与 y ? f (x) 的解析式； （Ⅱ）判断 y ? f (x) 在 R 上的单调性并用单调性定义证明； （Ⅲ）若方程 f ( x ) ? b 在 ( ?? , 0) 上有解，试证： ?1 ? 3 f (b) ? 0 . 解： （1） 设 g ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) ，由 g (2) ? 4 得 a ? 2 ，故 g ( x) ? 2 ，………2 分
x x

? g ( x) ? n g ( x) ? m

? g ( x) ? n ? 2 x ? n ? x 由题意 f ( x) ? g ( x) ? m 2 ?m
因为 f ( x) 是 R 上的奇函数，所以 f (0) =0，得 n ? 1 ∴ f ( x) ? …………3 分

? 2x ?1 1? 2x ， 又由 f（1）= -f（-1）知 m ? 1 ∴ f ( x) ? …………5 分 2x ? m 1? 2x
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（2） f ( x) 是 R 上的单调减函数。 证明：设 x1 ? R, x2 ? R 且 x1 ? x2

…………6 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ? ? 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )
x1

因为 y ? 2 为 R 上的单调增函数且 x1 ? x2 ，故 2 又1 ? 2
x1

? 2 x2 ，

? 0 ， 1 ? 2 x2 ? 0 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
…………9 分

所以 f ( x) 是 R 上的单调减函数 （3）方程 f ( x ) ? b 在 ( ?? , 0) 上有解，即

2 ? 1 ? b 在 ( ?? , 0) 上有解。 2 ?1
x

2 ? 1 ? (0,1) 从而 b ? (0,1) ------------------------------12 2 ?1 ? f ( x ) 在 R 上是减函数，? f (1) ? f (b) ? f (0), 1 即 ? ? f (b) ? 0, 从而 ?1 ? 3 f (b) ? 0 。…………ks5u……………………14 3
? x ? ( ??, 0) ? 2 x ? (0,1),
x

7/7