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2017_2018学年高中数学2.1空间点直线平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置


第二章 2.1 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
A 级 基础巩固 一、选择题 1.异面直线是指 ( D ) A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 [解析] 对于 A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异 面.∴A 应排除. 对于 B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可异面,如右图,就是 相交的情况,∴B 应排除. 对于 C,如右图的 a,b 可看作是平面 α 内的一条直线 a 与平面 α 外的一条直线 b,显 然它们是相交直线,∴C 应排除.只有 D 符合定义.∴应选 D.

2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有 ( C )

A.3 条

B.4 条

C.6 条

D.8 条

[解析] 与 AC1 异面的棱有:A1D1,A1B1,DD1,CD,BC,BB1 共 6 条.

3.若 a、b 是异面直线,b、c 是异面直线,则 ( D )

A.a∥c

B.a、c 是异面直线

C.a、c 相交

D.a、c 平行或相交或异面

[解析] 例如在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,取 AB,CD 所在直线分别为 a,c,B1C1 所在直 线为 b,满足条件要求,此时 a∥c;又取 AB,BC 所在直线分别为 a,c,DD1,所在直线为 b,

也满足题设要求,此时 a 与 c 相交;又取 AB,CC1 所在直线分别为 a,c,A1D1 所在直线为 b,

则此时,a 与 c 异面.故选 D.

4.过直线 l 外两点可以作 l 的平行线条数为 ( D )

A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.0 条或 1 条

[解析] 以如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 为例.

1

令 A1B1 所在直线为直线 l,过 l 外的两点 A、B 可以作一条直线与 l 平行,过 l 外的两 点 B、C 不能作直线与 l 平行,故选 D.

5.空间四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AC、BD 中点,若 CD=2AB,EF⊥AB,则 EF 与 CD

所成的角为 ( A )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

[解析] 取 AD 的中点 H,连 FH、EH,在△EFH 中 ∠EFH=90°,

HE=2HF,从而∠FEH=30°,故选 A.

6.下列命题中,正确的结论有 ( B )

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)

相等;

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;

④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

[解析] ②④是正确的.

二、填空题

7.已知

E、F、G、H

为空间四边形

ABCD

的边

AB、BC、CD、DA

AE AH 1 CF 上的点,若AB=AD=2,CB

=CCGD=13,则四边形 EFGH 形状为__梯形__.

[解析] 如右图

2

在△ABD 中,∵AAEB=AAHD=12,

∴EH∥BD 且 EH=12BD.

在△BCD

CF CG 1 中,∵CB=CD=3,

∴FG∥BD 且 FG=13BD,∴EH∥FG 且 EH>FG,

∴四边形 EFGH 为梯形.

8.已知棱长为 a 的正方体 ABCD-A′B′C′D′中,M、N 分别为 CD、AD 的中点,则 MN

与 A′C′的位置关系是__平行__.

[解析] 如图所示,MN 綊12AC,

又∵AC 綊 A′C′, ∴MN 綊12A′C′. 三、解答题 9.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 CC1、B1C1、C1D1 的中点.
求证:∠NMP=∠BA1D. [解析] 如图,连接 CB1、CD1,∵CD 綊 A1B1,
3

∴四边形 A1B1CD 是平行四边形,

∴A1D∥B1C. ∵M、N 分别是 CC1、B1C1 的中点, ∴MN∥B1C,∴MN∥A1D.

∵BC 綊 A1D1,∴四边形 A1BCD1 是平行四边形,

∴A1B∥CD1.

∵M、P 分别是 CC1、C1D1 的中点,∴MP∥CD1, ∴MP∥A1B, ∴∠NMP 和∠BA1D 的两边分别平行且方向都相反, ∴∠NMP=∠BA1D.

B 级 素养提升

一、选择题

1.若直线 a、b 分别与直线 l 相交且所成的角相等,则 a、b 的位置关系是 ( D )

A.异面

B.平行

C.相交

D.三种关系都有可能

[解析] 以正方体 ABCD-A1B1C1D1 为例.

A1B1、AB 所在直线与 BB1 所在直线相交且所成的角相等,A1B1∥AB;A1B1、BC 所在直线与

BB1 所在直线相交且所成的角相等,A1B1 与 BC 是异面直线;AB、BC 所在直线与 AC 所在直线 相交且所成的角相等,AB 与 BC 相交,故选 D.

2.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四

边形是 ( D )

A.梯形

B.矩形

C.平行四边形

D.正方形

[解析] ∵E、F、G、H 分别为中点,如图.

4

∴FG 綊 EH 綊12BD,

HG 綊 EF 綊12AC,

又∵BD⊥AC 且 BD=AC,

∴FG⊥HG 且 FG=HG,∴四边形 EFGH 为正方形.

3.点 E、F 分别是三棱锥 P-ABC 的棱 AP、BC 的中点,AB=6,PC=8,EF=5,则异面

直线 AB 与 PC 所成的角为 ( D )

A.60°

B.45°

C.30°

D.90°

[解析] 如图,取 PB 的中点 G,连结 EG、FG,则

EG 綊12AB,GF 綊12PC,则∠EGF(或其补角)即为 AB 与 PC 所成的角,在△EFG 中,EG=12AB =3,FG=12PC=4,EF=5,所以∠EGF=90°.
4.如图所示,空间四边形 ABCD 的对角线 AC=8,BD=6,M、N 分别为 AB、CD 的中点, 并且异面直线 AC 与 BD 所成的角为 90°,则 MN 等于 ( A )

A.5

B.6

C.8

D.10

[解析] 如图,取 AD 的中点 P,连接 PM、PN,则 BD∥PM,AC∥PN,∴∠MPN 即异面直

线 AC 与 BD 所成的角,∴∠MPN=90°,PN=12AC=4,PM=12BD=3,∴MN=5.

5

二、填空题 5.如图正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 AD1 异面且与 AD1 所成的角为 90°的面对角线(面对 角线是指正方体各个面上的对角线)共有__1__条.
[解析] 与 AD1 异面的面对角线分别为:A1C1、B1C、BD、BA1、C1D,其中只有 B1C 和 AD1 所成的角为 90°.
6.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB∥CM; ②EF 与 MN 是异面直线; ③MN∥CD. 以上结论中正确结论的序号为__①②__. [解析] 把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,EF 与 MN 是异面直线, AB∥CM,MN⊥CD,只有①②正确.
C 级 能力拔高 1.已知空间四边形 ABCD 中,AB≠AC,BD=BC,AE 是△ABC 的边 BC 上的高,DF 是△BCD 的边 BC 上的中线,求证:AE 与 DF 是异面直线. [解析] 由已知,得 E、F 不重合. 设△BCD 所在平面为 α , 则 DF? α ,A?α ,E∈α ,E?DF, ∴AE 与 DF 异面.
6

2.梯形 ABCD 中,AB∥CD,E、F 分别为 BC 和 AD 的中点,将平面 DCEF 沿 EF 翻折起来, 使 CD 到 C′D′的位置,G、H 分别为 AD′和 BC′的中点,求证:四边形 EFGH 为平行四边形.
[解析] ∵梯形 ABCD 中,AB∥CD, E、F 分别为 BC、AD 的中点, ∴EF∥AB 且 EF=12(AB+CD), 又 C′D′∥EF,EF∥AB,∴C′D′∥AB. ∵G、H 分别为 AD′、BC′的中点,
∴GH∥AB 且 GH=12(AB+C′D′)=12(AB+CD), ∴GH 綊 EF,∴四边形 EFGH 为平行四边形.
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